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复合函数定义论文


复合函数定义探析 本文讨论复合函数定义中容易引起误解之处,并从数学运算的 角度给出复合函数的一个更易于理解的定义. 关于复合函数,很多教科书给的都是类似如下定义: 设函数 y=f(u)的定义域是 df,函数 u=g(x)的值域是 zg,若 zg∩ df 不为空集,则将 y=f(g(x))称为由函数 y=f(u)和 u=g(x)构成的 复合函数.y=f(u)称为外层函数,u=g(x

)称为内层函数,也称为中 间变量. 对于上面这个定义,不少人通过学习之后,都认为 y=f(u)与 y=f(g(x))是相同的函数,因为它们都用 y 来表示. 那么,这两个函数到底是不是相同的呢? 首先,要判断两个函数是否相同,主要是考虑两个函数的定义域 和对应法则是否都相同.看下面的例子,设 f(u)=u2,g(x)=x+lnx, 则得复合函数为 f(g(x))=(x+lnx)2.第一,很显然 f(u)=u2 的定义 域是 r,而 f(g(x))=(x+lnx)2 的定义域是 r+,所以这两个函数的 定义域并不相同.第二,f(u)=u2 的对应法则是对自变量进行平方, 而 f(g(x))=(x+lnx)2 的对应法则是对自变量求自然对数后再加上 自变量本身,最后才平方,所以这两个函数的对应法则也是不相同 的. 其次, 不妨假设 f(u)与 f(g(x))相同, 现有以下三个函数 f(u)=u2, g1(x)=x+lnx 与 g2(x)=lnx,那么 f(u)=u2 与 g1(x)=x+lnx 复合可 得 f(g1(x))=(x+lnx)2,f(u)=u2 与 g2(x)=lnx 复合可得 f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假设,这里得到的两个复合函数都等 于 f(u),即 f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2,这显然 是错误的. 最后,函数的复合是一种数学运算,而数学运算指的是“依照数 学法则求出算式结果的过程” (《现代汉语实用词典》南方出版社). 可以这么理解,数学运算是对已知量实施了某些动作,产生新的量 的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数,这 个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数 呢?如果都等的话,这种运算便形同虚设了.所以,如果认为函数 f(u)与 f(g(x))是相等的,就如同是“当 2+3=5 时” ,认为 2 和 5 是 相等的一样. 由上述几点可知,函数 f(u)与 f(g(x))是不相同的函数,既然是 不相同的,在一个命题里面,就不应该用相同的符号来表示,要不 就会造成误解,这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另 外,对于复合函数的定义,再从数学运算这一数学基本概念方面进 一步强调其含义,就会更加清晰一些.因此,下面给出一个更易于 理解的定义: 定义(复合函数)已知函数 f(u)和 g(x),把 g(x)代入 f(u)得到 f(g(x))的过程(代入指把 u 都换成 g(x)) ,称为函数的复合运算. 若 f(g(x))存在,则称 f(g(x))是由 f(u)和 g(x)复合而成的复合函 数,此时称 f(u)为外层函数,g(x)为内层函数,称 u 为中间变量, 记作 u=g(x).若 f(g(x))不存在,则称 f(u)和 g(x)进行复合运算时 没有意义. 几点说明 (1)f(g(x))不存在是指自变量 x 的取值范围是空集,即定义域 为空; (2)求函数时除了要写出函数的对应法则(常表现为表达式) , 还要写出函数的定义域,求复合函数也应如此; (3)

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