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安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考


安徽省皖南八校 2014 届高三第一次联考(理科)数学
一、选择题 1.已知复数 z ? A.第一象限

2?i ,则 z 在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限 )

2.已知集合 A ? x | y ? log 2 x , B ? ? y | y ? (

) x ? ,则 A ? CR B ? ( A. ?x | 0 ? x ? 1 ? B. ?x | x ? 1 ? C. ? x | x ? 1 ? D. ?

?

?

? ?

1 ? 2 ?

3.若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a)[ x ? (a ? 2)] ? 0 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 A. [?1,0] B. (?1, 0) C. (??,0] ? [1, ??) ) D. (??, ?1) ? (0, ??)

x 4.设 f ( x) ? e ? x ? 4 ,则函数 f ( x ) 的零点位于区间(

A. (?1, 0)

B. (0,1)

C. (1, 2)

D. (2,3)

5.已知 a ? (0,

?
2

),cos ? ?

? 3 ,则 cos(? ? ) 等于( 6 3
6 6
C. ?



A.

1 6 ? 2 6

B. 1 ?

1 6 ? 2 6

D. ?1 ?

6 6


6.已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1,(a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 ,则 | b | 的取值范围为( A. [1, 2] B. [2, 4] C. [ , ]

?

?

?

? ?

?

?

?

1 1 4 2

D. [ ,1]

7.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (? ? x) ,且当 x ? ( ? A. f (1) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (2) ? f (1) B. f (2) ? f (3) ? f (1)

? ?

1 2

, ) 时, f ( x) ? e x ? sin x ,则( ) 2 2

D. f (3) ? f (1) ? f (2)

8.已知 ?ABC 为等边三角形, AB ? 2 ,设 P, Q 满足 AP ? ? AB, AQ ? (1 ? ? ) AC(? ? R) , 若 BQ ? CP ? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3 ,则 ? 等于( ) 2
B.

A.

1 2

1? 2 2

C.

1 ? 10 2

D.

3? 2 2 2

9.已知函数 f ( x) ?

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,将函数 f ( x) 的 2 2 2

图象向左平移 A.

? 6

? ? 1 个单位后得到函数 g ( x) 的图象,且 g ( ) ? ,则 ? ? ( 12 4 2 ? ? 2? B. C. D. 4 3 3



10.函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函 数 f ( x) 在 D 上 为 非 减 函 数 , 设 函 数 f ( x) 在 [0,1] 上 为 非 减 函 数 , 且 满 足 以 下 三 个 条 件 :① f (0) ? 0 ;② f ( ) ? ( ) A.

x 3

1 1 1 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) , 则 f ( ) ? f ( ) 等 于 3 8 2
4 3


1 2

B.

3 4

C.1

D.

二、填空题 11.若 a ? (1, 2), b ? (?1,0) ,则 2a ? b ? 12 . 已 知 函 数 f ( x ) ? x sin

?

?

? ?

x , 如 果 存 在 实 数 x1 , x2 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x 都 有 2


f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 | x1 ? x2 | 的最小值是

? x ? 1 (0 ? x ? 1) ? 13.已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f ( a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取 2 ? ( x ? 1) ? ? 2
值范围是 。
2

14.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 A, B, C 的对边,已知 b ? c(b ? 2c) ,若 a ? 则 ?ABC 的面积等于 。

6,cos A ?

7 , 8

15 . 在 整 数 集 Z 中 , 被 5 除 所 得 余 数 为 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 “ 类 ” , 记 为 [k ] , 即 ,则下列结论正确的为 [k ] ? ? 5n ? k | n? Z 4 ? , b? 0,1, 2, 3, (写出所有正确的编号) ;④“整数 a , b 属于同一类”的

[2] ? [3] ? [4] ① 2013 ? [3] ; ② ?1?[3] ;③ Z ? [0] ?[1] ?

充要条件是“ a ? b ? [0] ” ;⑤命题“整数 a , b 满足 a ?[1], b ?[3] ,则 a ? b ? [4] ”的原命题 与逆命题都为真命题。

三、解答题 16.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,并且 2 3 sin (1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 2 3, c ? 2 ,求 A 。
2

A? B ? sin C ? 3 ? 1 。 2

?2 x ? a 17.设定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 ( a , b 为实数) 。 2 ?b
(1)若 f ( x ) 是奇函数,求 a , b 的值;
2 (2)当 f ( x ) 是奇函数时,证明对任何实数 x, c 都有 f ( x) ? c ? 3c ? 3 成立。

18.已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a ln x 。 (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 ,且 a ?

