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福建师大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


福建师大附中 2015-2016 学年高二 (上) 期中数学试卷 (理科) (实 验班)
一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.下列结论正确的是( ) A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+ ≥2 B.当 x>0 时, + ≥2

C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为

2
2

D.当 0<x≤2 时,x﹣ 无最大值

2.关于 x 的不等式 mx ﹣mx﹣1<0 的解集是全体实数,则 m 应满足的条件是( A.[﹣4,0] B. (﹣4,0] C.[0,4) D. (﹣4,0)



3.已知数列{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 5 项和为( A. 或 ) B. 或 C. D.

,则数列{

}的前

4. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶, 到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西 偏北 α 方向上,行驶 a 千米后到达 B 处,此时测得此山顶在西偏北 β 方向上,仰角为 γ,根据 这些测量数据计算(其中 β>α) ,此山的高度是( )

A. C.

B. D.

5.在△ ABC 中,①若 B=60°,a=10,b=7,则该三角形有且仅有两解;②若三角形的三边的 比是 3:5:7,则此三角形的最大角为钝角;③若△ ABC 为锐角三角形,且三边长分别为 2, 3,x,则 x 的取值范围是 A.0 B.1 C.2 D.3 .其中正确命题的个数是( )

6. 已知约束条件对应的平面区域 D 如图所示, 其中 l1, l2, l3 对应的直线方程分别为: y=k1x+b1, y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数 z=﹣kx+y 仅在点 A(m,n)处取到最大值,则有( )

A.k1<k<k2B.k1<k<k3 C.k1≤k≤k3

D.k<k1 或 k>k3 ,

7.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b,c,sinC+sin(A﹣B)=3sin2B. 若 则 =( A. ) B.3 C. 或 3 D.3 或
2 2

8.在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 c =(a﹣b) +6,△ ABC 的面积 为 A. ,则 C=( B. ) C. D.

9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S100>0,S101<0,对任意正整数 n,都有|an|≥|ak|, 则 k 的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 10.已知数列{an}的前 n 项和为 则 T2015=( A.﹣2011 ) B.﹣2012 ,令 ,记数列{bn}的前 n 项为 Tn,

C.﹣2013

D.﹣2014

11.若不等式组 A. (﹣∞,﹣4] B.[﹣4,+∞)

的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( C.[﹣4,20] D.[﹣4,20)



12.数列{an}满足 a1=1, 恒成立,则正整数 t 的最小值为( A.10 B.9 C.8 D.7

= )

,记 Sn=

ai ai+1 ,若 Sn≤

2

2

对任意的 n(n∈N )

*

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置.

13.已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=



14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,{Sn+nan}为常数列,则 an= 15.若数列{an}满足 正项数列{ ﹣
*



=0,n∈N ,p 为非零常数,则称数列{an}为“梦想数列”.已知
99

}为“梦想数列”,且 b1b2b3…b99=2 ,则 b8+b92 的最小值是



16.已知点 G 是斜△ ABC 的重心,且 AG⊥BG, 为 .

+

=

,则实数 λ 的值

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17.关于 x 的不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥0(a∈R) (1)已知不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) ,求 a 的值; 2 (2)解关于 x 的不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥0. 18.设 Sn 是数列[an}的前 n 项和, (1)求{an}的通项; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. .

19. 如图, C、 D 是两个小区所在地, C、 D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA=1km, DB=2km, AB 两端之间的距离为 6km.

