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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.3.2双曲线的几何性质

时间:2013-11-11


2.3.2
一、基础过关

双曲线的几何性质
( )

1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 A.2 B.2 2 C.4 D.4 2

2.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是 A.y=± 3x C.y=± 3x 1 B.y=± x 3 3 D.y=± x 3

(

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)

x2 y2 3.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12 A.2 3 B.2 C. 3 D.1 4.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4

(

)

(

)

x2 y2 5.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30° 的直 a b 线,交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3 3 ( )

x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切, a b 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 x y A. - =1 5 4 x2 y2 C. - =1 3 6 二、能力提升 7.若双曲线离心率为 5,焦点在 x 轴上,则其渐近线方程为____________. x2 y2 8.已知圆 C 过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,且圆 9 16 心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是________. 9.如图所示,ABCDEF 为正六边形,则以 F、C 为焦点,且经 过 A、E、D、B 四点的双曲线的离心率为 ___________________________________________________. 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程: x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); 9 16
2 2

(

)

x y B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 6 3

2

2

x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 16 4 11.已知双曲线的一条渐近线为 x+ 3y=0,且与椭圆 x2+4y2=64 有相同的焦距,求 双曲线的标准方程. x2 y2 12.求证:双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值. a b 三、探究与拓展 x2 y2 13.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).若双曲 a b sin∠PF1F2 a 线上存在点 P,使 = ,求该双曲线的离心率的取值范围. sin∠PF2F1 c

答案
1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 7.y=± 2x 8. 16 3 6.A

9. 3+1 x2 y2 10.解 (1)设所求双曲线方程为 - =λ (λ≠0), 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得 λ= , 4 x2 y2 1 4x2 y2 所以双曲线方程为 - = ,即 - =1. 9 16 4 9 4 x2 y2 故双曲线标准方程为 - =1. 9 4 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0). a b 由题意易求 c=2 5. ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2=1. a b 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. 故所求双曲线的标准方程为 x2 y2 - =1. 12 8

x2 y2 11.解 椭圆方程为 + =1,可知椭圆的焦距为 8 3. 64 16 ①当双曲线的焦点在 x 轴上时, x2 y2 设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b a +b =48, ? ? ∴?b 3 ? ?a= 3 ,
2 2 2 ? ?a =36, ? 解得 2 ?b =12. ?

x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 36 12 ②当双曲线的焦点在 y 轴上时, y2 x2 设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b a +b =48, ? ? ∴?a 3 ?b= 3 , ?
2 2 2 ? ?a =12, ? 解得 2 ?b =36. ?

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 12 36 由①②可知,双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 - =1 或 - =1. 36 12 12 36 12.证明 设 P(x0,y0)是双曲线上任意一点,由双曲线的两渐近线方程为 bx+ay=0 和 bx |bx0+ay0| -ay=0,可得 P 到 bx+ay=0 的距离 d1= , a2+b2 P 到 bx-ay=0 的距离 d2= |bx0-ay0| . a2+b2

2 2 |bx0+ay0| |bx0-ay0| |b2x2 0-a y0| ∴d1d2= · 2 = 2 . a +b2 a2+b2 a +b2

x2 y2 0 0 又 P 在双曲线上,∴ 2- 2=1, a b
2 2 2 2 即 b2x2 0-a y0=a b ,∴d1d2=

a2b2 . a2+b2

故 P 到两条渐近线的距离之积为定值. 13.解 如图,设|PF1|=m,|PF2|=n, n a 由题意及正弦定理得 = , m c a ∴n= m.又 m-n=2a, c a ∴m- m=2a, c a 2ac 1- ?m=2a,∴m= 即? . c ? ? c-a 2ac 又 m>c+a,∴ >c+a,即 c2-2ac-a2<0, c-a ∴e2-2e-1<0,∴1- 2<e<1+ 2. 又 e>1,∴1<e<1+ 2.


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