1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间。 2

19.如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合。终边交单位 圆于点 A ,且 ? ? (

? ?

, ) ,将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B ,记 3 6 2

?

。 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) (1)若 x1 ?

1 ,求 x2 ; 3

(2)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C、D ,记 ?AOC 的面积为 S1 , ?BOD 的面积 为 S2 ,若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值。

20.已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax 和 g ( x) ? x ? a .其中 a ? R且a ? 0 . (1)若函数 f ( x ) 与的图像的一个公共点恰好在 x 轴上,求 a 的值; (2) 若 p 和 q 是方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的两根, 且满足 0 ? p ? q ?

1 , 证明: 当 x ? ? 0, p ? 时, a

g ( x) ? f ? x ? ? p ? a .

21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? a ln x 和 g ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) , g ( x) 的表达式;

1 x ? x ,且 f ?(1) ? g ?(1) 。 a

(2)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? m ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。

1 1 4 2

皖南八校 2014 届高三第一次联考 数学理试卷参考答案 1.A ∵z= 2. C A∩
R

2-i 1 3 1 3 =2-2i,∴- z =2+2i,应选 A. 1+i

由 log2x≥0, x≥1, ∴A={x|x≥1}, B={x|0<x<1}, R B={x|x≤0 或 x≥1},

B={x|x≥1}.

?a≤0 3.A 依题意 0<x<1?a≤x≤a+2,∴? ,∴-1≤a≤0. ?a+2≥1 4.C f(x)=ex+x-4 单调递增,仅有一个零点.又 f(1)=e-3<0,f(2)=e2 -2>0, 故函数 f(x)的零点位于区间(1,2). π 3 6 5.A ∵α∈(0, 2 ),cosα = 3 ,∴sinα = 3 , π π π 3 3 6 1 1 6 ∴cos(α+ 6 )=cosα cos 6 -sinα sin 6 = 3 × 2 - 3 ×2=2- 6 . 6.D 由题意知 b≠0,设向量 a,b 的夹角为 θ,(a+b)· (a-2b)=a2-a· b- 2 1-2|b| 2b2 , 1 - |b|cos θ - 2|b|2 = 0 , ∴cos θ = |b| , ∵ - 1≤cos θ ≤ 1 , ∴ - 1-2|b|2 1≤ ≤1, |b| 1 ∴2≤|b|≤1. π 7.D 由 f(x)=f(π -x),得函数 f(x)的图象关于直线 x= 2 对称,又当 x∈(- π π π π x 2 , 2 )时,f′(x)=e +cos x>0 恒成立,所以 f(x)在(- 2 , 2 )上为增函数,f(2) π =f(π -2), f(3)=f(π -3), 且 0<π -3<1<π -2< 2 , 所以 f(π -3)<f(1)<f(π -2),即 f(3)<f(1)<f(2). → =BA → +AQ → ,CP → =CA → +AP → ,∴BQ →· → =(BA → +AQ → )· → +AP →) 8.A ∵BQ CP (CA →· → -AB →· → -AC →· → +AQ →· → =AB →· → -λAB → 2-(1-λ)AC → 2+λ(1-λ)AB →· =AB AC AP AQ AP AC 3 1 =2-4λ-4(1-λ)+2λ(1-λ)=2λ(1-λ)-2=-2,∴λ=2. 1 1 1 1 9.D ∵f(x)=2sin 2xsin +cos(cos2x-2)=2sin 2xsin +2cos cos 2x 1 =2cos(2x-),

