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1第二章平面向量(含答案)(考试试题)

时间:2017-11-27


平面向量试题(一)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. ( 如图,已知 ) =a, =b, =c, =d,且四边形 ABCD 为平行四边形,则

A.a+b+c+d=0 2. A. 3. A.4.

B.a-b+c-d=0

C.a+b-c+d=0

D.a-b-c+d=0 共线的是( ) D.3 +

若 M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与 + + B. + + C. +

+ ) a+ b

若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( a+ b B. a- b C. a- b =2 D.-3 D.(2,0)

设点 A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且 B.(-2,-16) + C.(4,16) )· =|

,则点 D 的坐标为(

)

A.(2,16) 5.

在△ABC 中,(

|2,则△ABC 的形状一定是( C.直角三角形

)

A.等边三角形 6.

B.等腰三角形

D.等腰直角三角形 · = · ,则

在△ABC 中,AB=4,∠ABC=30° ,D 是边 BC 上的一点,且 · 的值等于( ) C.4 D.8

A.-4 7.

B.0

已知|a|=1,|b|= B.45°

,且 a⊥(a-b),则向量 a 与向量 b 的夹角是( C.90° D.135°

)

A.30° 8.

已知平面上直线 l 的方向向量 e= - , =λe,其中 λ 等于( )
1

,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别

是 O'和 A',则

A. 9. + A. 10. A. B. C. D. 11. ,-

B.-

C.2

D.-2

P 为正六边形 ABCDEF 所在平面内一点,O 为正六边形的中心,则 + + B.3 + + 等于( C.6 , ) D.0 ,b= ,的夹角相等,且|x|=1,则 x=( )

已知向量 x 与向量 a= ,,,或 或 - , ,

已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,且 ) B.P 在△ABC 外部 D.P 在 AC 边上

+

+

=

,则点 P

与△ABC 的位置关系是( A.P 在△ABC 内部

C.P 在 AB 边上或其延长线上 12.

已知平面向量 a,b,c 满足|a|=1,|b|=2,|c|=3,且 a,b,c 两两所成的角相等,则 ) B.6 或 C. D.6

|a+b+c|等于( A.6 或

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 13. l1、l2 是不共线的向量,且 a=-l1+3l2,b=4l1+2l2,c=-3l1+12l2,若 b、c 为一组基底,

则向量 a=________. 14. 15. 若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于________. 已知 e1=(2,1),e2=(2,-1),点 P 的坐标(x,y)满足方程 -y2=1,若 =ae1+be2(a,b∈

R,O 为坐标原点),则 a,b 满足的一个等式是________.

2

16.

已知

+

+

=0,|

|=|

|=|

|=1,则





两两的夹角是

________. 17. 若两个向量 a 与 b 的夹角为 θ,则称向量“a×b”为“向量积”,其长度

|a×b|=|a||b|·sin θ,若已知|a|=1,|b|=5,a· b=-4,则|a×b|=________. 三、解答题(共 70 分) 18. (10 分) 如下图,在平行四边形 OADB 中,设 , 及 . =a, =b, = , = .

试用 a,b 表示

19.

(12 分)在四边形 ABCD 中,

=(6,1),

=(x,y),

=(-2,-3),



.

(1)求 x 与 y 的关系式; (2)若 ⊥ ,求 x、y 的值以及四边形 ABCD 的面积.

20.

(12 分)已知 a= - ,

,

=a-b,

=a+b,若△AOB 是以 O 为直角顶点的

等腰直角三角形,求向量 b.

3

21.

(12 分)已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.

(1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值; (2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t.

22.

(12 分)如下图,在△ABC 中,点 D 和 E 分别在边 BC 与 AC 上,且

BD= BC,CE= CA,AD 与 BE 交于点 R,用向量法证明:RD= AD,RE= BE.

23. (12 分) 在平面直角坐标系中,A(1,t),C(-2t,2), 其中 t∈(0,+∞). (1)求 B 点坐标; (2)求四边形 OABC 在第一象限部分的面积 S(t).

