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圆锥曲线典型例题(精华版)

时间:2015-11-29


圆锥曲线典型例题强化训练 一、选择题

3) 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为( 1、若点 P 到直线 y ? ?1 的距离比它到点 (0,
A. x 2 ? 12 y B. y 2 ? 12 x C. x2 ? 4 y D. x2 ? 6 y

)A

2 、若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 ( )C B.

2 , 则 a 的值为 2

A.-2 或 2

1 3 或 2 2

C.2 或 0

D.-2 或 0

x2 y2 x2 ? y 2 ? 1 与 C1 的一个交点, 3、设 F1、F2 为曲线 C1: 6 + 2 =1 的焦点,P 是曲线 C 2 : 3 则△PF1F2 的面积为( 1 (A) 4
2

)C (B) 1 (C) 2 (D) 2 2 )A

4、经过抛物线 y ? 2 x 的焦点且平行于直线 3x ? 2 y ? 5 ? 0 的直线 l 的方程是( A. 6 x ? 4 y ? 3 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 5、若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

D. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

A. ?2

B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ? 4 D. 4

) D

6、如图,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( B )

3 x 2 9 2 C. y ? x 2
A. y ?
2

B . y ? 3x
2

D. y ? 9 x
2

7、以 ( A.

y2 x2 ? ? 1 的顶点为焦点,长半轴长为 4 的椭圆方程为 12 4
)D

x2 y2 ? ?1 64 52

B.

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 4 16

x2 y2 ? 1 ?a ? 0? 的中心在原点, 右焦点与抛物线 y 2 ? 16x 的焦点重合, 8、已知双曲线 2 ? 9 a
则该双曲线的离心率等于( ) D

A.

4 5

B.

8 55 55

C.

5 4

D.

4 7 7

二、解答题 1、已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B,过 F,B,C b2

三点作 ? P ,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) . (1) 若椭圆的离心率 e ?

3 ,求 ? P 的方程; 2

(2)若 ? P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程.

2、椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离 为2 。 (1)求椭圆的方程; (2) 是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 , 使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

x2 y2 x2 y2 3、已知椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线为 l1 和 a b a b l 2 ,过椭圆 E 的右焦点 F 作直线 l ,使得 l ? l2 于点 C ,又 l 与 l1 交于点 P , l 与椭圆 E 的

两个交点从上到下依次为 A, B (如图). (1)当直线 l1 的倾斜角为 30 ? , 双曲线的焦距为 8 时, 求椭圆的方程; (2)设 PA ? ?1 AF, PB ? ?2 BF ,证明: ?1 ? ?2 为常数.

4、椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) (c>0)的准线 ? (准线 方程 x= ?

a2 c ,其中 a 为长半轴,c 为半焦距)与 x 轴交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直

线与椭圆相交于点 P、Q。 (1) 求椭圆方程; (2) 求椭圆的离心率; (3) 若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程。

5、已知 A(-2,0) 、B(2,0) ,点 C、点 D 依次满足 | AC |? 2, AD ? (1)求点 D 的轨迹方程;

1 ( AB ? AC ). 2

(2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5

x2 y2 3 6、若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(-3,2) ,离心率为 ,⊙O 的圆心为原点,直径 3 a b
为椭圆的短轴, ⊙M 的方程为 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 , 过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、 PB,切点为 A、B.(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (Ⅲ)求 OA ? OB 的最大值与最小值.

7、已知 A、B 分别是椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P (?1, )在 2 2 a b

椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求

sin A ? sin B 的值。 sin C

8、已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为 k n ? ?

1 的直线交曲线 C xn ? 2

于 另 一 点 An?1 ( xn?1 , y n?1 ) , 点 列 An (n ? 1 , 2 , 3 , ?) 的 横 坐 标 构 成 数 列 { xn } , 其 中

x1 ?

11 . 7

(1)求 xn 与 x n ?1 的关系式; (2)求证:{
2 3

1 1 ? }是等比数列; xn ? 2 3
n

(3)求证: (?1) x1 ? (?1) x2 ? (?1) x3 ? ? ? (?1) xn ? 1(n ? N , n ? 1) 。

x ? ?2 , 9、 已知点 F ? ?1, 0? 和直线 l : 动点 M 到点 F 的距离与到直线 l 的距离之比为
(I)求动点 M 的轨迹方程;

2 . 2

(II) 设过点 F 的直线交动点 M 的轨迹于 A、 B 两点, 并且线段 AB 的中点在直线 x ? y ? 0 上,求直线 AB 的方程. y l N F O M x

10、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆 C 上的一点,且 a2 2

???? ? ???? ? 1 AF2 ? F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (?1, 0) ,交 y 轴于点 M ,若
???? ? ??? ? MQ ? 2 QF ,求直线 l 的斜率.

