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河北省衡水市冀州中学2016届高三数学上学期第一次月考试题B卷 理(复习班)


河北冀州中学 2015——2016 学年上学期第一次月考 高三年级数学(往理)试题
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题: (本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每题给出的四个选项中只有一项是 符合要求的) 1、已知集合 A , B 均为全集 U ? ?1,2,3,4? 的子集,且 ? U ( A ? B) ? {4} , B ? ?1

, 2? , 则 A ? CU B ? ( A.{3,4} ) B.{4} C. {3} D. ? )

2、已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是( A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

3、已知集合 A{x| x 2 -3x +2=0,x∈R } , B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件 A ? C ? B 的集合 C 的个数为( ) A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 4、函数 f ( x ) ? 2sin( ? x ? ? )( ? ? 0, ? 分别是 ( A. 2, ? ) B. 2, ?

?

? ? ? ) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值 2 2

?

?
6

?
3

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3


2 5、 a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的(

A. 充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6、设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? { x | x ? P 或 x ? Q 且 x ? P ? Q } 若

P ? ? x | x 2 ? 3 x ? 4 ? 0? , Q ? ? x | y ? log 2 ( x 2 ? 2 x ? 15)? ,那么 P ? Q 等于(
A. ( ?3, 5) B. (??, ?1] ? [4, ??) C.

)

? ?1,4?

D. (??, ?3) ? [?1,4] ? (5, ??)

7、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=a sinA,则△

ABC 的形状为(

)

1

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 π? ? ?π 2π ? 8.函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0且|φ |< ?在区间? , ?上单调递减,且函数值从 1 减 2? 3 ? ? ?6 小到-1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( ) 2 1 3 6+ 2 A. B . C. D. 2 2 2 4 9、在△ABC 中,A=120°,b=1,面积为 3 ,则 2 39 A. 3 39 3

b?c?a =( sin B ? sin C ? sin A

)

B.

C.4 7

D. 2 7

3 ? π? ? π? 10、已知 cos?x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 6? 3? 3 ? ? 2 3 A.- 3 B.±1
2

)

C.-1
2

2 3 D.± 3
2

11、在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin Bsin C ,则 A 的取值范围是 (



A.

(0, ] 3

?

B. [

?
6

,? )
?

C. (0,

?
6

]

D. [

?
3

,? )

12、在△ABC 中,①若 B=60 ,a=10,b=7,则该三角形有且有两解;②若三角形的三边的 比是 3:5:7,则此三角形的最大角为 120 ;③若△ABC 为锐角三角形,且三边长分别为 2, 3,x.则 x 的取值范围是 5 ? x ? 13 .其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )
?

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若集合{x|ax +2x+1=0}与集合{x -1=0}的元素个数相同,则实数 a 的取值集合为 __________. 14.设当 x ? ? 时,函数 f ( x ) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______. 15.下列四个命题:① ?x0 ? R 使 sin x0 ? cos x0 ? 2 ②对 ?x ? R,sin x ? 对 ?x ? ? 0,
2 2

1 ? 2 ;③ sin x

? ?

??

1 ? 2 ;④ ?x0 ? R ,使 sin x0 ? cos x0 ? 2 其中正确命题 , tan x ? ? tan x 2?
A? B ? 2sin C ,若 AB ? 1 ,则 ?ABC 周长的取值范围 2
2

的序号为________. 16. 在 ? ABC 中, tan

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (本题 10 分)已知向量 a ? ( 3 cos x,0) , b ? (0,sin x) 记函数 f ( x) ? (a ? b)2 ? 3 sin2 x . 求:(I)求函数 f ( x ) 的最小值及取得小值时 x 的集合; (II)函数 f ( x ) 的单调递增区间.

?

?

? ?

?x ? R , | sin x |? a 有解; 18. (本题 12 分)已知实数 a ? 0 , 命题 p: 命题 q: ?x ? ?

? ? 3? ? , ?, ?4 4 ?

sin2 x ? a sin x ? 1 ? 0 . (1) 写出 ? q ;
(2) 若 p 且 q 为真, 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 集合 A ? ? x | x2 ? 3 x ? 10 ? 0? , 集合 B ? ? x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1? . (1) 若 B ? A,求实数 m 的取值范围; (2) 当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 设 △ ABC 的 内角 A 、 B 、 C 的 对 边长 分 别为 a 、 b 、 c , 设 S 为 △ ABC 的面 积 , 满足

S?

? ? (a ? c ? ? b ? ) . ?

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b ? ? ,设 A ? x , y ? ( ? -? )a ? ?c ,求函数 y ? f ( x ) 的解析式和最大值.

21. (本小题满分 12 分)如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中,

?OPQ ? 90? , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.
(1)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30? ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积最 小?并求出面积的最小值.

3

22. (本小题满分 12 分)函数 f(x)=1-2a-2acosx-2sin x 的最小值为 g(a)(a∈R). (1)求 g(a); 1 (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2

2

一、选择题:A 卷 B卷

A C D A B C A B B A

高三往届数学月一参考答案 D B A C B C C D C B D C A C 14、 ?

