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5.面面平行的判定与性质


平面和平面的位置关系
图形 文字语言(读法) 两个平面无公共点 两个平面平行 符号语言

?
?
β α

α∥ β

两个平面有一公共直 线两个平面相交

? ?? ?l

平面和平面平行 的判定和性质

问题:如何判断平面与

平面平行?
?

思考1:如果平面α内的任意直线都 平行于平面β,则α∥β吗? 思考2:若平面α内有一条直线a平 行于平面β,则能保证α∥β吗? 思考3:若平面α内有两条直线a、b都 平行于平面β,能保证α∥β吗? a b
α β β α

α
β

?

a
α

β

?

b

a

平面与平面平行的判定定理
定理内容:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行 简记为: 线面平行,则面面平行

符号语言:若 a ? ? , b ? ? , a ? b ? P , a // ? , b // ? , 则? // ? .

图形:

?

P

a
b

?

证明面面平行

?

找两组线面平行
N
D1 M

F
B1 E

C1

1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1, A1 求证:平面AB1D1//平面C1BD. 变式:正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、 B1C1 、C1D1的中点. A 求证:平面AMN//平面EFDB.

D

C

B

2.P是△ABC所在平面外的一点,A’、 B’、C’分别是△PBC、△PCA、 △PAB的重心. (1)求证:平面A’B’C’∥平面ABC; (2)求△A’B’C’与△ABC的面积之比.

G

思考:由面面平行可以得到什么结论?
?

?

?

思考1:如果两个平面平行,那么一个平面内的 直线与另一个平面有什么位置关系? 思考2:如果两个平面平行,那么一个平面内的 直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系? 思考3:在上述条件下,怎样操作可保证两直线 平行?

平面与平面平行的性质定理
定理内容:如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 简记为: 面面平行,则线线平行

符号语言: 若 a // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则a // b.
?

图形:

?

b

?

a

平面与平面平行的重要结论
定理内容:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 任意直线平行于另一个平面 简记为: 面面平行,则线面平行

符号语言:

若 a // ? , a ? ? , 则a // ? .
a

图形:

?
?

面面平行的应用

?

?

可以得线面平行 可以得线线平行
A

1.求证: 夹在两个平行平面间的平行 线段相等.

D

?
? B
C

2.已知点S是正△ABC所在平面外 一点,且SA=SB=SC,SG为 △SAB上的高,D、E、F分别是 AC、BC、SC的中点,判断SG 与平面DEF的关系,并给予证明.

平行关系综述
线线平行
// c .

若 a ? ? , b ? ? , a // b,则 a // ?
若 a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b, 则a // b.
// ? ,b b? P, a? b? a?

线面平行
,则

c , 则a

?/

b, b //

若a //

面面平行





公理4

a/ /?

?,

,a

?,

??

,则 a/ /?

a/ /?

.

/?

.

若a // ? ,? ?? ?a ,? ?? ?b a // ,则 b.

综合题
1.正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直,M、N 分别是对角线AC和BF上的点,且AM=FN. (1)求证:MN∥平面BEC; (2)设正方形的边长为a,AM=FN=b,求MN的长. (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐 角,当线段MN的长度最短时,计算α和β的度数.

2. 如图,设AB、CD为夹在两个平行 平面α、β 之间的线段,且直线 AB、CD为异面直线,M、P 分 别为AB、CD 的中点,求证: 直线MP // 平面α. 3.已知α∥β,AB、CD是夹在α 与β间的两条线段,点E、F 分别在AB、CD上,且 AE:EB=CF:FD=m:n,求 证:EF∥α∥β.

?

A
M

C

P
N
D

?

B

E

A

4. C、D是线段AB上的两点, AC=BD,过C,D的两个 平行平面为α,β,自A作 直线交α,β于E,F, 过B作 直线交α,β于G,H, 求证:S△CEG=S△DFH.

G C

?

E

?

D

H

F

B


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