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3.2.1古典概型(2)

时间:2016-11-27


第三章 概 率

§3.2 古典概型
3.2.1 古典概型(二)

本节知识目录

3.2.1(二)

明目标、知重点

古 典 概 型 (二 )

填要点、记疑点 探究点一 探要点、究所然 探究点二 当堂测、查疑缺 与顺序无关的古典概型 与顺序有关

的古典概型

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3.2.1(二)

1.进一步熟悉用列举法写出随机事件所包含的基本事件及个数;

2.能从集合的角度理解古典概型的概率计算公式;
3.能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率.

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1.古典概型的适用条件 (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ; (2)每个基本事件出现的可能性 相等 . 2.古典概型的解题步骤 (1)求出总的 基本事件 数; (2)求出事件A所包含的 基本事件 数,然后利用公式 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)= .

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探究点一:与顺序有关的古典概型
思考 1 在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从 A、B、C、D 四个 选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选 题更难猜对,这是为什么?
答 这是因为猜对的概率更小,由概率公式可知,分子上的数还是 1,因正确答 案是唯一的, 而分母上的数即基本事件的总数增多了, 有(A), (B), (C), (D),(A, B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A, 1 1 C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)共 15 个,所以所求概率为15<4.

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探究点一:与顺序有关的古典概型
例 1 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少?

解 (1)掷一个骰子的结果有 6 种,我们把两个骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序实数 对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表),其中第一个数表示 1 号骰子 的结果,第二个数表示 2 号骰子的结果.(可由列表法得到)
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探究点一:与顺序有关的古典概型
2 号骰子 1 号骰子 1 2 3 4 5 6
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1

2

3

4

5

6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
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探究点一:与顺序有关的古典概型
由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种.
(2)在上面的结果中, 向上的点数之和为 5 的结果有 4 种, 分别为(1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
(3)由于所有 36 种结果是等可能的, 其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种, A所包含的基本事件的个数 4 1 因此,由古典概型的概率计算公式可得 P(A)= = = . 36 9 基本事件的总数

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探究点一:与顺序有关的古典概型
思考 2 为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出现什么情况?若用古典 概型公式,所求的概率是多少?

答 如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别,这时,所有可能的 结果将是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4) (4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)共有 21 种,和是 5 的结果有 2 个,它们是(1,4)(2,3),所求 A所包含的基本事件的个数 2 的概率为 P(A)= =21. 基本事件的总数
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3.2.1(二)

探究点一:与顺序有关的古典概型
思考 3 在例 1 中所求的概率和思考 2 中所求的概率相同吗?哪种求法不符合古典 概型?为什么?
答 求出的概率不相同;思考 2 中的求法不符合古典概型;因为两个不同的骰子

所抛掷出来的点构造的基本事件不是等可能事件. 反思与感悟 古典概型问题包含的题型较多,但都必须紧扣古典概型的定义,进

而用公式进行计算.列举法是求解古典概型问题的常用方法,借助于图表等有时 更实用有效.
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探究点一:与顺序有关的古典概型
跟踪训练 1 假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,??,9 十 个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他在自动取款 机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?
解 这个人随机试一个密码, 相当做 1 次随机试验, 试验的基本事件(所有可能的结 果)共有 10 000 种.由于是假设的随机的试密码,相当于试验的每一个结果是等可 “能取到钱”所包含的基本事件的个数 1 能的.所以 P(“能取到钱”)= =10 000. 10 000
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探究点二:与顺序无关的古典概型
例 2 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通 晓俄语,C1、C2 通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组 成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率;(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.
解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的

基本事件空间

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探究点二:与顺序无关的古典概型
Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3, C2),(A2,B1, C1), (A2, B1, C2), (A2,B2, C1), (A2,B2, C2), (A2, B3, C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2), (A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}有 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的 机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.

用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1, B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}
6 1 事件 M 有 6 个基本事件组成,因而 P(M)=18=3.
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探究点二:与顺序无关的古典概型
(2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被 选中”这一事件,由于 N ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 有 3 个基本事件组成,
3 1 1 5 所以 P( N )=18=6,由对立事件的概率公式得 P(N)=1-P( N )=1-6=6.

反思与感悟

在应用古典概型概率计算公式求概率时,有些事件用文字书写较麻

烦,我们常用一些字母或数字来表示事件,为解题带来方便.

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探究点二:与顺序无关的古典概型
跟踪训练 2 一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球,从中 一次摸出 2 只球. (1)共有多少个基本事件?(2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少?

解 (1)分别记白球为 1、2、3 号,黑球为 4、5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事件(摸 到 1、2 号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(2,3),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5).
因此,共有 10 个基本事件.
(2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同, 且只有 3 个基本事件是摸到两只白球(记 3 为事件 A),即(1,2)、(1,3)、(2,3),故 P(A)= . 10 3 故摸出 2 只球都是白球的概率为 . 10
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探究点二:与顺序无关的古典概型
例3 有 A、B、C、D 四位贵宾,应分别坐在 a、b、c、d 四个席位上,现在这四

人均未留意,在四个席位上随便就坐时, (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率; (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率; (3)求这四人恰好有 1 位坐在自己的席位上的概率.

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探究点二:与顺序无关的古典概型
解 将 A、B、C、D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:

如上图所示,本题中的等可能基本事件共有 24 个.
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探究点二:与顺序无关的古典概型
(1)设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件 A 只包含 1 个基本事 1 件,所以 P(A)= . 24 (2)设事件 B 为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”,则事件 B 包含 9 个基本 9 3 事件,所以 P(B)=24=8.
(3)设事件 C 为“这四个人恰有 1 位坐在自己席位上”, 则事件 C 包含 8 个基本事件, 8 1 所以 P(C)=24=3.
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探究点二:与顺序无关的古典概型

反思与感悟

当事件个数没有很明显的规律,并且涉及的基本事件又不是太多时,

我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以 清晰准确地列出所有的基本事件,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.