(1)如图 1,某移动公司将在 AB 之间找一点 P,在 P 处建造一个信号塔,使得 P 对 A、C 的 张角与 P 对 B、D 的张角相等,试确定点 P 的位置. (2)如图 2,环保部门将在 AB 之间找一点 Q,在 Q 处建造一个垃圾处理厂,使得 Q 对 C、 D 所张角最大,试确定点 Q 的位置. 20.在△ ABC 中,已知 sinB=cosAsinC

(1)判断△ ABC 的形状 (2)若 ? =9,又△ ABC 的面积等于 6.求△ ABC 的三边之长;

(3)在(2)的条件下,设 P 是△ ABC(含边界)内一点,P 到三边 AB,BC,CA 的距离分 别为 d1,d2,d3,求 d1+d2+d3 的取值范围. 21.某个公园有个池塘,其形状为直角△ ABC,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1) , 使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△ DEF 喂食,求△ DEF 面积 S△ DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建造△ DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△ DEF 为正三角形,设求△ DEF 边长的最小值.

22.已知函数



(1)若对于任意的 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (2)若 f(x)的最小值为﹣2,求实数 k 的值; (3)若对任意的 x1,x2,x3∈R,均存在以 f(x1) ,f(x2) ,f(x3)为三边长的三角形,求实 数 k 的取值范围.

四、附加题: 23. (2015 秋?福建校级期中) 研究数列{xn}的前 n 项发现: {xn}的各项互不相同, 其前 i 项 (1≤i≤n ﹣1)中的最大者记为 ai,最后 n﹣i 项(i≤i≤n﹣1)中的最小者记为 bi,记 ci=ai﹣bi,此时 c1, c2,…cn﹣2,cn﹣1 构成等差数列,且 c1>0,证明:x1,x2,x3,…xn﹣1 为等差数列.

2015-2016 学年福建师大附中高二 (上) 期中数学试卷 (理 科) (实验班)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.下列结论正确的是( ) A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+ ≥2 B.当 x>0 时, + ≥2

C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2

D.当 0<x≤2 时,x﹣ 无最大值

【考点】基本不等式. 【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值,注意验证一正、二定、三相等条件是否 满足即可. A 中不满足“正数”,C 中“=”取不到. 【解答】解:A 中,当 0<x<1 时,lgx<0,lgx+ ≥2 不成立;由基本不等式 B 正确;

C 中“=”取不到;D 中 x﹣ 在 0<x≤2 时单调递增,当 x=2 时取最大值. 故选 B 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件,一正、二定、三相等,在解题中 要牢记. 2.关于 x 的不等式 mx ﹣mx﹣1<0 的解集是全体实数,则 m 应满足的条件是( A.[﹣4,0] B. (﹣4,0] C.[0,4) D. (﹣4,0) 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数思想;综合法;不等式的解法及应用.
2



【分析】若 m=0.则﹣1<0 恒成立,若 m≠0,由不等式的解集是全体实数可知 f(x)=mx ﹣ mx﹣1 开口向下,△ <0,列出不等式解出 m 的范围. 【解答】解:当 m=0 时,不等式为﹣1<0,恒成立; 2 当 m≠0 时,∵不等式 mx ﹣mx﹣1<0 的解集是全体实数, ∴ ,解得﹣4<m<0.

2

综上,m 的取值范围是(﹣4,0]. 故选:B. 【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系,对 m 进行讨论是关键.

3.已知数列{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 5 项和为( A. 或 ) B. 或 C. D.

,则数列{

}的前

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知式子可得数列{an}的公比,进而可得等比数列{ 由求和公式可得. 【解答】解:∵ ,∴S8=17S4, }的首项为 1,公比为± ,



=16,∴公比 q 满足 q =16,

4

∴q=2 或 q=﹣2, ∴等比数列{ }的首项为 1,公比为± ,

当公比为 时,数列{

}的前 5 项和为

=



当公比为﹣ 时,数列{

}的前 5 项和为

=

故选:A 【点评】本题考查等比数列的求和公式,涉及分类讨论的思想,属中档题. 4. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶, 到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西 偏北 α 方向上,行驶 a 千米后到达 B 处,此时测得此山顶在西偏北 β 方向上,仰角为 γ,根据 这些测量数据计算(其中 β>α) ,此山的高度是( )