11、已知动圆过定点 A ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是否存在直线 l ,使 l 过点 B(0, 1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,

且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

??? ? ????

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 12、设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 · PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,求直线 l 的斜率 k 的取值 范围.
?
?

祥细答案 1、解: (1)当 e ?

3 3 时,∵ a ? 1 ,∴ c ? , 2 2
3 1 1 1 3 ? , b ? ,点 B(0, ) , F (? , 0) , C (1, 0) ---------2 分 4 4 2 2 2
y B(0,b)

∴ b ? a ? c ? 1?
2 2 2

2 2 2 设 ? P 的方程为 ( x ? m) ? ( y ? n) ? r

由 ? P 过点 F,B,C 得 ∴ m ? ( ? n) ? r -----------------①
2 2 2

1 2

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

(m ?

3 2 ) ? n 2 ? r 2 -----------------② 2

(1 ? m)2 ? n2 ? r 2 -------------------③----------------------------5 分

由①②③联立解得

m?

5 2? 3 1? 2 3 2 ,n ? , r ? -----------------------7 分 4 4 4

∴所求的 ? P 的方程为 ( x ?

2? 3 2 1? 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? -------------8 分 4 4 4
1? c --------④----------------------9 分 2

(2)∵ ? P 过点 F,B,C 三点,∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为 x ?

∵BC 的中点为 ( , ) , kBC ? ?b ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? 由④⑤得 x ?

1 b 2 2

b 1 1 ? ( x ? ) -----⑤---------------------10 分 2 b 2

1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,n ? ,y? ,即 m ? ----------------11 分 2 2b 2 2b
1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 2 2b
2

∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,∴ ∵1 ? b ? 0

2 2 ∴ b ? c 由 b ? 1? c 得 b ?

1 2

∴椭圆的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 --------------------------------------------------------------14 分

2、解: (1)依题意,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 a2 b2
………… 2 分

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2



2 2 由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 。

………… 4 分

x2 y2 ? ? 1 。 ……5 分 又 ∵ b ? 2 ,∴ a ? c ? b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2 2

(2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 2) ? 12 y2 ?1 ? ? ?12 4
即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0
2 2

(*) ………… 7 分

由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) 2 ? 144 k 2 ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。 …………8 分 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
……… 10 分

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( ? y 0 ? kx0 ? 2 ? 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3 k ,……11 分 ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1, 6k

…… 12 分

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3 ,即 tan? ? ? , 3 3
5? , 6

…… 13 分

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6

,或 ? ?

∴ 存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ? 3、解: (1)由已知,
2 2

?

6

,或 ? ?

5? 。…… 14 分 6

b 3 2 ? , a ? b2 ? 16 ,…………………2 分 a 3
…………………4 分

解得: a ? 12, b ? 4 , 所以椭圆 E 的方程是:

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

…………………5 分

(2)解法 1:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由题意得: 直线 l1 的方程为: y ? 则直线 l 的方程为: y ?

b b x ,直线 l 2 的方程为: y ? ? x ,………………7 分 a a

a ( x ? c ) ,其中点 F 的坐标为 (c, 0) ; ………………………8 分 b

y?


b x a

a y ? ( x ? c) b

得:

a2 c ab y? c x?

a 2 ab ,则点 P ( , ) ; ………9 分 c c



x2 y2 ? ?1 c2 ? a2 a 2 b2 消 y 得: 2 x2 ? 2cx ? (c2 ? a2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? c, x1 x2 ? ; 10 分 2 a y ? ( x ? c) b

??? ? ??? ? a2 cx1 ? a 2 ? ?1 (c ? x2 ) ,则: ?1 ? 由 PA ? ?1 AF 得: x1 ? , c c(c ? x1 )
同理由 PB ? ?2 BF 得: ?2 ?

??? ?