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探究点二:与顺序无关的古典概型
跟踪训练 3 先后抛掷两枚大小相同的骰子. (1)求点数之和出现 7 点的概率;(2)求出现两个 4 点的概率; (3)求点数之和能被 3 整除的概率. 解 基本事件的总数共 36 种.
(1)记“点数之和出现 7 点”为事件 A, 事件 A 包含的基本事件共 6 个: (6,1), (5,2), 6 1 (4,3),(3,4),(2,5),(1,6).故 P(A)= = . 36 6

(2)记“出现两个 4 点”为事件 B,从图中可以看出,事件 B 包含的基本事件只有 1 1 个,即(4,4).故 P(B)=36.
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探究点二:与顺序无关的古典概型

(3)记“点数之和能被 3 整除”为事件 C, 则事件 C 包含的基本事件共 12 个: (1,2), (2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6). 12 1 故 P(C)= = . 36 3

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请选择

1

2

3

4

3.2.1(二)

1.下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在 区间[22,30)内的概率为 ( )

A.0.2

B.0.4

C.0.5

D.0.6

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3.2.1(二)

1.下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在 区间[22,30)内的概率为 ( B )

A.0.2
解析

B.0.4

C.0.5

D.0.6

10 个数据落在区间[22,30)内的数据有 22,22,27,29 共 4 个,因此,所求的频

4 率为 =0.4. 10
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2.从甲、乙、丙三人中任选 2 人作代表,则甲被选中的概率为 1 A. 2 1 B. 3 2 C. 3 D.1

(

)

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2.从甲、乙、丙三人中任选 2 人作代表,则甲被选中的概率为 1 A. 2 1 B. 3 2 C. 3 D.1

( C )

解析 从甲、乙、丙三人中任选 2 人作为代表,基本事件有{甲,乙},{甲,丙},{乙, 2 丙},共三个,而甲被选中的事件包括两个基本事件,故甲被选中的概率 P=3.

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3.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是________.

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3 10 3.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是________ .

解析 基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5), 3 共 10 个,而两数都是奇数的有(1,3),(1,5),(3,5).故所求概率 P=10.

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最大?并求出此概率.

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4.同时掷两枚骰子,求向上的点数之和恰为 6 这一事件的概率.点数和为多少时,概率

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最大?并求出此概率.

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3.2.1(二)

4.同时掷两枚骰子,求向上的点数之和恰为 6 这一事件的概率.点数和为多少时,概率 解 掷两枚骰子得到点数和的情况如下表所示. 第二枚骰子向上的点数 点数之和 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 第一枚 2 3 4 5 6 7 骰子 3 4 5 6 7 8 向上的 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 点数 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

由上表可知,同时掷两枚骰子,共有 36 种情况,点数之和为 6 的有 5 种,故点数之 5 和为 6 这一事件的概率为36. 6 1 由表易知点数之和为 7 的结果最多,所以点数之和为 7 的概率最大,为 = . 36 6
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3.2.1(二) 呈重点、现规律
1.在求概率时,通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示,以方便我们更 直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数,然后再根据古典概型的概率公 式,求出相应的概率即可. 2.解题时,将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法;对于用直接方法 难以解决的问题,可以求其对立事件的概率,进而求得其概率,以降低难度.

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示范教案(3.2.1 古典概型)

示范教案(3.2.1 古典概型)_数学_高中教育_教育专区。古典概型3...(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? (2)根据以前的...

3.2.1古典概型公开课教案(与课件配套)

考考你: 下列试验哪些是古典概 型? (1)抛一枚骰子时出现 “点数为 4” ; (2) 从所有整数中任取个数时 “抽取的数为 452” ; (3)从 {?5,0, 2...

3.2.1古典概型说课稿

3.2.1 古典概型说课稿聊城第四中学 陈为 我说课的内容是高中数学必修 3 第三章 3.2.1 “古典概型” 第一课时——古典概型, 我将以学生活动为主线,在原...

3.2.1 古典概型

教学设计学科 授课 教师 数学 劳志媛 单位 课题 灵山中学 3.2.1 古典概型 课型 新授课 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》人教 A 版必修 ...

3.2.1《古典概型》教案设计(新人教A版必修3)

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 古典概型》 §3.2.1古典概型》教案一、教材分析【教材版本 : 普通高中课程标准实验教科书...

3.2.1古典概型(练习)

3.2.1古典概型(练习)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 概率 3.2...(2)若摸出的是 2 个黑球,则有多少 种不同的摸法?(3)摸出 2 个黑球的...

3.2.1古典概型教案

(2,3) ,(3,2) ,(4,1) (3)由于所有 36 种结果是等可能的,其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种,因此,由古典概型的概率计算公式可得 ...

3.2.1古典概型(2)

3.2.1古典概型(2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。曹县三中高中一年级数学导学案 3.2.1 古典概型(2)制作人: 高洪梅 审核人:高一数学组 使用时间: ...

3.2.1古典概型

概率的方法,这就是我们本节 古典概型古典概型学习的内容---古典概型、...列表法: 1 1 2 3 4 ( 1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2 )(...

3.2.1《古典概型》(第一课时)_图文

、教学目标 1.知识与技能 (1)理解基本事件的特点; (2)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式; (3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生...