A. C.

B. D.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;解三角形. 【分析】先求出 BC,再求出 CD 即可. 【解答】解:在△ ABC 中,∠ACB=β﹣α,∠ABC=π﹣β,AB=a, ∴ ∴BC= ∴CD=BCtanγ= 故选:B. , . ,

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了运用数学知识,建立数学模型解决实 际问题的能力. 5.在△ ABC 中,①若 B=60°,a=10,b=7,则该三角形有且仅有两解;②若三角形的三边的 比是 3:5:7,则此三角形的最大角为钝角;③若△ ABC 为锐角三角形,且三边长分别为 2, 3,x,则 x 的取值范围是 .其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;定义法;三角函数的求值. 【分析】①根据正弦定理判断得出 sinA= >1 不成立; )

②设边长,根据余弦定理得出最大角 cosα= ③设出角度,根据大边对大角,只需判断最大角为锐角即可. 【解答】解:在△ ABC 中,①若 B=60°,a=10,b=7, 由正弦定理 , 所以 sinA= >1,故错误; 可知,

=﹣ <0,

②若三角形的三边的比是 3:5:7, 根据题意设三角形三边长为 3x,5x,7x,最大角为 α,

由余弦定理得:cosα=

=﹣ ,

则最大角为 120°,故正确; ③若△ ABC 为锐角三角形,且三边长分别为 2,3,x,设所对角分别为 A,B,C, 则最大角为 B 或 C 所对的角, ∴cosB= >0,得是 <x,

cosC=

>0,得 x<



则 x 的取值范围是 ,故正确; 故选:C. 【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用,根据题意,正确设出边或角. 6. 已知约束条件对应的平面区域 D 如图所示, 其中 l1, l2, l3 对应的直线方程分别为: y=k1x+b1, y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数 z=﹣kx+y 仅在点 A(m,n)处取到最大值,则有( )

A.k1<k<k2B.k1<k<k3 C.k1≤k≤k3 D.k<k1 或 k>k3 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】根据 z 的几何意义,结合直线斜率之间的关系,即可得到结论. 【解答】解:A 是 l1 与 l3 的交点,目标函数 z=﹣kx+y 仅在点 A 处取到最大值, ∴直线 y=kx+z 的倾斜角比 l1 的要大,比 l3 的要小, 即有 k1<k<k3, 故选:B. 【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系,比较基础. 7.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b,c,sinC+sin(A﹣B)=3sin2B. 若 则 =( A. ) B.3 C. 或 3 D.3 或



【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【专题】计算题;解三角形.

【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式,可得 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代 入题中等式并利用三角恒等变换化简,整理得 cosB(sinA﹣3sinB)=0,可得 cosB=0 或 sinA=3sinB.再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算,可得 的值. 【解答】解:∵A+B=π﹣C, ∴sinC=sin(π﹣C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 又∵sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB, ∴sinC+sin(A﹣B)=3sin2B,即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB﹣cosAsinB)=6sinBcosB, 化简得 2sinAcosB=6sinBcosB,即 cosB(sinA﹣3sinB)=0 解之得 cosB=0 或 sinA=3sinB. ①若 cosB=0,结合 B 为三角形的内角,可得 B= ∵ ,∴A= = , ,

因此 sinA=sin

= ,由三角函数的定义得 sinA= = ;

②若 sinA=3sinB,由正弦定理得 a=3b,所以 =3. 综上所述, 的值为 或 3. 故选:C 【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式,求边之间的比值.着重考查了三角形内角和 定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识,属于中档题. 8.在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 c =(a﹣b) +6,△ ABC 的面积 为 A. ,则 C=( B. ) C. D.
2 2

【考点】余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】由已知和余弦定理可得 ab 及 cosC 的方程,再由面积公式可得 ab 和 sinC 的方程,由 同角三角函数基本关系可解 cosC,可得角 C 2 2 2 2 【解答】解:由题意可得 c =(a﹣b) +6=a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 由余弦定理可得 c =a +b ﹣2abcosC, 两式联立可得 ab(1﹣cosC)=3, 再由面积公式可得 S= absinC= ∴ab=
2

