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福建省三明一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

时间:2016-07-26


福建省三明一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,仅有一个选项是正确的, 请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上. ) 1. (5 分)公司现有青年人 160 人,中年人 30 人,老年人 10 人,要从其中抽取 20 个人进行 身体健康检查,则宜采用的抽样方法是() A.抽签法

B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 2. (5 分)命题“?x∈R,x ﹣2x+1≥0”的否定是() 2 2 A.?x∈R,x ﹣2x+1≤0 B. ?X∈R,x ﹣2x+1≥0 2 2 C. ?x∈R,x ﹣2x+1<0 D.?x∈R,x ﹣2x+1<0 3. (5 分)工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 =60+90x,下列 判断正确的是() A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B. 劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C. 劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 4. (5 分)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84, 86,86,86, 88, 88,88, 88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同 的是() A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
2 2

5. (5 分)设 P 是双曲线 等于() A.5

﹣y =1 上一点,F1、F2 是双曲线的焦点,若|PF1|等于 1,则|PF2|

B. 3

C. 2

D.1

6. (5 分)已知命题 p:2+2=5,命题 q:3>2,则下列判断正确的是() A.“p 或 q”为假,“非 q”为假 B. “p 或 q”为真,“非 q”为假 C. “p 且 q”为假,“非 p”为假 D.“p 且 q”为真,“p 或 q”为假 7. (5 分)从装有 3 个红球和 4 个白球的口袋中任取 2 个小球,则下列选项中两个事件是互斥 事件的为() A.“都是红球”与“至少一个红球” B. “恰有一个红球”与“至少一个白球” C. “至少一个白球”与“至多一个红球” D.“都是红球”与“至少一个白球”

8. (5 分)在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,以 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36π 平方厘米到 64π 平方厘米的概率是() A. B. C. D.

9. (5 分)3<m<5 是方程 A.充分但非必要条件 C. 充分必要条件

表示的图形为双曲线的() B. 必要但非充分条件 D.既非充分又非必要条件

10. (5 分)设 F1、F2 是椭圆

的左、右焦点,P 为直线 x=

上一

点,△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为() A. B. C. D.

11. (5 分) 若直线 mx﹣ny=4 与⊙O: x +y =4 没有交点, 则过点 P (m, n) 的直线与椭圆 的交点个数是() A.至多为 1

2

2

B. 2

C. 1

D.0

12. (5 分)设 AB 是椭圆

(a>b>0)的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作

AB 的垂线,交椭圆的上半部分于 P1、P2、…、P99,F1 为椭圆的左焦点,则 |F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是() A.98a B.99a C.100a D.101a

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卷相应的位置上. ) 2 13. (4 分)命题“若 x ﹣3x+2≠0,则 x≠2”的逆否命题为. 14. (4 分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 [20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100) ,若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数 是.

15. (4 分)阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于.

16. (4 分)给出下列四个命题: ①动点 P 到 A(﹣5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则点 P 的轨迹是双曲线; ②“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件; ③直线 l 交椭圆 3x +4y =48 于 A,B 两点,AB 的中点为 M(2,1) ,则 l 的斜率为
2 2 2 2



④已知动圆 P 过定点 A(﹣3,0) ,并且与定圆 B: (x﹣3) +y =64 内切,则动圆的圆心 P 的轨迹是椭圆. 其中正确的命题为(只填正确命题的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. ) 17. (12 分)现有参加 CBA2013~2014 赛季的甲、乙两支球队,统计两队队员的身高如下(单 位:cm) : 甲队队员:194,187,199,207,203,205,209,199,183,215,219,206,201,208; 乙队队员:179,192,218,223,187,194,205,207,185,197,199,209,214,189. (1)用茎叶图表示两队队员的身高; (2)根据茎叶图判断哪个队队员的身高更整齐一些.

18. (12 分)某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个球的抽奖箱中,每次取出后 放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (Ⅰ)求中二等奖的概率; (Ⅱ)求未中奖的概率.
2 2

19. (12 分)求以椭圆 3x +13y =39 的焦点为焦点,以直线 y=± 为渐近线的双曲线方程.