=

+

(O 是坐标原点),

4

平面向量试题(一)
答案:
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.[答案] B [解析] ∵ + =0,∴ - + - =0,即 a-b+c-d=0. 2.[答案] C [解析] 由题意知 + + =0,∵0∥ ,∴C 正确,故选 C.(注意利用结论:在△ ABC 中,对 △ ABC 的重心 M 有 + + =0) 3.[答案] B [解析] 设 c=xa+yb,∵a=(1,1),b=(1,-1),∴c=(x+y,x-y).又∵c=(-1,2),



解得

∴c= a- b.故选 B. 4.[答案] A [解析] 设 D(x,y),由题意可知 =(x+1,y-2), =(1,-4),∴2 -3 =2(3,1)-3(1,-4)=(3,14), ∴ ∴ 故选 A. )=0,即 · ( + + )=0, =(3,1),

5.[答案] C [解析] 由( + )· =| |2,得 · ( + ∴2 · =0,∴ ⊥ ,∴A=90° .故选 C. 6.[答案] C [解析] ∵ · = · , ∴ · ( - )=0, ∴ · =0,即 AD⊥BC, ∴∠ADB=90° , 在 Rt△ ADB 中,∠ABD=30° , ∴AD= AB=2,∠BAD=60° , ∴ · =| || |cos 60° =2× 4× =4.

7.[答案] B [解析] 由 a⊥(a-b),得 a· (a-b)=0,即 a2-a· b=0,∴a· b=a2.设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ,则 cos θ= = = = .又∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°. 与 e 的夹角).

8.[答案] D [解析] 由题意可知| |=| |cos(π-θ)(θ 为 ∵O(0,0),A(1,-2),∴ =(1,-2).

5

∵e= - ,

,∴

· e=1× -

+(-2)× =-2=|

|·|e|·cos θ,∴|

|·cos θ=-2.又∵|

|=|λ|·|e|,∴λ=±2.

又由已知可得 λ<0,∴λ=-2,故选 D. 9.[答案] C [解析] 由题意可知 + = , + = , + = , + = , + = , + = .在正六 边形 ABCDEF 中,O 为中心,故 + =0, + =0, + =0,∴ + + + + + =6 . 故选 C. 10.[答案] D [解析] (代入验证法)四个选项中的向量的模均为 1,且|a|=|b|,则有 a· x=b· x,代入验证,知 D 中两 个向量均符合. 11.[答案] D [解析] ∵ + + = , ∴ + + = - , ∴ =-2 ,即向量 与 共线, ∴P,A,C 三点共线,且点 P 在 AC 边上. 12.[答案] A [解析] ∵a,b,c 两两所成的角相等, ∴这个角为 0° 或 120° . 当夹角为 0° 时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6,排除 C; 当夹角为 120° 时,a· b=|a||b|cos 120° =1× 2× c· a=|c||a|cos 120° =3× 1× =- , =3, =-1,b· c=|b||c|· cos 120° =2× 3× =-3,

∴|a+b+c|2=a2+b2+c2+2(a· b+b· c+c· a)=12+22+32+2 -1-3∴|a+b+c|= . ∴|a+b+c|=6 或 .

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
13.[答案] b+ c

[解析] 设 a=xb+yc,由题意可知-l1+3l2=x(4l1+2l2)+y(-3l1+12l2).整理得 -l1+3l2=(4x-3y)l1+(2x+12y)l2.由平面向量基本定理得

解得 14.[答案]

∴a=-

b+

c.