??? ?

cx2 ? a 2 , …………………………………………………12 分 c(c ? x2 )

? ?1 ? ?1 ?

cx1 ? a 2 cx2 ? a 2 (cx1 ? a 2 )(c ? x2 ) ? (cx2 ? a 2 )(c ? x1 ) ? ? c(c ? x1 ) c(c ? x2 ) c(c ? x1 )(c ? x2 )

(c 2 ? a 2 )( x1 ? x2 ) ? 2cx1 x2 ? 2ca 2 (c 2 ? a 2 )c ? c(c 2 ? a 2 ) ? 2ca 2 ? ? ?0 c(c ? x1 )(c ? x2 ) c(c ? x1 )(c ? x2 )
故 ?1 ? ?2 ? 0 为常数. ……………………………………………………………………14 分 解法 2:过 P 作 x 轴的垂线 m ,过 A, B 分别作 m 的垂线,垂足分别为 A 1, B 1 ,…6 分 由题意得: 直线 l1 的方程为: y ? 则直线 l 的方程为: y ?

b b x ,直线 l 2 的方程为: y ? ? x ,………………8 分 a a

a ( x ? c ) ,其中点 F 的坐标为 (c, 0) ; ………………………9 分 b

a2 x? c ,则直线 m 为椭圆 E 的右准线; ………10 分 由 得: a ab y ? ( x ? c) y? b c ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA PA PB PB 则: ??? ? ? ???? , ??? ? ? ???? ,其中 e 的离心率; …………………………12 分 AF e AA1 BF e BB1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA PB PA PB ? ?1 ? ??? ? , ?2 ? ? ??? ? , ??? ? ? ??? ? , AF BF AF BF
y? b x a
故 ?1 ? ?2 ? 0 为常数. ………………………………………………………………14 分 4、解: (1)由已知得 b ?

2, c ? 2(

a2 ? c) ,解得: c2 ? 4, a2 ? 6 ……………………2 分 c

所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………………4 分 6 2

(2)因 a ? 6, c ? 2 ,得 e ?

c 2 6 ……………………………………7 分 ? ? a 3 6

(3)因点 A(

a2 , 0) 即 A(3,0) ,设直线 PQ 方程为 y ? k ( x ? 3) ………………8 分 c

则由方程组 ?

? y ? k ( x ? 3) ,消去 y 得: (1 ? 3k 2 ) x2 ?18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 2 2 ?2 x ? 6 y ? 12
18k 2 27k 2 ? 6 , x x ? ……………………10 分 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?

因 OP? OQ ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 又 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 x1x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ,代入上式得

??? ? ????

(1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 0 ,故
解得: k ?
2

(1 ? k 2 )(27k 2 ? 6) 3k 2 ? 18k 2 ? ? 9k 2 ? 0 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

1 5 5 ,所求直线 PQ 方程为 y ? ? ,k ? ? ( x ? 3) ……………………14 分 5 5 5

5、解: (1)设 C、D 点的坐标分别为 C( x0 , y 0 ) ,D ( x, y ) ,则 AC ? ( x0 ? 2, y0 ) ,

AB ? (4,0) , 则 AB ? AC ? ( x0 ? 6, y0 ) ,故 AD ?

x y 1 ( AB ? AC) ? ( 0 ? 3, 0 ) 2 2 2

? x0 ? 3 ? x ? 2, ? ? x 0 ? 2 x ? 2, ? 又 AD ? ( x ? 2, y ), 故? 2 解得 ? ? y 0 ? 2 y. ? y 0 ? y. ? ? 2
2 代入 | AC |? ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ? 2 中, 整理得 x ? y ? 1 ,即为所求点 D 的轨迹方程.

2

2

(2)易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)

①.

又设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a 2 ? 4) a2 a2 ? 4
2 2

②.

因为直线 l :kx-y+2k=0 与圆 x ? y ? 1 相切.故

| 2k |

1 2 ? 1 ,解得 k ? . 3 k 2 ?1
2 2 4 2

将①代入②整理得, (a k ? a ? 4) x ? 4a k x ? 4a k ? a ? 4a ? 0
2 2 2 2 2 2



将k ?
2

1 3 代入上式,整理得 (a 2 ? 3) x 2 ? a 2 x ? a 4 ? 4a 2 ? 0 , 3 4

设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 由题意有

a2 , a ?3
2

a2 4 2 ? 2 ? (a 2 ? 3) ,求得 a ? 8 .经检验,此时③的判别式 ? ? 0. 5 a2 ? 3

故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

4 ?9 ?a2 ? b2 ? 1 ? 2 ? x2 y2 3 ?c ?a ? 15 ? ?1 6、解: (Ⅰ)由题意得: ? ? 所以椭圆的方程为 ?? 2 15 10 a 3 ? b ? 10 ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
(Ⅱ)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大因为直线 PA 的斜率一定 存在, 设直线 PA 的方程为:y-6=k(x-8) 又因为 PA 与圆 O 相切,所以圆心(0,0)到直线 PA 的距离为 10 即