20. (12 分)已知 m>0,p: (x+2) (x﹣6)≤0,q:2﹣m≤x≤2+m. (I)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m=5,“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围.

21. (13 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与

E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

22. (13 分)设椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)过点(2,0) ,离心率为 .

(2)求过点(1,0)且斜率为

的直线被 C 所截线段的中点坐标.

(3)设 A1 和 A2 是长轴的两个端点,直线 l 垂直于 A1A2 的延长线于点 D,|OD|=4,P 是 l 上 异于点 D 的任意一点.直线 A1P 交椭圆 C 于 M(不同于 A1,A2) ,设 λ= 取值范围. ,求 λ 的

福建省三明一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,仅有一个选项是正确的, 请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上. ) 1. (5 分)公司现有青年人 160 人,中年人 30 人,老年人 10 人,要从其中抽取 20 个人进行 身体健康检查,则宜采用的抽样方法是() A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法

考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 利用分层抽样的性质求解. 解答: 解:公司现有青年人 160 人,中年人 30 人,老年人 10 人, 要从其中抽取 20 个人进行身体健康检查, ∵总体中样本明显分为两层, ∴宜采用的抽样方法是分层抽样. 故选:D. 点评: 本题考查抽样方法的确定,是基础题,解题时要认真审题,注意分层抽样性质的合 理运用. 2. (5 分)命题“?x∈R,x ﹣2x+1≥0”的否定是() 2 2 A.?x∈R,x ﹣2x+1≤0 B. ?X∈R,x ﹣2x+1≥0 2 2 C. ?x∈R,x ﹣2x+1<0 D.?x∈R,x ﹣2x+1<0 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 证明题. 2 分析: 因为命题“?x∈R, x ﹣2x+1≥0”为全称命题, 其否定为特称命题, 将“?”改为“?”, “≥“改 为“<”即可. 解答: 解:∵命题“?x∈R,x ﹣2x+1≥0”为全称命题, 2 ∴命题的否定为:?x∈R,x ﹣2x+1<0, 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题,注意全称命题的否定为特称命 题,反过来特称命题的否定是全称命题.
2 2

3. (5 分)工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 =60+90x,下列 判断正确的是() A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B. 劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C. 劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 考点: 线性回归方程. 专题: 常规题型. 分析: 根据所给的线性回归方程,当 x 增加 1 时,y 要增加 90 元,当劳动效率增加 1000 元 时,工资提高 90 元,这里的值是平均增加 90 元. 解答: 解:∵回归直线方程为 ,

∴当 x 增加 1 时,y 要增加 90 元, ∴当劳动效率增加 1000 元时,工资提高 90 元, 故选 C.

点评: 本题考查线性回归方程的应用,解题的关键是看清题目中自变量的值每增加 1 个单 位,y 的值就平均增加 90,注意平均一词. 4. (5 分)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84, 86,86,86, 88, 88,88, 88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同 的是() A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 利用众数、平均数、中位标准差的定义,分别求出,即可得出答案. 解答: 解:A 样本数据:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. B 样本数据 84,86,86,88,88,88,90,90,90,90 众数分别为 88,90,不相等,A 错. 平均数 86,88 不相等,B 错. 中位数分别为 86,88,不相等,C 错 A 样本方差 S = S=2, B 样本方差 S =
2 2

[(82﹣86) +2×(84﹣86) +3×(86﹣86) +4×(88﹣86) ]=4,标准差

2

2

2

2

[(84﹣88) +2×(86﹣88) +3×(88﹣88) +4×(90﹣88) ]=4,标准差

2

2

2

2

S=2,D 正确 故选 D. 点评: 本题考查众数、平均数、中位标准差的定义,属于基础题.
2

5. (5 分)设 P 是双曲线 等于() A.5

﹣y =1 上一点,F1、F2 是双曲线的焦点,若|PF1|等于 1,则|PF2|

B. 3

C. 2

D.1

考点: 双曲线的简单性质. 分析: 根据双曲线的定义,方程几何性质判断 P 在左支上,利用定义得出|PF2|﹣|PF1|=4,即 可求解. 解答: 解:P 是双曲线 ﹣y =1 上一点,F1、F2 是双曲线的焦点,若|PF1|等于 1,
2

