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广东省珠海一中2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题


珠海一中 2013—2014 学年度下学期期中考试 高 二 年级 理科数学试卷
一、选择题:(每题 5 分,共 40 分) 1、若复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 11 ? 7 i (A)、3-5i 【答案】B 2、某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有( ) (A)、 3

0 种 【答案】A (B)、35 种 (C)、42 种 (D)、48 种 (B)、3+5i ( i 为虚数单位),则 z 为( (C)、 -3+5i ) (D)、 -3-5i

1 2 【提示】 :可以分以下两种情况:⑴A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3 C4 种不同 2 1 的选法;⑵A 类选修课选 2 门, B 类选修课选 1 门,有 C3 C4 种不同的选法。所以不同的选 1 2 1 法共有 C3 ﹦30 种 C4 ﹢ C32C4

3、对于 R 上可导的连续函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) ? f '( x) ? 0 ,则必有( A、 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C、 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 【答案】C B、 f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D、 f (0) ? f (2) ? 2 f (1)



提示:依题意,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x )在[1,+?)上是增函数;当 x ? 1 时, ( f x) 在 (-?, 1) 上是减函数, 故( f x) 当 x ? 1 时取得最小值, 即有 f (0) ? f (1) , f '( x) ? 0 ,

f (2) ? f (1) ,故选 C;
4、不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为( (A) 、 [ ?5 , 7] (C) 、 (??, ?5] ? [7, ??) ) (B) 、 [ ?4 , 6] (D) 、 (??, ?4] ? [6, ??)

1

5、设函数 f ( x) ? A、 x ?

2 ? ln x ,则 x



) B、 x ? 2 为 f ( x ) 的极小值点 D、 x ?

1 为 f ( x ) 的极大值点 2

C、 x ? 2 为 f ( x ) 的极大值点 【答案】B 6、由曲线 y ? (A) 、

1 为 f ( x ) 的极小值点 2

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
(B) 、4 (C) 、

)

10 3

16 3

(D) 、6

【答案】C 【提示】因为 ?

? ?x ? 4 ? y? x 的解为 ? ,所以两图像交点为 (4 , 2) ,于是面积 y ? 2 y ? x ? 2 ? ? ?

S ? ? [ x ? ( x ? 2)] dx ?
0

4

4 1 4 16 2 3 x 2 ? ( x 2 ? 2 x) ? ,故选 C 0 2 0 3 3

7、我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求 动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(-3,4),且法向量为 n=(1,-2)的直线(点法式)方 程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得 x-2y+11=0。类比以上方法,在空间直角坐 标系中,经过点 A (1,2,3)且法向量为 n=(-1,-2,1)的平面的方程为( ) A、x+2 y-z-2=0 B、x-2y-z-2=0 C、x+2y+z-2=0 D、x+2y+z+2=0 【答案】A [提示] 类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0 即 x+2y-z-2=0 8、把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表。设 ai j (i,j∈N* )是位于这个三角 形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42 =8,若 ai j =2 013,则 i 与 j 的和 为( ) A.107 B.108 C.109 D.110

1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 【答案】C [提示] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数构成的数列, 偶数行为偶数构成的数列, 2 013
2

=2×1 007-1,所以 2 013 为第 1 007 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961,前 32 个奇数行内数的个数的和为 1 024,故 2 013 在第 32 个奇数行内,所以 i=63,因为第 63 行的第一个数为 2×962-1=1 923,2 013=1 923+2(m-1),所以 m=46,即 j=46,所以 i+j=109. 二、填空题: (每题 5 分,共 30 分) 9、不等式 x ? | 2 x ? 1|? 3 的解集是________ 答案: (?2 , ) 【提示】原不等式等价于: x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ? x,??2 ? x ?

4 3

4 4 ,解集为 (?2 , ) 3 3

10、将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放入方法共有________种。 答案:18 【提示】因为先从 3 个信封中选一个放标号为 1,2 的卡片,有 3 种不同的选法;再从剩下
2 的 4 张卡片中选两张放入一个信封,有 C4 种方法,余下的放入最后一个信封。 2 所以,共有 3C4 ? 18 种不同的放法。

11、计算定积分 【答案】

?

1 ?1

( x2 ? sin x) dx ? ___________

2 3
1 2

1 x3 1 1 2 【提示】 ? ( x ? sin x) dx ? ( ? cos x) ? ( ? cos1) ? (? ? cos1) ? ?1 ?1 3 3 3 3
12、 已知复数 z ? m2 ? m ? 2 ? (m2 ? m ? 6) ? i 则 m ? _________ ( i 是虚数单位,m ? R ) , 若 z 是纯虚数,

【答案】 ?1

?m2 ? m ? 2 ? 0 【提示】由题意知 ? 2 ,所以解得 m ? ?1 ?m ? m ? 6 ? 0
13 、 已 知 等 式 2 ?