, (1﹣cosC) ,

,代入 ab(1﹣cosC)=3 可得 sinC=
2 2 2

再由 sin C+cos C=1 可得 3(1﹣cosC) +cos C=1, 解得 cosC= ,或 cosC=1(舍去) ,

∵C∈(0,π) ,∴C=



故选:A. 【点评】本题考查余弦定理,涉及三角形的面积公式和三角函数的运算,属中档题. 9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S100>0,S101<0,对任意正整数 n,都有|an|≥|ak|, 则 k 的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 【考点】等差数列的性质. 【专题】函数思想;整体思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意和等差数列的性质可得 a50+a51>0;a51<0,进而可得 a50>0,且|a50|>|a51|, 可得结论. 【解答】解:由题意和等差数列的性质可得 S100= =50(a1+a100)=50(a50+a51)>0,∴a50+a51>0; 同理 S101= = =101a51<0,∴a51<0;

∴a50>0,且|a50|>|a51|,∴k=51 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质,整体得出项的正负是解决问题的关键,属中 档题.

10.已知数列{an}的前 n 项和为

,令

,记数列{bn}的前 n 项为 Tn,

则 T2015=( ) A.﹣2011 B.﹣2012 C.﹣2013 D.﹣2014 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列;三角函数的图像与性质. 【分析】利用“当 n=1 时,a1=S1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”可得 an,于是 ﹣1)?cos .由于函数 y=cos 的周期 T= =2(n

=4.利用周期性和等差数列的前 n 项和公

式即可得出. 2 【解答】解:由数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣n, 当 n=1 时,a1=S1=1﹣1=0. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣n﹣[(n﹣1) ﹣(n﹣1)]=2n﹣2. 上式对于 n=1 时也成立. ∴an=2n﹣2. ∴ =2(n﹣1)?cos .

∵函数 y=cos

的周期 T=

=4.

∴T2015=(b1+b5+…+b2009)+(b2+b6+…+b2010)+(b3+b7+…+b2011) +(b4+b8+…+b2012)+b2013+b2014+b2015 =0﹣2(1+5+…+2009)+0+2(3+7+…+2011) +4024?cos =4×503+0﹣4026 =﹣2014. 故选 D. 【点评】本题考查了利用“当 n=1 时,a1=S1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求 an、余弦函数的周期 性、等差数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了推理能力和计算能力,属于难题. +4026?cos +4028?cos

11.若不等式组

的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是(



A. (﹣∞,﹣4] B.[﹣4,+∞) C.[﹣4,20] D.[﹣4,20) 【考点】一元二次不等式的解法. 2 【分析】先解不等式:x ﹣2x﹣3≤0,然后 a 取特殊值验证即可得到答案. 2 【解答】解:解不等式 x ﹣2x﹣3≤0 得﹣1≤x≤3; 2 2 观察选项取 a=﹣1 解不等式 x +4x﹣(1+a)<0 即 x +4x≤0 可得﹣4<x<0 显然 A 不正确; 2 2 令 a=31 不等式 x +4x﹣(1+a)<0 即 x +4x﹣32≤0 解得﹣8≤x≤4,仅有 B 正确. 故选 B. 【点评】选择题的解法非常灵活,一定要观察题干和选项,特殊值一定要特殊.是中档题.

12.数列{an}满足 a1=1,

=

,记 Sn=

ai ai+1 ,若 Sn≤

2

2

对任意的 n(n∈N )

*

恒成立,则正整数 t 的最小值为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【考点】数列与不等式的综合. 【专题】转化思想;分析法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 2 【分析】先求出数列{an }的通项公式,再求 Sn,注意运用裂项相消求和,以及不等式的性质, 可求正整数 t 的最小值. 【解答】解:∵a1=1, = ,



+4=







=4,

∴{

}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,



=4n﹣3,
2 2 2

∴an =
2

,an ?an+1 =
2

?