∵F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,顶点为(﹣2,0) (2,0) ∴可判断 P 在左支上, ∴|PF2|﹣|PF1|=4, ∵PF1|等于 1, ∴|PF2|等于 5, 故选:A 点评: 本题考察了双曲线的定义,方程,几何性质,属于中档题,关键是确定 P 点的位置. 6. (5 分)已知命题 p:2+2=5,命题 q:3>2,则下列判断正确的是()

A.“p 或 q”为假,“非 q”为假 C. “p 且 q”为假,“非 p”为假

B. “p 或 q”为真,“非 q”为假 D.“p 且 q”为真,“p 或 q”为假

考点: 复合命题的真假. 专题: 探究型. 分析: 先判断命题 p,q 的真假,然后利用复合命题的真假关系进行判断. 解答: 解:因为命题 p 为假,命题 q 为真, 故“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,“非 p”为真,“非 q”为假, 故选 B. 点评: 本题主要考查复合命题的真假判断,比较基础. 7. (5 分)从装有 3 个红球和 4 个白球的口袋中任取 2 个小球,则下列选项中两个事件是互斥 事件的为() A.“都是红球”与“至少一个红球” B. “恰有一个红球”与“至少一个白球” C. “至少一个白球”与“至多一个红球” D.“都是红球”与“至少一个白球” 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意得到从口袋中的 4 个白球 3 个红球中任取 2 球共有三类取法,然后结合互斥 事件概念逐一核对四个选项即可得到答案. 解答: 解:口袋中有 4 个白球 3 个红球,从中任取 2 球,共有三类取法, 分别是:取到的两个球都是白球;取到的两个球一个白球,一个红球;两个球都是红球. 选项 A 中“都是红球”是“至少一个红球”的子事件; 选项 B 中“恰有一个红球”即“一个白球、一个红球”是“至少一个白球”的子事件; 选项 C 中“至少一个白球”与“至多一个红球”有公共事件“一白一红”; 选项 D 中“都是红球”与“至少一个白球”是互斥不对立事件. 故选:D. 点评: 本题考查了互斥事件与对立事件,是基础的概念题. 8. (5 分)在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,以 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36π 平方厘米到 64π 平方厘米的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 本题利用几何概型求解.先算出事件发生的总区域的测度,即为线段 AB 的长度,再 2 2 计算出圆的面积介于 36πcm 到 64πcm 的包含的区域长度,它们的比值就是圆的面积介于 2 2 36πcm 到 64πcm 的概率. 解答: 解:因为事件满足几何概型,事件发生的总区域为线段 AB 的长度 10cm, 2 2 设“圆的面积介于 36πcm 到 64πcm ”为事件 B, 事件 B 包含的区域长度为 ﹣ =2 厘米,

∴P(B)=

= .

故选:D. 点评: 本题主要考查了几何概型,几何概型的特点有下面两个: (1)试验中所有可能出现 的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.属于基础题.

9. (5 分)3<m<5 是方程 A.充分但非必要条件 C. 充分必要条件

表示的图形为双曲线的() B. 必要但非充分条件 D.既非充分又非必要条件

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 根据双曲线的方程得出(m﹣3) (m﹣8)<0,利用充分必要条件的定义可判断. 解答: 解:∵方程 表示的图形为双曲线,

∴(m﹣3) (m﹣8)<0, ∴3<m<8, ∴根据充分必要条件的定义可判断: 3<m<5 是方程 表示的图形为双曲线的充分不必要条件

故选:A 点评: 本题考察了双曲线的方程,定义,及解不等式,充分必要条件的定义,属于容易题.

10. (5 分)设 F1、F2 是椭圆

的左、右焦点,P 为直线 x=

上一

点,△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 利用△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 解答: 解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点 上一

∴ ∴ 故选 C.

点评: 本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题.