二、填空题:13、 ?0,1?

2 5 5

15、(3)(4)

16、 (2, 3]

三、解答题:17、解:(Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) 2 ? 3 sin 2 x

? 1 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2
= 2 sin( 2 x ?

π ) ? 2 , (3 分) 6 6 2 3

2π ( k ? Z ) 当且仅当 2 x ? π ? 2kπ ? 3π ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) min ? 0 ,

此时 x 的集合是 ? x | x ? kπ ? (Ⅱ)由 2kπ-

? ?

2 ? π, k ? Z ? 3 ?

(6 分)

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,所以 kπ- ? x ? kπ ? (k ? Z) , 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ - , kπ ? ](k ? Z) (10 分) 3 6 π 3 π ? ? 2 18、解:(1) ? q: $ x∈? , ?,sin x+asinx-1<0; (2 分) 4 ? ?4
(2) p 且 q 为真,则 p、q 同时为真,由于实数 a>0,则 p:0<a<1; (4 分) 1 ? 2 ? ?π 3π ? 2 q:x∈? , ?时,sinx∈? ,1?,则由 sin x+asinx-1≥0 得 a≥ -sinx,令 t 4 ? sinx ?4 2 ? ? =sinx,则 t∈?

? 2 ? ,1?, ?2 ?

(8 分)

1 1 ? 2 ? ? 2? 函数 f(t)= -t 在区间(0,+∞)上为减函数,则当 t∈? ,1?时,f(t)= -t≤f? ?= t t 2 ? ? ?2? 2 , 2 1 2 ?π 3π ? 要使 a≥ -sinx 在 x∈? , ?上恒成立,则 a≥ . (10 分) 4 4 sinx 2 ? ? 综上可知, 2 ≤a<1. 2 (12 分)

4

19、解:(1) 当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ?满足 B ? A; (2 分) ?m+1≥-2, ? 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立,则? 解得 2≤m≤3. ?2m-1≤5, ? 综上所述,当 m≤3 时有 B ? A. (6 分) (2) 因为 x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,则 ① 若 B= ?,即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; (8 分) ? ? ?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, ② 若 B≠ ?,则要满足条件? 解得 m>4;或? 无解. ?m+1>5, ?2m-1<-2, ? ? 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 或 m>4. (12 分) 20 解: (Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得

? ? ac sin B ? ? ?ac cos B ? ?
所以 B ?

∴ tan B ? ? ,又 B ? (?,? ) ……4 分 ……5 分

?

?

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 B?

?
?

, △ ABC 的 内 角 和 A ? B ? C ? ? , 又 A ? ?,C ? ? 得 …6 分

?? A?

?? . ?
a?

由正弦定理,知

b sin A ? sin B

? sin x ? ? sin x , ? sin ?

c?

b ?? sin C ? ? sin( ? x) …8 分 sin B ?

所以 y ? ( ? -? )a ? ?c

?( 2 3 - 1) sin x ? 4 sin( ?? ) ?

? ? ? sin(x ?
当x?

?
?

2? ? x) ? 2 3 sin x ? 2 3 cos x 3
……10 分 ……12 分

)(? ? x ?

?
?

?

?
?

,即 x ?

?
?

时, y 取得最大值 ? ?

21、解:(Ⅰ)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ?

5 , OP ? 2 2 ,

由余弦定理得, OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . (4 分) (Ⅱ)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ? 故 S ?OMN ?

OM OP , ? sin ?OPM sin ?OMP
(6 分)

OP sin 45? OP sin 45? , 同理 ON ? sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?
1 ? OM ? ON ? sin ?MON 2

1 OP 2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?
5

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

?

?

1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2
(10 分)

?

?

?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? ,所以当 ? ? 30? 时

sin ? 2? ? 30? ? 的最大值为 1 , 此时 ?OMN 的面积取到最小值 . 即 2 ?POM ? 30?
时, ?OMN 的面积的最小值为 8 ? 4 3 . (12 分) 22.(1)

f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)
2

=2cos x-2acosx-(2a+1)=2?cosx- ? - -2a-1.这里-1≤cosx≤1. 2? 2 ? ①若-1≤ ≤1,即-2≤a≤2,则当 cosx= 时,f(x)min=- -2a-1 2 2 2 ②若 >1,则当 cosx=1 时,f(x)min=1-4a; 2 ③若 <-1,则当 cosx=-1 时,f(x)min=1. 2 1 (a<-2) ? ? a 因此 g(a)=?- -2a-1 (-2≤a≤2) 2 ? ?1-4a (a>2)
2

?

a?2 a2 a

(2 分)

a

a2

a a

(8 分).

6

1 (2)∵g(a)= . 2 1 1 ∴①若 a>2,则有 1-4a= ,得 a= ,矛盾; 2 8 1 ②若-2≤a≤2,则有- -2a-1= , 2 2 即 a +4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3(舍). 1?2 1 1 ? ∴g(a)= 时,a=-1. 此时 f(x)=2?cosx+ ? + , 2? 2 2 ? 当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为 5. (12 分)
2

a2

7


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