= (



) ,

∴Sn= Sn ≤

ai ai+1 = (1﹣ + ﹣ +…+ 对任意的 n(n∈N )恒成立,即为
*



)= (1﹣

)<

t≥30? =7.5, 而 t 为正整数,所以,tmin=8. 故选 C. 【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题,学会用不等式处理问 题.本题对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,属于中档题. 二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置.

13.已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a= 2 .

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;函数思想;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最 大值 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满足条件, 故 a=2; 故答案为:2.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键. 14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,{Sn+nan}为常数列,则 an= 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知求出 S1+a1=2,可得 Sn+nan=2,当 n≥2 时, (n+1)an=(n﹣1)an﹣1,然后利 用累积法求得 an. 【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, ∴S1+1×a1=1+1=2, ∵{Sn+nan}为常数列,∴由题意知,Sn+nan=2, 当 n≥2 时,Sn﹣1+(n﹣1)an﹣1=2 两式作差得(n+1)an=(n﹣1)an﹣1, 从而 = , .



(n≥2) ,

当 n=1 时上式成立, ∴ 故答案为: . .

【点评】本题考查数列的通项公式的求法,训练了累乘法求数列的通项公式,是中档题. 15.若数列{an}满足 正项数列{ ﹣ =0,n∈N ,p 为非零常数,则称数列{an}为“梦想数列”.已知
99 *

}为“梦想数列”,且 b1b2b3…b99=2 ,则 b8+b92 的最小值是 4 .

【考点】数列递推式. 【专题】计算题;转化思想;整体思想;分析法;点列、递归数列与数学归纳法.

【分析】由新定义得到数列{bn}为等比数列,然后由等比数列的性质得到 b50=2,再利用基本 不等式求得 b8+b92 的最小值. 【解答】解:依题意可得 bn+1=qbn,则数列{bn}为等比数列. 又 b1b2b3…b99=2 = 则 b50=2. ∴b8+b92≥ =2b50=4,
99



当且仅当 b8=b92,即该数列为常数列时取等号. 故答案为:4. 【点评】本题是新定义题,考查了等比数列的性质,训练了利用基本不等式求最值,是中档 题. 16. 已知点 G 是斜△ ABC 的重心, 且 AG⊥BG,

+

=

, 则实数 λ 的值为



【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】三角函数的求值. 【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,得到 CD= AB,再应用余弦定理推出 AC +BC =5AB ,将 式化简得 λ=
2 2 2

+

=

应用三角恒等变换公

,然后运用正弦定理和余弦定理,结合前面的结论,即可求出实

数 λ 的值. 【解答】解:如图,连接 CG,延长交 AB 于 D, 由于 G 为重心,故 D 为中点, ∵AG⊥BG,∴DG= AB, 由重心的性质得,CD=3DG,即 CD= AB, 由余弦定理得,AC =AD +CD ﹣2AD?CD?cos∠ADC, 2 2 2 BC =BD +CD ﹣2BD?CD?cos∠BDC, ∵∠ADC+∠BDC=π,AD=BD, 2 2 2 2 ∴AC +BC =2AD +2CD , ∴AC +BC = AB + AB =5AB , 又∵ ∴ 则 λ= = = . = = = = + + = = , ,
2 2 2 2 2 2 2 2

故答案为:

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的重心性质,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17.关于 x 的不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥0(a∈R) (1)已知不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) ,求 a 的值; 2 (2)解关于 x 的不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥0. 【考点】一元二次不等式的解法;二次函数的性质. 【专题】分类讨论;不等式的解法及应用. 【分析】 (1) 根据一元二次不等式与对应方程的关系, 利用根与系数的关系, 即可求出 a 的值; (2)讨论 a 的取值,求出对应不等式的解集即可. 【解答】解: (1)∵关于 x 的不等式 ax +(a﹣2)x﹣2≥0 可变形为 (ax﹣2) (x+1)≥0, 且该不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) , ∴a>0; 又不等式对应方程的两个实数根为﹣1 和 2; ∴ =2,解得 a=1; (2)①a=0 时,不等式可化为﹣2x﹣2≥0,它的解集为{x|x≤﹣1}; ②a≠0 时,不等式可化为(ax﹣2) (x+1)≥0, 当 a>0 时,原不等式化为(x﹣ ) (x+1)≥0, 它对应的方程的两个实数根为 和﹣1,且 >﹣1, ∴不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤﹣1}; 当 a<0 时,不等式化为(x﹣ ) (x+1)≤0, 不等式对应方程的两个实数根为 和﹣1, 在﹣2<a<0 时, <﹣1, ∴不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1};
2

在 a=﹣2 时,

=﹣1,不等式的解集为{x|x=﹣1};

在 a<﹣2 时, >﹣1,不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }. 综上,a=0 时,不等式的解集为{x|x≤﹣1}, a>0 时,不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤﹣1}, ﹣2<a<0 时,不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}, a=﹣2 时,不等式的解集为{x|x=﹣1}, a<﹣2 时,不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }. 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题,解题时应用分类讨论的思想, 是中档题目.

18.设 Sn 是数列[an}的前 n 项和, (1)求{an}的通项; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.



【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】 (1) 由条件可得 n≥2 时, , 整理可得 ,

故数列{

}是以 2 为公差的等差数列,其首项为

,由此求得 sn.再由

求出{an}的通项公式. (2)由(1)知, 数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)∵ ∴n≥2 时, 展开化简整理得,Sn﹣1﹣Sn =2Sn﹣1Sn,∴ 数列,其首项为 ∴ . , . , , ,∴数列{ }是以 2 为公差的等差 ,用裂项法求出

由已知条件

可得



(2)由于 ∴数列{bn}的前 n 项和



, ∴ .

【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式,等差关系的确定,用裂项法对数列 进行求和,属于中档题. 19. 如图, C、 D 是两个小区所在地, C、 D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA=1km, DB=2km, AB 两端之间的距离为 6km.

(1)如图 1,某移动公司将在 AB 之间找一点 P,在 P 处建造一个信号塔,使得 P 对 A、C 的 张角与 P 对 B、D 的张角相等,试确定点 P 的位置. (2)如图 2,环保部门将在 AB 之间找一点 Q,在 Q 处建造一个垃圾处理厂,使得 Q 对 C、 D 所张角最大,试确定点 Q 的位置. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)设出 PA 的长度 x,把∠CPA,∠DPB 的正切值用含 x 的代数式表示,由正切值 相等求得 x 的值,即可确定 P 点的位置; (2)设出 PA 的长度 x,把∠CQA 与∠DQB 的正切值用含有 x 的代数式表示,最后把∠CQD 的正切值用含有 x 的代数式表示,换元后再利用基本不等式求最值,最后得到使 Q 对 C、D 所张角最大时的 x 值,即可确定点 Q 的位置. 【解答】解: (1)设 PA=x,∠CPA=α,∠DPB=β. 依题意有 由 tanα=tanβ,得 , . ,解得 x=2,故点 P 应选在距 A 点 2km 处;

(2)设 PA=x,∠CQA=α,∠DQB=β. 依题意有 , ,

tan∠CQD=tan[π﹣(α+β)]=﹣tan(α+β)=



令 t=x+6,由 0<x<6,得 6<t<12, 则 = ,

∵ ∴ 当

, , 时,所张的角为钝角,

当 ,即 x= 时取得最大角, 故点 Q 应选在距 A 点 km 处. 【点评】本题考查解三角形的实际应用,考查了利用基本不等式求最值,解答的关键是把实 际问题转化为数学问题,是中档题. 20.在△ ABC 中,已知 sinB=cosAsinC (1)判断△ ABC 的形状 (2)若 ? =9,又△ ABC 的面积等于 6.求△ ABC 的三边之长;