11. (5 分) 若直线 mx﹣ny=4 与⊙O: x +y =4 没有交点, 则过点 P (m, n) 的直线与椭圆 的交点个数是() A.至多为 1

2

2

B. 2

C. 1

D.0

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据直线与圆没有交点得到圆心到直线的距离大于半径列出不等式,化简后得到 m +n <4 说明 P 在⊙O 的圆内,根据椭圆方程得到短半轴为 2,而圆的半径也为 2,所以点 P 在椭圆内部,所以过 P 的直线与椭圆有两个交点. 解答: 解:由题意圆心(0,0)到直线 mx﹣ny=4 的距离 d= 即 m +n <4,点(m,n)在以原点为圆心,2 为半径的圆内, 与椭圆 的交点个数为 2,
2 2 2 2

>2=r,

故选 B 点评: 此题要求学生掌握直线与圆的位置关系,会用点到直线的距离公式化简求值,以及 掌握椭圆的简单性质.

12. (5 分)设 AB 是椭圆

(a>b>0)的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作

AB 的垂线,交椭圆的上半部分于 P1、P2、…、P99,F1 为椭圆的左焦点,则 |F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是() A.98a B.99a C.100a D.101a 考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的定义,写出|F1Pi|+|F2Pi|=2a,对所给的所有的求和,有根据关于纵轴成对 称分布,得到结果. 解答: 解:由椭圆的定义知|F1Pi|+|F2Pi|=2a(i=1,2,…,99) , ∴ .

由题意知 P1,P2,…,P99 关于 y 轴成对称分布, ∴ .

又∵|F1A|+|F1B|=2a, 故所求的值为 101a. 故选 D. 点评: 本题考查椭圆的定义,解题的关键是看清椭圆的定义的应用,这种应用定义的题目, 一般说理性比较强,运算较小. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卷相应的位置上. ) 2 2 13. (4 分)命题“若 x ﹣3x+2≠0,则 x≠2”的逆否命题为若 x=2,则 x ﹣3x+2=0. 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 常规题型. 分析: 已知命题“若 x ﹣3x+2≠0,则 x≠2”可以根据逆否命题的定义进行求解; 2 解答: 解:∵命题“若 x ﹣3x+2≠0,则 x≠2”, 2 ∴其逆否命题为:若 x=2,则 x ﹣3x+2=0; 2 故答案为:若 x=2,则 x ﹣3x+2=0. 点评: 此题主要考查否命题和逆命题的定义,四种命题间的逆否关系是高考常考的内容, 注意原命题与其逆否命题之间的关系. 14. (4 分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为 [20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100) ,若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数 是 50.
2

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于 60 分的频率,结合已知中的低 于 60 分的人数是 15 人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量. 解答: 解:∵成绩低于 60 分有第一、二组数据, 在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为 0.005,0.01, 每组数据的组距为 20 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3, 又∵低于 60 分的人数是 15 人, 则该班的学生人数是 =50.

故答案为:50 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩 形的高×组距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键. 15. (4 分)阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于﹣3.

考点: 专题: 分析: 解答:

循环结构. 计算题. 直接利用循环框图,计算循环的结果,当 k=4 时,退出循环,输出结果. 解:由题意可知第 1 次判断后,s=1,k=2,

第 2 次判断循环,s=0,k=3, 第 3 次判断循环,s=﹣3,k=4, 不满足判断框的条件,退出循环,输出 S. 故答案为:﹣3.

点评: 本题考查循环结构的作用,注意判断框的条件以及循环后的结果,考查计算能力. 16. (4 分)给出下列四个命题: ①动点 P 到 A(﹣5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则点 P 的轨迹是双曲线; ②“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件; ③直线 l 交椭圆 3x +4y =48 于 A,B 两点,AB 的中点为 M(2,1) ,则 l 的斜率为
2 2 2 2