[解析] ∵A(2,2),B(a,0),C(0,b), ∴ =(a-2,-2), =(-a,b), 又 与 共线, ∴b(a-2)-(-2)(-a)=0, 即 b(a-2)-2a=0,
6

∴b=

,取倒数得:

=

= - ,

∴ + = . 15.[答案] 4ab=1 [解析] ∵e1=(2,1),e2=(2,-1), ∴ =ae1+be2=a(2,1)+b(2,-1)=(2a,a)+(2b,-b)=(2a+2b,a-b). ∵点 P 的坐标为(x,y),∴ ∵x,y 满足方程 -y2=1, ∴ -(a-b)2=1,化简可得 4ab=1,此即为 a,b 满足的一个等式. =(x,y),即

16.[答案] 120° [解析] 由 | |2=| |2+2 ∵| |=| |=| ∴ · =- , , >=- ,∴< , >=120° .同理,< , >=120° ,< , >=120° . + + · +| |=1, =0,得 |2. =-( + ).∴ =[-( + )]2.整理得

∴cos<

17.[答案] 3 [解析] 由|a|=1,|b|=5,a· b=-4 得 cos θ=- ,又 θ∈[0,π],所以 sin θ= . 由此可得|a× b|=1× 5× =3.

三、解答题(共 70 分)
18. [解析] 由题意知,在平行四边形 OADB 中, 则 = 则 = = + = ( = =b+ a- b= a+ b, + )= (a+b)(a+b), a- b= a- b. = = = ( )= (a-b)= a- b,

19. [解析] 如下图.

7

(1)∵ = + + =(x+4,y-2), ∴ =- =(-x-4,2-y). 又∵ ∥ , =(x,y),∴x(2-y)-(-x-4)y=0,即 x+2y=0. (2)由于 = + =(x+6,y+1), = + =(x-2,y-3). ∵ ⊥ ,∴ · =0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0, ∴y2-2y-3=0,∴y=3 或 y=-1. 当 y=3 时,x=-6,于是 =(-6,3), =(0,4), =(-8,0). ∴| |=4,| |=8, ∴S 四边形 ABCD= | || |=16. =(8,0), =(0,-4).

当 y=-1 时,x=2,于是有 =(2,-1), ∴| |=8,| |=4,S 四边形 ABCD=16. 综上可知 或

S 四边形 ABCD=16. 20. [解析] 设向量 b=(x,y),依题意知 · =0,| 所以|a|=|b|=1,a· b=0. 所以向量 b 是与向量 a 垂直的单位向量,

|=|

|,则(a-b)· (a+b)=0,|a-b|=|a+b|,

则 解得 b= , 或 b= ,.

21. [解析] (1)∵a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),∴a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t), ∴|a+tb|= = ≥ = = ,当且仅当 t= 时取等号, ,此时 t= .

即|a+tb|的最小值为

(2)∵a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t), 又 a-tb 与 c 共线,c=(3,-1), ∴(-3-2t)× (-1)-(2-t)× 3=0. 解之可得 t= . 22. [解析] 由 A、R、D 三点共线,可设 =λ
8

+(1-λ)

= λ

+(1-λ)

(λ∈R).①

由 B、R、E 三点共线,可设 根据平面向量基本定理得



+(1-μ)



+

(μ∈R).②

解得 ∴ ∴ 即 = = =, = . + = ,即 ( = , )+ ( )= .

同理:

∴RD= AD,RE= BE. 23. [解析] (1)∵ = + , ∴四边形 OABC 为平行四边形. 又易知 · =0,即 OA⊥OC, ∴四边形 OABC 为矩形. ∵ = + =(1-2t,2+t), ∴B(1-2t,2+t). (2)①当 1-2t>0,即 0<t< 时,A 在第一象限;B 在第一象限,C 在第二象限,如图 a, 此时 BC 的方程为 y-2=t(x+2t), 令 x=0,得 BC 交 y 轴于 K(0,2t2+2), ∴S(t)=S 四边形 OABC-S△ OKC=| · | |-S△ OKC=

-t(2t2+2)=2(1-t+t2-t3).

②当 1-2t≤0,即 t≥ 时,A 在第一象限;B 在 y 轴上或第二象限,C 在第二象限,如图 b, 此时 AB 的方程为 y-t=(x-1), ,

令 x=0,得 AB 交 y 轴于 M 0,t+ ∴S(t)=S△ OAM= t+ .

∴S(t)=

9

10


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