| 8k ? 6 | 1? k 2

? 10

可得 k ?

1 13 或k ? 3 9

所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13x ? 9 y ? 50 ? 0 (Ⅲ)设 ?AOP ? ? 则 ?AOP ? ?BOP, ?AOB ? 2?
2

则 cos ?AOB ? 2 cos ? ? 1 ? 2(

OA 2 20 ) ?1 ? ?1 OP OP 2

? | OP |max ? 10 ? 2 ? 12, | OP |min ? 10 ? 2 ? 8
200 ? 10 OP 2 7、解: (1)∵点 M 是线段 PB 的中点 ∴ OM 是△ PAB 的中位线 ? OA ? OB ?| OA | ? | OB | cos ?AOB ?
又 OM ? AB ∴ PA ? AB ----------------------------2 分

?c ? 1 ?1 1 ? ∴ ? 2 ? 2 ?1 ? a 2b 2 2 2 ? ?a ? b ? c

解得a 2 ? 2, b2 ? 1, c 2 ? 1

---------------------------7 分

x2 ? y 2 =1 ∴椭圆的标准方程为 2

----------8 分

C

(2)∵点 C 在椭圆上,A、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC+BC=2a= 2 2 ,AB=2c=2 -------------------------10 分

A

B

在△ABC 中,由正弦定理,

BC AC AB ? ? sin A sin B sin C

-----------12 分



sin A ? sin B BC ? AC 2 2 ? ? 2 = sin C AB 2

------------------14 分

8、解: (1)过 C: y ?

1 上一点 An ( xn , yn ) 作斜率为 k n 的直线交 C 于另一点 An?1 , x

1 y ? yn x xn 1 1 则 k n ? n ?1 , ? n ?1 ?? ?? xn ?1 ? xn xn ?1 ? xn xn?1 ? xn xn ? 2 ?
于是有: xn xn?1 ? xn ? 2 即: xn ?1 ? 1 ?

1

----------------------------3 分

2 xn

----------------------------4 分

(2)记 a n ?

1 1 ? ,则 xn ? 2 3

a n ?1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?2( ? ) ? ?2a n , ----------------6 分 x n?1 ? 2 3 x n ? 2 3 xn ? 2 3 ?2 xn

因为 x1 ?

11 1 1 , 而a1 ? ? ? ?2 ? 0 , 7 x1 ? 2 3
----------------------------8 分

因此数列{

1 1 ? }是等比数列。 xn ? 2 3
n

(3)由(2)可知: a n ? ( ?2) , 则x n ? 2 ?

1 ( ?2) n ? 1 3



(?1) n x n ? (?1) n ? 2 ?

1 1 2 ? (?1) ? 3
n n



----------------------------9 分

当 n 为偶数时有: (?1)

n?1

xn?1 ? (?1) n xn ?
-----------------11 分

2 n ?1 ? 2 n 2 n ?1 ? 2 n 1 1 ? ? ? n ?1 n ? n ?1 ? n , = 1 1 1 1 2 ?2 2 2 2 n ?1 ? 2n ? (2 n ?1 ? )(2 n ? ) 3 3 3 3 1 1
于是 ①在 n 为偶数时有:

(?1) x1 ? (?1) 2 x 2 ? ? ? (?1) n x n ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 。 -----------------12 分 2 2 2 2 2

②在 n 为奇数时,前 n-1 项为偶数项,于是有:

(?1) x1 ? (?1) 2 x2 ? ? ? (?1) n?1 xn?1 ? (?1) n xn
? 1 ? (?1) n x n ? 1 ? x n ? 1 ? (2 ? 1 1 (?2) ? 3
n

) ? ?1 ?