④已知动圆 P 过定点 A(﹣3,0) ,并且与定圆 B: (x﹣3) +y =64 内切,则动圆的圆心 P 的轨迹是椭圆. 其中正确的命题为②③④(只填正确命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: ①,深刻理解双曲线的定义,中“双”的含义,可判断①; ②,利用充分必要条件的概念及双曲线中与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点的性 质可判断②; 2 2 ③,利用“点差法”可求得直线 l 交椭圆 3x +4y =48 于 A,B 两点的直线 AB 的斜率,可判断 ③; ④,依题意知,动圆的圆心 P 满足|PA|+|PB|=8>|AB|=6,利用椭圆的定义,可判断④. 解答: 解:对于①,动点 P 到 A(﹣5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 点 P 的轨迹是双曲线的右支,不是完整的双曲线(两支) ,故①错误; 对于②,直线与双曲线只有一个公共点,则该直线可能与双曲线相交(与渐近线平行) ,也可 能与双曲线相切,故充分性不成立; 反之,直线与双曲线相切,则直线与双曲线只有一个公共点,正确,即必要性成立; 所以“直线与双曲线只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件,即②正确; 2 2 对于③,直线 l 交椭圆 3x +4y =48 于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点, 2 2 2 2 则 3x1 +4y1 =48,3x2 +4y2 =48,

两式相减得:3(x1+x2) (x1﹣x2)+4(y1+y2) (y1﹣y2)=0,AB 的中点为 M(2,1) , 所以,12(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0,即 k= =﹣ =﹣ ,l 的斜率为
2 2

,即③正确;

对于④,已知动圆 P 过定点 A(﹣3,0) ,并且与定圆 B: (x﹣3) +y =64 内切,则动圆的圆 心 P 满足|PA|+|PB|=8>|AB|=6, 所以,点 P 的轨迹是椭圆,即④正确. 故答案为:②③④. 点评: 本题考查圆锥曲线的定义与标准方程及性质的综合应用,着重考查双曲线与椭圆的 定义的理解与应用,考查“点差法”求直线的斜率,考查转化思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. ) 17. (12 分)现有参加 CBA2013~2014 赛季的甲、乙两支球队,统计两队队员的身高如下(单 位:cm) : 甲队队员:194,187,199,207,203,205,209,199,183,215,219,206,201,208; 乙队队员:179,192,218,223,187,194,205,207,185,197,199,209,214,189. (1)用茎叶图表示两队队员的身高; (2)根据茎叶图判断哪个队队员的身高更整齐一些. 考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据题目中的数据,画出茎叶图(以十位百位为茎,个位为叶)即可; (2)根据茎叶图数据,分析两队队员的身高分布情况,得出正确的统计结论. 解答: 解: (1)根据题目中的数据,画出茎叶图如下(以十位百位为茎,个位为叶) :

;…(8 分) (2)由(1)中茎叶图知, 甲队队员的身高成单峰分布,集中在 18~21 之间, 乙队队员的身高也成单峰分布,集中在 17~22 之间, 而甲队队员的身高更整齐些.…(12 分) 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,解题时应根据题目中的数据画出茎叶图,根据茎叶 图中的数据进行统计分析,是基础题. 18. (12 分)某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个球的抽奖箱中,每次取出后 放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (Ⅰ)求中二等奖的概率; (Ⅱ)求未中奖的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)求出所有基本事件总数,“中二等奖”的事件为 A 的个数.即可求中二等奖的 概率; (Ⅱ)设“未中奖”的事件为 B,所有基本事件总数,求出中奖的概率.然后求未中奖的概率. 解答: (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“中二等奖”的事件为 A,所有基本事件包括(0,0) , (0,1)…(3,3)共 16 个, 事件 A 包含基本事件(1,3) , (2,2) , (3,1)共 3 个 …(6 分)

(Ⅱ)设“未中奖”的事件为 B,所有基本事件包括(0,0) , (0,1)…(3,3)共 16 个, “两个小球号码相加之和等于 3”这一事件包括基本事件(0,3) , (1,2) (2,1) , (3,0)共 4 个, “两个小球号码相加之和等于 5”这一事件包括基本事件(2,3) , (3,2)共 2 个 ∴ 答: (Ⅰ)中二等奖的概率 (Ⅱ)未中奖的概率 ; …(12 分)

.13 分)

点评: 本题考查古典概型概率的求法,基本知识的考查.
2 2

19. (12 分)求以椭圆 3x +13y =39 的焦点为焦点,以直线 y=± 为渐近线的双曲线方程.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标,设双曲线方程为
2



=1,根据直

线 y=± 为渐近线求出 a ,可得答案.
2 2

解答: 解:椭圆 3x +13y =39 可化为

=1,其焦点坐标为(±

,0) ,

∴设双曲线方程为



=1,

∵直线 y=± 为渐近线, ∴ = ,



= ,

∴a =8, 故双曲线方程为 =1.

