nbhkdz.com冰点文库

复合函数定义论文


复合函数定义探析 本文讨论复合函数定义中容易引起误解之处,并从数学运算的 角度给出复合函数的一个更易于理解的定义. 关于复合函数,很多教科书给的都是类似如下定义: 设函数 y=f(u)的定义域是 df,函数 u=g(x)的值域是 zg,若 zg∩ df 不为空集,则将 y=f(g(x))称为由函数 y=f(u)和 u=g(x)构成的 复合函数.y=f(u)称为外层函数,u=g(x

)称为内层函数,也称为中 间变量. 对于上面这个定义,不少人通过学习之后,都认为 y=f(u)与 y=f(g(x))是相同的函数,因为它们都用 y 来表示. 那么,这两个函数到底是不是相同的呢? 首先,要判断两个函数是否相同,主要是考虑两个函数的定义域 和对应法则是否都相同.看下面的例子,设 f(u)=u2,g(x)=x+lnx, 则得复合函数为 f(g(x))=(x+lnx)2.第一,很显然 f(u)=u2 的定义 域是 r,而 f(g(x))=(x+lnx)2 的定义域是 r+,所以这两个函数的 定义域并不相同.第二,f(u)=u2 的对应法则是对自变量进行平方, 而 f(g(x))=(x+lnx)2 的对应法则是对自变量求自然对数后再加上 自变量本身,最后才平方,所以这两个函数的对应法则也是不相同 的. 其次, 不妨假设 f(u)与 f(g(x))相同, 现有以下三个函数 f(u)=u2, g1(x)=x+lnx 与 g2(x)=lnx,那么 f(u)=u2 与 g1(x)=x+lnx 复合可 得 f(g1(x))=(x+lnx)2,f(u)=u2 与 g2(x)=lnx 复合可得 f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假设,这里得到的两个复合函数都等 于 f(u),即 f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2,这显然 是错误的. 最后,函数的复合是一种数学运算,而数学运算指的是“依照数 学法则求出算式结果的过程” (《现代汉语实用词典》南方出版社). 可以这么理解,数学运算是对已知量实施了某些动作,产生新的量 的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数,这 个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数 呢?如果都等的话,这种运算便形同虚设了.所以,如果认为函数 f(u)与 f(g(x))是相等的,就如同是“当 2+3=5 时” ,认为 2 和 5 是 相等的一样. 由上述几点可知,函数 f(u)与 f(g(x))是不相同的函数,既然是 不相同的,在一个命题里面,就不应该用相同的符号来表示,要不 就会造成误解,这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另 外,对于复合函数的定义,再从数学运算这一数学基本概念方面进 一步强调其含义,就会更加清晰一些.因此,下面给出一个更易于 理解的定义: 定义(复合函数)已知函数 f(u)和 g(x),把 g(x)代入 f(u)得到 f(g(x))的过程(代入指把 u 都换成 g(x)) ,称为函数的复合运算. 若 f(g(x))存在,则称 f(g(x))是由 f(u)和 g(x)复合而成的复合函 数,此时称 f(u)为外层函数,g(x)为内层函数,称 u 为中间变量, 记作 u=g(x).若 f(g(x))不存在,则称 f(u)和 g(x)进行复合运算时 没有意义. 几点说明 (1)f(g(x))不存在是指自变量 x 的取值范围是空集,即定义域 为空; (2)求函数时除了要写出函数的对应法则(常表现为表达式) , 还要写出函数的定义域,求复合函数也应如此; (3)

袁明军毕业论文

袁明军毕业论文_理学_高等教育_教育专区。本科毕业论文...不定积分的定义:函数 f(x)在区间 I 的所有原...一部分 是复合函数,其中外函数是基本积分公式中的某...

基本初等函数论文2

0,对数的真数>0,解题策略是搞清楚是那类函数求定义域,复合函数的定义域要注 意分层, 做到不重不漏, 抽象函数定义域的解题策略是注意分清楚是解不等式问题还是...

毕业论文

毕业论文题目 暂无评价 1页 1财富值 毕业论文(修改...2.1 利用函数极限的定义求极限例 1 证明 lim x ...x0 ? a 是复合函数,又 lim ? ? x ? ? x?...

学年论文

学号: 12124660110 学年论文 一元函数与多元函数的...函数的极限函数极限是高等等数学的最基本概念之一,...g 在点 uo 连续,uo=f(xo),则复合函数在 gof ...

论文

科学论文 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...而在不同学科内,对混沌的定义也大不相同.其中非...利用复合函数的求导规则有: df n ( x0 ) df (...

凸函数详细论文

凸函数详细论文 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 目录 一、凸函数的定义及其...x ? ? ? x1 ? ?? ? x2 ? ? ? ? ? 1 2 ? )所以复合函数 f ? ...

毕业论文,求函数极限的方法

2 求函数极限的方法 2.1 利用定义求极限定义 2.1.1( x 趋于 a 时的函数...n n ? n 4 吉首大学毕业论文 分析: ? x ?1? 利用复合函数求极限,令 u...

函数方程的解法(论文)

巢湖学院 2012 届本科毕业论文(设计) 前言如果函数 f ( x) 在其定义域内的...一.函数方程的解法 (一)、换元法换元法又叫定义法, 它是已知复合函数及复合...

开题报告连续函数

因此本论文主要包含连续函数的定义与等价定义的判断及有关证明和不连续函数的定义...以及四则运算性质和复合函数性质及应用;同时还有讨论 连续函数在闭区间上的性质...

毕业论文题目参考

毕业论文题目参考初等几何 谈立体几何问题转化为平面...的不等式与极值 函数的概念及发展 试论一次函数的...多元复合函数微分之难点及其注意的问题 多元函数连续...