(3)在(2)的条件下,设 P 是△ ABC(含边界)内一点,P 到三边 AB,BC,CA 的距离分 别为 d1,d2,d3,求 d1+d2+d3 的取值范围. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】数形结合;数形结合法;解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)由题意和三角形的知识可得 cosC=0,可得 C=90°,△ ABC 为直角三角形; (2)由数量积的意义可得 ? =| | =9,可得 AC=3,再由三角形的面积公式可得 BC=4,
2

由勾股定理可得 AB=5; (3)以 C 为原点,CA、CB 所在直线分别为 x、y 轴建立直角坐标系,设 P 的坐标为(x,y) ,

可得 d1+d2+d3=

,且

,令 x+2y=m,由线性规划的知识可得.

【解答】解: (1)∵在△ ABC 中 sinB=cosAsinC, ∴sin(A+C)=cosAsinC, ∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC, ∴sinAcosC=0,即 cosC=0,C=90°, ∴△ABC 为直角三角形; (2)∵ ? =| | =9,解得 AC=3,
2

又 ABC 的面积 S= ×3×BC=6,∴BC=4, 由勾股定理可得 AB=5; (3)以 C 为原点,CA、CB 所在直线分别为 x、y 轴建立直角坐标系, 则 A(3,0) ,B(0,4) ,可得直线 AB 的方程为 + =1,即 4x+3y﹣12=0,

设 P 的坐标为(x,y) ,则 d1+d2+d3=x+y+

,且



∴d1+d2+d3=x+y﹣

=



令 x+2y=m,由线性规划的知识可知 0≤m≤8 ∴d1+d2+d3 的取值范围为[ ,4]

【点评】本题考查解三角形,涉及向量的知识和简单线性规划,数形结合是解决问题的关键, 属中档题. 21.某个公园有个池塘,其形状为直角△ ABC,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1) , 使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△ DEF 喂食,求△ DEF 面积 S△ DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建造△ DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△ DEF 为正三角形,设求△ DEF 边长的最小值.

【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题;三角函数的求值;解三角形.

【分析】 (1)设

(0<λ<1) ,利用解直角三角形算出 EF=2λ 百米,再利用 EF∥AB 算 (1﹣λ)百米,从而得到 S△ DEF= EF?h 表示成关于 λ 的函数式,

出点 D 到 EF 的距离为 h=

利用基本不等式求最值即可算出△ DEF 面积 S△ DEF 的最大值; (2)设正三角形 DEF 的边长为 a、∠CEF=α 且∠EDB=∠1,将 CF 和 AF 用 a、α 表示出,再 用 α 分别分别表示出∠1 和∠ADF,然后利用正弦定理表示 a 并结合辅角公式化简,利用正弦 函数的值域即可求得 a 的最小值. 【解答】解: (1)Rt△ ABC 中,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. ∴cosB= ,可得 B=60°

∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B=60° 设 (0<λ<1) ,则 CE=λCB=λ 百米, CE= λ 百米,

Rt△ CEF 中,EF=2CE=2λ 百米,C 到 FE 的距离 d= ∵C 到 AB 的距离为 BC= 百米, ﹣ λ= (1﹣λ)百米
2

∴点 D 到 EF 的距离为 h= 可得 S△ DEF= EF?h= ∵λ(1﹣λ)≤ ∴当

λ(1﹣λ)百米
2

[λ+(1﹣λ)] = ,当且仅当

时等号成立 百米
2

时,即 E 为 AB 中点时,S△ DEF 的最大值为

(2)设正△ DEF 的边长为 a,∠CEF=α 则 CF=a?sinα,AF= ﹣a?sinα 设∠EDB=∠1,可得 ∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB,α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB ∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α 在△ ADF 中, 即 = ,化简得 a[2sin(120°﹣α)+sinα]=

∴a= ∴△DEF 边长最小值为

= .