2

点评: 本题考查了椭圆、双曲线的简单性质. 20. (12 分)已知 m>0,p: (x+2) (x﹣6)≤0,q:2﹣m≤x≤2+m. (I)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m=5,“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用;充分条件. 专题: 计算题. 分析: (I)通过解不等式化简命题 p,将 p 是 q 的充分条件转化为[﹣2,6]是[2﹣m,2+m] 的子集,列出不等式组,求出 m 的范围. (II)将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假,分类讨论,列出不等式组,求出 x 的 范围. 解答: 解:p:﹣2≤x≤6. (I)∵p 是 q 的充分条件, ∴[﹣2,6]是[2﹣m,2+m]的子集



∴实数 m 的取值范围是[4,+∞) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(Ⅱ)当 m=5 时,q:﹣3≤x≤7.据题意有,p 与 q 一真一假.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(7 分) p 真 q 假时,由 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)

p 假 q 真时,由

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

∴实数 x 的取值范围为[﹣3,﹣2)∪(6,7].﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 判断一个命题是另一个命题的什么条件,一般先化简各个命题再利用充要条件的定 义判断;解决复合命题的真假问题常转化为简单命题的真假情况.

21. (13 分)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与

E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题.

分析: (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求 出|AB|的值. (2)L 的方程式为 y=x+c,其中 ,设 A(x1,y1) ,B(x1,y1) ,则 A,B 两点坐

标满足方程组

,化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0.然后结合题设条件和根与系数

2

2

2

的关系能够求出 b 的大小. 解答: 解: (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得 (2)L 的方程式为 y=x+c,其中

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A,B 两点坐标满足方程组
2 2 2

. ,

化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0. 则 因为直线 AB 的斜率为 1,所以 即 . .





解得



点评: 本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系,解题时要注意公式的 灵活运用.

22. (13 分)设椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)过点(2,0) ,离心率为 .

(2)求过点(1,0)且斜率为

的直线被 C 所截线段的中点坐标.

(3)设 A1 和 A2 是长轴的两个端点,直线 l 垂直于 A1A2 的延长线于点 D,|OD|=4,P 是 l 上 异于点 D 的任意一点.直线 A1P 交椭圆 C 于 M(不同于 A1,A2) ,设 λ= 取值范围. ,求 λ 的

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)将点(2,0)代入椭圆 C 的方程可得 解出即可得出. (2)过点(1,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x﹣1) ,将直线方程代入椭圆方程得 =1,解得 a,又 e= = ,b =a ﹣c ,
2 2 2

,化简可得根与系数的关系,再利用中点坐标公式即可得出. (3)由(1)知,A1(﹣2,0) ,A2(2,0) .设 M(x0,y0) .由于 M 在椭圆 C 上,可得 = .由 P,M,A1 三点共线可得 P .可得 λ= =2(x0

﹣2)+

= (2﹣x0) ,由于﹣2<x0<2,即可得出. =1,

解答: 解: (1)将点(2,0)代入椭圆 C 的方程可得 解得 a=2, 又 e= = , ∴c=1, ∴b =a ﹣c =3, ∴椭圆 C 的方程为 (2)过点(1,0)且斜率为 .
2 2 2

的直线方程为 y=

(x﹣1) ,

设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 将直线方程代入椭圆方程得 化为 2x ﹣2x﹣3=0, 由韦达定理得 x1+x2=1, ∴线段 AB 中点的横坐标为 即所截线段的中点坐标为( = ,纵坐标为 ) . ,
2



(3)由(1)知,A1(﹣2,0) ,A2(2,0) . 设 M(x0,y0) . ∵M 在椭圆 C 上,∴ = . )

由 P,M,A1 三点共线可得 P





=(x0﹣2,y0) ,

=





=2(x0﹣2)+

= (2﹣x0) , ∈(0,10) .

∵﹣2<x0<2,∴λ=

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、中点坐标公式、向量的数量积运算,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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