1 1 2 ? 3
n

?1。

-----------------13 分

综合①②可知原不等式得证。

----------------------------14 分

9、解: (I)设动点 M 的坐标为 ? x, y ? ,由于动点 M 到点 F 的距离与到直线 l 的距离

2 之比为 ,故 2
化简得:

? x ? 1?

2

? y2

| x?2|

?

2 , 2
6分

2分

x2 ? y 2 ? 1,这就是动点 M 的轨迹方程. 2

(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

代入

x2 ? y 2 ? 1,整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2
8分

∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F,∴方程有两个不等实根, 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 P( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 2k 2 ? 1
N F A

y

B

1 2k k x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 1) ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1
∵线段 AB 的中点 P 在直线 x ? y ? 0 上, ∴ x0 ? y0 ? ?

2

l

O

x

1 2k 2 k ? 2 ? 0, ∴ k ? 0 ,或 k ? . 2 2 2k ? 1 2k ? 1

10 分

当直线 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的中点 F 不在直线 x ? y ? 0 上, ∴直线 AB 的方程是 y ? 0 或 x ? 2 y ? 1 ? 0 .
2 2 10、解: (Ⅰ)由题设知 F1 (? a ? 2, 0), F2 ( a ? 2, 0), 其中a ?

14 分

2
2

A 的坐标为 ( a ? 2, ? ) ……..2 分 由于 AF2 ? F 1F 2 ? 0 ,则有 AF 2 ?F 1F 2 ,所以点

???? ? ???? ?

???? ?

???? ?

2 a

故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

1 ? ) …………3 分 a a ?2 a
2

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 a2 ?1
解得: a ? 2 ………….5 分

又 OF1 ?

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ?2 a2 ?1 3

x2 y 2 ? ? 1 …………7 分 所求椭圆的方程为 4 2
(Ⅱ)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线斜率为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0, k ) …………9 分 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 Q 、 F 、 M 三点共线,且 MQ ? 2 QF

???? ?

??? ?

2 ? x1 ? ? ? x1 ? ?2 ? ? 3 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) 解得 ? 或? …………12 分 y ? ? k k ? 1 ?y ? 1 ? 3 ?

2 k (? ) 2 ( ) 2 (?2) (?k ) ? ? 1或 3 ? 3 ? 1 解得 k ? 0, k ? ?4 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2 4 2
2 2

综上,直线 l 的斜率为 0 或 ?4 .…………14 分 11、解: (1)设 M 为动圆圆心,由题意知: | MA | ? M 到定直线 x ? ?1 的距离, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 A(1, 0) 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动圆的圆心 M 的轨迹 C 的方程为: y ? 4 x
2

………………………5 分

(2)由题意可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1) (k ? 0) , 由?

? x ? k ( y ? 1) ? y ? 4x
2

得 y ? 4ky ? 4k ? 0
2

? ? ? 16k 2 ?16k ? 0
且 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k

?

k ? 1或 k ? 0

………………………7 分

…………………………………9 分 …………………………………………11 分

由 OP ? OQ ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

??? ? ????

? k 2 ( y1 ?1)( y2 ?1) ? y1 y2 ? 0 ? (k 2 ?1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ? 4k (k 2 ? 1) ? k 2 ? 4k ? k 2 ? 0 ? k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) …………………13 分
又 k ? ?4 ? 0 ,所以直线 l 存在,其方程为: x ? 4 y ? 4 ? 0 ………………14 分

12、解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2 设 P ? x, y ? ,则 PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

? ?

3, 0 …………1 分,

?

???? ???? ?

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 …………3 分

?

? 2 …5 分 因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF2 有最小值
1 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF2 有最大值 …………7 分
解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2 设 P ? x, y ? ,则

???? ???? ?

???? ???? ?

?

? ?

3, 0 …………1 分,

?

???? 2 ???? ? 2 ???? ?2 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? ???? ???? ? 2 PF1 ? PF2

?

2 2 1? x ? 3 ? y 2 ? x ? 3 ? y 2 ? 12? ? x 2 ? y 2 ? 3 …………3 分(以下同解法一) ? ? ? 2?

?

?

?

?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件…………8 分, 可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 1? ? ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 …………9 分 2 4? ? ? ? y ?1 ?4
由 ? ? (4k )2 ? 4(k 2 ? ) ? 3 ? 4k 2 ? 3 >0 得: k ?
1 4

3 3 …………12 分 或k ? ? 2 2


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