4 4 a a 2 2 3 3 ? 2 , 3? ? 3 ?4 ,?? , 若 8 ? ? 8 , 4? 3 3 8 8 t t 15 15

( a , t 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a , t 的值,则 a ? t =_________. 【答案】 ?55 【提示】类比等式可推测 a ? 8 , t ? 63 ,则 a ? t ? ?55 14、我国齐梁时代的数学家祖暅(公元 5-6 世纪)提出了一条原理: “幂势既同,则积不容
3

异。 ”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任 何一个平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等. 设:由曲线 x2 ? 4 y 和直线 x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋 转体为 ?1 ;由同时满足 x ? 0 , x2 ? y 2 ? 16 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的点
10
10

( x, y ) 构成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ?2 .根据祖暅原理等知识,通过
8

考察 ?2 可以得到 ?1 的体积为
6

32?

8

6

4

4

2

A

2

B

C

D

-5 -15

-10

-55

10

15 5

10

-2

-2

-4

-4

-6

-6

解答:设 A( xA , t ) , B( xB , t ) , C( xc , t ) , D( xD , t ) ,
2 2 ? ( xB ? xA ) ? ? [16 ? t 2 ? 4 ? (t ? 2)2 ] ? ? (16 ? 4t )
-8
-8

2 2 ? ( xD ? xC ) ? ? (16 -10 ? 4t )

-10

根据祖暅原理等知识,易知 ?1 的体积等于 4 为半径的一个半球的体积减去 2 为半径的一个 球的体积,计算得到结果为 32? 三、解答题: (共 6 个题,80 分) 15、 (本小题满分 12 分)已知 a ? 1 , b ? 1,试用分析法证明: 1 ? ab ? a ? b 证明: (分析法)欲证 只需 只需

1? a b ? a ? b
(1 ? ab)2 ? (a ? b)2
1 ? 2ab ? a2b2 ? a2 ? 2ab ? b2
4

??3 分 ??5 分

只需 只需

2 1 ? a 2b 2 ? a 2? b ? 0

??7 分 ??9 分

(1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0

而根据题意, a ? 1 , b ? 1

? a 2 ? 1 b2 ? 1

?

(1 ? a2 )(1 ? b2 ) ? 0 成立
??12 分

所以,原命题成立

16、 (本小题满分 12 分) 省环保研究所对某市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后, x 2 ? 发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f (x)=? 2 ?x +1-a ?+2a+3, 1? x∈[0,24],其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈? ?0,2?,若用每天 f (x)的最大值为当天的综 合放射性污染指数,并记作 M(a) x (1)令 t= 2 ,x∈[0,24],求 t 的取值范围。 x +1 (2)省政府规定, 每天的综合放射性污染指数不得超过 2, 试问目前该市中心的综合放射性污 染指数是否超标?并说明理由。 解:(1)当 x=0 时,t=0; ??1 分 1 当 0<x≤24 时,x+ ≥2(当 x=1 时取等号) ??2 分 x x 1 1 ∴t= 2 = ∈?0, ?, x +1 1 ? 2? x+ x 1? 即 t 的取值范围是? ??4 分 ?0,2? 1? 2 (2)当 a∈? ?0,2?时,记 g(t)=|t-a|+2a+3, 2 -t+3a+ ,0≤t≤a, 3 则 g(t)= ??6 分 2 1 t+a+ ,a<t≤ . 3 2 1 ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在?a, ?上单调递增, ? 2? 2 1 7 且 g(0)=3a+ ,g( )=a+ , 3 2 6 1 1 g(0)-g( )=2(a- ) ??8 分 2 4 7 1 a+ ,0≤a≤ , 6 4 故 M ( a) = ??10 分 2 1 1 3a+ , <a≤ . 3 4 2 4 ∴当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2. 9 4 4 1 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. ??12 分 9 9 2

y

? ? ?

o

a

1 2

x

? ? ?

5

17、 (本小题满分 14 分)设 f (n) ? 1 ? 求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? 证明: (用数学归纳法)

1 1 ? ? 2 3

?

1 n

(n ? N* ) (n ? 2

? f (n ? 1) ? n [ f (n) ? 1]

n ? N* )

①、当 n ? 2 时,左边 ? f (1) ? 1 , 所以,左边=右边,等式成立

右边 ? 2(1 ?

1 ? 1) ? 1 2
??3 分

②、假设 n ? k (k ? 2, k ? N * ) 时结论成立 即 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 则当 n ? k ? 1 时,

? f (k ? 1) ? k [ f (k ) ? 1]

??5 分

f (1) ? f ( 2? ) f

(? 3)

? f k? (

? 1) f k ( ?) k f [k ? ( )? 1 f ]?? k 7 (分 )

? (k ? 1 )f (k ) ? k ? (k ? 1 ) f[ k(?

