nbhkdz.com冰点文库

上海市徐汇区2015届高三一模数学(理)试题


上海市徐汇区 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一.填空题 1.已知 ,则 cos2θ=__________.
2 2

2.若实数 x,y 满足 xy=4,则 x +4y 的最小值为__________. 3.设 i 是虚数单位,复数 z 满足(2+i)?z=5,则|z|=__________. 4.函数 f(x)=x ﹣2(x<0)

的反函数 f (x)=__________.
2
﹣1

5.若抛物线 y =2px 的焦点与双曲线 __________.

2

的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为

6.如图,若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是__________(结果用反三角函数值表示) .

7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,Sn﹣ __________.

=0(n∈N ) ,则{an}的通项公式为

*

8.若全集 U=R,不等式

的解集为 A,则?UA=__________.

9.已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2,方向向量 圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为__________.

2

2

的直线 l 过点 P(0,4) ,则

10.如图:在梯形 ABCD 中,AD∥BC 且 用 , 表示 ,则 =__________.

,AC 与 BD 相交于 O,设





11.已知函数

,将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单

位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)的图象上最高点到点(0,3)的距离的最小值 为 1,则 φ 的值为__________.

12.已知函数 n=1,2,3,…时,fn(x)的零点依次记作 x1,x2,x3,…,则

,其中 n∈N ,当 =__________.

*

13.在平面直角坐标系中,对于函数 y=f(x)的图象上不重合的两点 A,B,若 A,B 关于 原点对称,则称点对(A,B)是函数 y=f(x)的一组“奇点对”(规定(A,B)与(B,A)

是相同的“奇点对”) ,函数

的“奇点对”的组数是__________.

14.设集合 A={(x1,x2,x3,…,x10)|xi∈{﹣1,0,1},i=1,2,3,…,10},则集合 A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为__________.

二.选择题 15.“ ”是“实系数一元二次方程 x +x+a=0 有虚数根”的(
2

)

A.充分非必要条件 C.充分必要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件;

16.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,则下列给出的条件中, 一定能推出 m⊥β 的是( ) A.α⊥β 且 m?α B.α⊥β 且 m∥α C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 n∥β; 17.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有 n 类(n∈N ) ,分 * 别编号为 1,2,…,n,买家共有 m 名(m∈N ,m<n) ,分别编号为 1,2,…,m.若
*

aij= 人数是( ) A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2m B.a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2 C.a11a12+a21a22+…+am1am2 D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m 18.对于方程为

1≤i≤m,1≤j≤n,则同时购买第 1 类和第 2 类商品的

的曲线 C 给出以下三个命题:

(1)曲线 C 关于原点中心对称; (2)曲线 C 关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称,且 x 轴和 y 轴是曲线 C 仅有的两条对称轴; (3)若分别在第一、第二、第三、第四象限的点 M,N,P,Q,都在曲线 C 上,则四边形 MNPQ 每一条边的边长都大于 2; 其中正确的命题是( ) A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (3) D. (1) (2) (3) ;

三.解答题 19.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0,
x
﹣x

) ,x∈R,且 f(

)= .

) ,求 f(

﹣θ) .

20.已知函数 f(x)=2 +k?2 (k∈R) . (1)若函数 f(x)为奇函数,求 k 的值; (2)若函数 f(x)在(﹣∞,2]上为减函数,求 k 的取值范围. 21.如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1,T2 组成,陀螺之间没有滑动.每个陀螺都由具 有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的 ,且 T1,T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 θ=arctan .若陀螺 T2 中 圆锥的底面半径为 r(r>0) . (1)求陀螺 T2 的体积; (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P1,求 P 与 P1 之间 的距离.

22.已知椭圆 γ: 标原点;

=1(常数 a>1)的左顶点 R,点 A(a,1) ,B(﹣a,1) ,O 为坐

(1)若 P 是椭圆 γ 上任意一点,

,求 m +n 的值; 的取值范围;

2

2

(2)设 Q 是椭圆 γ 上任意一点,S(3a,0) ,求

(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是椭圆 γ 上的两个动点,满足 kOM?kON=kOA?kOB,试探 究△ OMN 的面积是否为定值,说明理由. 23.已知有穷数列{an}各项均不相等,将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数 列{pn},称{pn}为{an}的“序数列”,例如数列:a1,a2,a3 满足 a1>a3>a2,则其序数列{pn} 为 1,3,2; (1)写出公差为 d(d≠0)的等差数列 a1,a2,…,an 的序数列{pn}; (2)若项数不少于 5 项的有穷数列{bn}、{cn}的通项公式分别是
*

(n∈N ) ,

*

(n∈N ) ,且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同,求实数 t 的取值范围; (3)若有穷数列{dn}满足 d1=1, (n∈N ) ,且{d2n﹣1}的序数列单调
*

递减,{d2n}的序数列单调递增,求数列{dn}的通项公式.