=

(其中 φ 是满足 tanφ=

的锐角)

【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值,着重考查了解直角三角形、 平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识,考查了在实际问题中建立三角函数模型能 力,属于中档题.

22.已知函数



(1)若对于任意的 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (2)若 f(x)的最小值为﹣2,求实数 k 的值; (3)若对任意的 x1,x2,x3∈R,均存在以 f(x1) ,f(x2) ,f(x3)为三边长的三角形,求实 数 k 的取值范围. 【考点】复合函数的单调性. 【专题】综合题;函数的性质及应用. x x 【分析】 (1)问题等价于 4 +k?2 +1>0 恒成立,分离出参数 k 后转化为求函数的最值问题即 可; (2) ,令 ,则 ,

分 k>1,k=1,k<1 三种情况进行讨论求出 f(x)的最小值,令其为﹣2 即可解得 k 值; (3)由题意,f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意 x1,x2,x3∈R 恒成立.当 k=1 时易判断;当 k >1,k<1 时转化为函数的最值问题解决即可,借助(2)问结论易求函数的最值; x x x x 【解答】解: (1)因为 4 +2 +1>0,所以 f(x)>0 恒成立,等价于 4 +k?2 +1>0 恒成立, ﹣x x 即 k>﹣2 ﹣2 恒成立, ﹣x x x ﹣x x ﹣x 因为﹣2 ﹣2 =﹣(2 +2 )≤﹣2,当且仅当 2 =2 即 x=0 时取等号, 所以 k>﹣2; (2) ,



,则



当 k>1 时,

无最小值,舍去;

当 k=1 时,y=1 最小值不是﹣2,舍去; 当 k<1 时, 综上所述,k=﹣8. (3)由题意,f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意 x1,x2,x3∈R 恒成立. 当 k>1 时,因 故 ,即 1<k≤4; 且 , ,最小值为 ,

当 k=1 时,f(x1)=f(x2)=f(x3)=1,满足条件; 当 k<1 时, ; 综上所述, 【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题,考查转化思想,综合 性较强,难度较大. 四、附加题: 23. (2015 秋?福建校级期中) 研究数列{xn}的前 n 项发现: {xn}的各项互不相同, 其前 i 项 (1≤i≤n ﹣1)中的最大者记为 ai,最后 n﹣i 项(i≤i≤n﹣1)中的最小者记为 bi,记 ci=ai﹣bi,此时 c1, c2,…cn﹣2,cn﹣1 构成等差数列,且 c1>0,证明:x1,x2,x3,…xn﹣1 为等差数列. 【考点】等差关系的确定. 【专题】证明题;转化思想;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】依题意,0<c1<c2<…<cn﹣1,可用反证法证明 x1,x2,…,xn﹣1 是单调递增数列; 再证明 xm 为数列{xn}中的最小项,从而可求得是 xk=ck+xm,问题得证 【解答】证明:设 c 为 c1,c2,…cn﹣2,cn﹣1 的公差, 对 1≤i≤n﹣2,因为 bi≤bi+1,c>0, 所以 ai+1=bi+1+ci+1≥bi+ci+c>bi+ci=ai, 又因为 ai+1=max{ai,xi+1},所以 xi+1=ai+1>ai≥xi. 从而 x1,x2,…,xn﹣1 为递增数列. 因为 ai=xi(i=1,2,…n﹣1) , 又因为 b1=a1﹣c1<a1, 所以 b1<x1<x2<…<xn﹣1, 因此 xn=b1. 所以 b1=b2=…=bn﹣1=xn. 所以 xi=ai=bi+ci=xn+ci, 因此对 i=1,2,…,n﹣2 都有 xi+1﹣xi=ci+1﹣ci=c, 即 x1,x2,…,xn﹣1 是等差数列. 【点评】本题考查等差数列,突出考查考查推理论证与抽象思维的能力,考查反证法的应用, 属于难题. 且 ,故 ,解得