1 1 ?) k ?1

?] k

??10 分

? (k ? 1 )f ( k ? 1) ? k( ? 1? ) k (? 1 f) [ k ? (

?1 ) 1 ] ??12 分

所以,当 n ? k ? 1 时,等式仍然成立 ??13 分 由①、②及数学归纳法原理知该等式成立。 ??14 分 3 2 18、 (本小题满分 14 分)设函数 f (x)=ax -3x ,(a∈R),且 x=2 是 y=f(x)的极值点,求函 数 g(x)=ex· f(x)的单调区间. 解: f ′(x)=3ax2 -6x=3x(ax-2). ??2 分

因为 x=2 是函数 y=f (x)的极值点. 所以 f ′(2)=0,即 6(2a-2)=0,因此 a=1, 经验证,当 a=1 时,x=2 是函数 f (x)的极值点, 所以 g(x)=e (x -3x ), g′(x)=ex(x3 -3x2 +3x2 -6x) =ex(x3 -6x)=x(x+ 6)(x- 6)ex
x 3 2

??4 分 ??5 分

??6 分 ??8 分 ??10 分

g ?( x ) 与 g ( x) 随 x 变化情况如下表:

x
g ?( x )
g ( x)

(?? , ? 6)

? 6
0

(? 6 , 0)

0
0

(0 , 6)

6
0

( 6 , ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

?
单调递减

?
单调递增 ??13 分

所以 y=g(x)的单调增区间是(- 6,0)和( 6,+∞); 单调减区间是(-∞,- 6)和(0, 6). ??14 分

6

19、 ( 本小题满分 14 分)函数 f (x)=x3 +ax2 +b 的图象在点 P (1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行 (1)求 a,b; (2)求函数 f (x)在[0,t ] ( t > 0 ) 内的最大值和最小值. 解: (1)f ′(x)=3x +2ax
?f ?1?=0, ? ?f ′?1?=-3, ?
2

??1 分 ??3 分

由已知条件?

即?

? ?a+b+1=0, ? ?2a+3=-3,
3

解得?
2

? ?a=-3, ? ?b=2.

??5 分

(2)由(1)知 f (x)=x -3x +2, f ′(x)=3x2 -6x=3x(x-2), f ′(x)与 f (x) 随 x 变化情况如下: x f ′(x) f (x) (-∞,0) + 单调递增 0 0 2 (0,2) - 单调递减 2 0 -2 (2,+∞) + 单调递增 ??8 分 由 f (x)=f (0)解得 x=0,或 x=3 因此根据 f (x)的图象(右图) ①、当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f (0)=2 最小值为 f (t)= t ? 3t ? 2 ; ??10 分
3 2

??6 分

②、当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f (0)=2, 最小值为 f (2)=-2; ??12 分
3 2

③、当 t>3 时,f(x)的最大值为 f (t)= t ? 3t ? 2 , 最小值为 f (2)=-2. ??14 分

20、 (本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? a( x ?1) ? ln x
2

(1)若 y ? f ( x) 在x = 2处取得极小值,求a的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求a的取值范围; (3)求证:当 n ? 2 且 n ? N * 时,

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 。 ? ? ... ? ? ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? 2n

7

20. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 2ax ?

1 x 1 8

??1分 ??3分

∵ f ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值,∴ f ?(2) ? 0 ,即 a ? 此时,经验证 x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点,故 a ? (Ⅱ)∵ f ?( x ) ? 2ax ?

1 . 8

??4分

1 , x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾.???6分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ?

2ax 2 ? 1 x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 ; f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2a 2a

(ⅰ)当

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, 2 2a 1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. 2a

x ? (1,

(ⅱ)当

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, 2 2a

x ? [1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 满足题意.
综上, a ?

1 . 2

???9分

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知令 a ? 时取“ ? ”)

1 1 2 ,当 x ? [1, ??) 时, ( x ? 1) ? ln x ? 0 (当且仅当 x ? 1 2 2

1 2 ? 2 ln x x ? 1 1 1 ? ? 即当 x ? 2,3, 4, , n, 有 ln 2 ln 3

?当 x ? 1 时,

??11分

?

1 1 1 ? 2( 2 ? 2 ? ln n 2 ?1 3 ?1

?

1 ) n ?1
2

1 1 1 ? 2( ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 ) (n ? 1) ? (n ? 1)
?( 1 1 3n2 ? n ? 2 ? )] ? n ?1 n ? 1 2n 2 ? 2n
8

1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 2 4 3 5

??14分


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