π π π π 2π 1 1 ∴g(x)=2cos(2x+ 6 -), ∵g( 4 )=2, ∴2× 4 + 6 -φ=2kπ (k∈Z), 即 φ= 3 2π -2kπ (k∈Z),∵0<<π ,∴φ= 3 . 10.B 由 f(1-x)=1-f(x),令 x=1 可得 f(1)=1, 1 ?1? 1 ?1? 1 ?1? 1 ∴f?3?=2f(1)=2.∴f?9?=2f?3?=4. ? ? ? ? ? ? 1 ?1? 1 令 x=2代入 f(1-x)=1-f(x)可得 f?2?=2, ? ? ?1? 1 ?1? 1 ∴f?6?=2f?2?=4. ? ? ? ? ?1? ?1? 1 由 f(x)在[0,1]上是非减函数,且 f?9?=f?6?= , ? ? ? ? 4 1 1 1 ∴当9≤x≤6时,f(x)=4. ?1? 1 ?1? ?1? 3 ∴f?8?=4,∴f?3?+f?8?=4. ? ? ? ? ? ? 11.(3,4) 2a-b=(2,4)-(-1,0)=(3,4). 12.2π 要使对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 f(x1),f(x2)分 别为函数的最小值与最大值.由函数图象知|x1-x2|的最小值为半个周期 2 π. 3 13.[4,2) 画出函数图象如图所示,由图象可知要使 a>b≥0,f(a) 1 1 1 =f(b)同时成立,2≤b<1,bf(a)=b· f(b)=b(b+1)=b2+b=(b+2)2-4 3 ∴4 ≤b· f(a)<2. 15 14. 2 因为 b2=c(b+2c),所以 b2-c2=bc+c2,(b-c)(b+c)=c(b+c),∴b =2c. 7 由余弦定理得 6=b2+c2-2bccos A=5c2-2c2,∴c=2,b=4. 1 15 ∴S△ABC=2bcsin A=4 1-cos2A= 2 . 15.①③④ 依题意 2013 被 5 除的余数为 3,则①正确;-1=5×(-1)+4, 则②错误; 整数集就是由被 5 除所得余数为 0,1,2,3,4 的整数构成,③正确;假设 ④中 a=5n1+m1,b=5n2+m2,a-b=5(n1-n2)+m1-m2,a,b 要是同类,则 m1 -m2=0,所以 a-b∈[0],反之也成立;因为 a∈[1],b∈[3],所以可设 a=5n1 +1,b=5n2+3,∴a+b=5(n1+n2)+4∈[4],原命题成立,逆命题不成立,如 a =5,b=9 满足 a+b∈[4],但是 a∈[0],b∈[4],⑤错误. A+B 16.解:(1) ∵2 3sin2 2 -(sin C+ 3+1)=0,

C ∴2 3cos2 2 -(sin C+ 3+1)=0,(2 分) 1+cos C 即 2 3· 2 -(sin C+ 3+1)=0,(3 分) π 1 即 3cos C-sin C=1,亦即 cos(C+ 6 )=2.(5 分) ∵C 为△ABC 的内角, π π 7π ∴0<C<π ,∴ 6 <C+ 6 < 6 .(7 分) π π π 从而 C+ 6 = 3 ,∴C= 6 .(8 分) (2)∵a=2 3,c=2, π ∴由余弦定理得 b2+(2 3)2-2×b×2 3cos 6 =4.(10 分) 即 b2-6b+8=0, 解得:b=2 或 b=4.(12 分) 17.解:(1)(法一)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, -1+a -2x+1 即 =0,∴a=1,∴f(x)= x+1 , 2+b 2 +b -2+1 =- ,∴b=2.(6 分) 4+b 1+b 1 -2+1

∵f(1)=-f(-1),∴

-2-x+a -2x+a (法二)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x+1 =- x+1 对任意 2 +b 2 +b 实数 x 成立.化简整理得(2a-b)· 22x+(2ab-4)· 2x+(2a-b)=0,这是关于 x 的恒 ?2a-b=0 ?a=-1 ?a=1 等式,所以? ,所以? (舍)或? . ?2ab-4=0 ?b=-2 ?b=2 所以 f(x)= -2x+1 1 1 =-2+ x .(6 分) x+1 2 +2 2 +1

(2)f(x)=

-2x+1 1 1 1 =-2+ x ,因为 2x>0,所以 2x+1>1,0< x <1, x+1 2 +2 2 +1 2 +1

1 1 从而-2<f(x)<2; 3 3 3 而 c2-3c+3=(c-2)2+4≥4对任何实数 c 成立, 所以对任何实数 x、c 都有 f(x)<c2-3c+3 成立.(12 分) 18.解:(1)当 a=2 时, f(x)=x2-(2a+1)x+aln x

=x2-5x+2ln x, 2 ∴f′(x)=2x-5+ x ,(2 分) ∴f′(1)=-1, 又 f(1)=-4,(4 分) ∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y+3=0.(5 分) 2 a 2x -(2a+1)x+a (2)f′(x)=2x-(2a+1)+ x = (x>0), x 1 令 f′(x)=0,可得 x1=2,x2=a.(6 分) 1 1 ①当 a>2时,由 f′(x)>0?x>a 或 x<2, 1 f(x)在(0,2),(a,+∞)上单调递增. 1 由 f′(x)<0?2<x<a. 1 f(x)在(2,a)上单调递减.(9 分) 1 1 ②当 0<a<2时,由 f′(x)>0 可得 f(x)在(0,a),(2,+∞)上单调递增. 1 由 f′(x)<0 可得 f(x)在(a,2)上单调递减.(12 分) π 19.解: (1)由三角函数定义,得 x1=cosα ,x2=cos(α+ 3 ). π π 1 因为 α∈( 6 , 2 ),cosα =3, 2 2 所以 sin α = 1-cos2α = 3 , π 1-2 6 1 3 所以 x2=cos(α+ 3 )=2cosα - 2 sinα = 6 .(6 分) π (2)依题意得 y1=sinα ,y2=sin(α+ 3 ). 1 1 1 所以 S1=2x1y1=2cosα ·sinα =4sin 2α , π π 2π 1 1 1 S2=2|x2|y2=2[-cos(α+ 3 )]· sin(α+ 3 )=-4sin(2α+ 3 ), 2π 依题意得 sin 2α =-2sin(2α+ 3 ), 整理得 cos 2α =0. π π π π π 因为 6 <α < 2 ,所以 3 <2α <π ,所以 2α= 2 ,即 α= 4 .(13 分) 20.解:(1)设函数 g(x)图象与 x 轴的交点坐标为(a,0), 又∵点(a,0)也在函数 f(x)的图象上,∴a3+a2=0.

而 a≠0,∴a=-1.(4 分) (2)由题意可知 f(x)-g(x)=a(x-p)(x-q). 1 ∵0<x<p<q<a,∴a(x-p)(x-q)>0,∴当 x∈(0,p)时,f(x)-g(x)>0, 即 f(x)>g(x).(8 分) 又 f(x)-(p-a)=a(x-p)(x-q)+x-a-(p-a)=(x-p)(ax-aq+1), x-p<0,且 ax-aq+1>1-aq>0,∴f(x)-(p-a)<0,∴f(x)<p-a, 综上可知,g(x)<f(x)<p-a.(13 分) 2x2-a 2 21.解:(1)由 f(x)=x -aln x,得 f′(x)= x , 1 1 1 由 g(x)=ax- x,得 g′(x)=a- . 2 x 又由题意可得 f′(1)=g′(1), 2-a 1 即 2-a= 2a ,故 a=2 或 a=2. 1 所以当 a=2 时,f(x)=x2-2ln x,g(x)=2x- x; 1 1 当 a=2时,f(x)=x2-2ln x,g(x)=2x- x.(6 分) 1 1 (2)a=2,f(x)=x2-2ln x,g(x)=2x- x. 2 1 1 1 4x -1 当 x∈[4,2)时, f′(x)=2x-2x= 2x <0, 1 1 1 1 1 f(x)在[4,2]上为减函数,f(x)≥f(2)=4+2ln 2>0; 4 x -1 1 1 1 当 x∈[4,2)时, g′(x)=2- = >0, 2 x 2 x 1 1 1 2 1 g(x)在 [4,2]上为增函数,g(x)≤g(2)=1- 2 ,且 g(x)≥g(4)=0. 1 1 1 要使不等式 f(x)≥m· g(x)在 x∈[4,2]上恒成立,当 x=4时,m 为任意实数; f(x) 1 1 当 x∈(4,2]时,m≤ , g(x) f(x) 而[ ] = g(x) min 1 f(2) (2+ 2) ln(4e). 4

1 = g(2)

所以 m≤

(2+ 2) ln(4e). (13 分) 4


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