上海市徐汇区 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一.填空题 1.已知 ,则 cos2θ= .

考点:二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值. 解答: 解:∵ ∴cos2θ=1﹣2sin θ=1﹣2× 故答案为: .
2

, = ,

点评:本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. 2.若实数 x,y 满足 xy=4,则 x +4y 的最小值为 16. 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由已知可得 y= ,代入要求的式子,由基本不等式可得. 解答: 解:∵xy=4, ∴y= ∴x +4y =x +
2 2 2 2 2

≥2

=16,当且仅当 x =

2

,即 x=±2

时取等号,

故答案为:16 点评:本题考查基本不等式,属基础题. 3.设 i 是虚数单位,复数 z 满足(2+i)?z=5,则|z|= .

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,代入复数的模得答案. 解答: 解:由(2+i)?z=5,得 ∴|z|= . ,

故答案为: . 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.
2
﹣1

4.函数 f(x)=x ﹣2(x<0)的反函数 f (x)=

(x>﹣2) .

考点:反函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 y=x ﹣2(x<0)解得 x=﹣
2

,把 x 与 y 互换即可得出.

解答: 解:由 y=x ﹣2(x<0)解得 x=﹣ , ﹣1 把 x 与 y 互换可得 y=f (x)=﹣ (x>﹣2) . 故答案为: (x>﹣2) . 点评:本题考查了反函数的求法,属于基础题.

2

5.若抛物线 y =2px 的焦点与双曲线 x=﹣2. 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

2

的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为

分析:求出双曲线的右焦点为 F(2,0) ,该点也是抛物线的焦点,可得 果. 解答: 解:∵双曲线的标准形式为: ∴c=2,双曲线的右焦点为 F(2,0) , ∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 ∴ =2,可得 p=4.
2

=2,即可得到结



的右焦点重合,

故答案为:x=﹣2 点评:本题给出抛物线与双曲线右焦点重合,求抛物线的焦参数的值,着重考查了双曲线的 标准方程和抛物线简单几何性质等知识点,属于基础题. 6.如图,若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是 arctan (结果用反三角函数值表示) .

考点:异面直线及其所成的角. 专题:计算题. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点, 得到的锐角或直角就是异面直线所成 的角,在直角三角形中求出正切值,再用反三角函数值表示出这个角即可. 解答: 解:先画出图形

将 AD 平移到 BC,则∠D1BC 为异面直线 BD1 与 AD 所成角, BC=2,D1C= ,tan∠D1BC= , ∴∠D1BC=arctan , 故答案为 arctan .

点评:本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及解三角形的应用,属于基础题. =0(n∈N ) ,则{an}的通项公式为
*

7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,Sn﹣

an=



考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= 化为 an+1=3an.a1﹣ a2=0,解得 a2=2. ∴当 n≥2 时,数列{an}为等比数列, ∴ . an,

∴{an}的通项公式为 an=



故答案为:an=



点评:本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式,属于基础题.

8.若全集 U=R,不等式

的解集为 A,则?UA=[﹣1,0].

考点:其他不等式的解法;补集及其运算. 专题:不等式的解法及应用.

分析:由题意可得(x+1)? ﹣(﹣1)>1,即

>﹣1,求得 A,可得?UA.

解答: 解:由不等式 ﹣1,

,可得(x+1)? ﹣(﹣1)>1,即 1+ >0,即



∴x>0,或 x<﹣1,故 A=(0,+∞)∪(﹣∞,﹣1) ,∴?UA=[﹣1,0], 故答案为:[﹣1,0]. 点评:本题主要考查行列式的运算,解分式不等式,集合的补集,体现了转化的数学思想, 属于基础题.
2 2

9.已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2,方向向量 圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 .

的直线 l 过点 P(0,4) ,则

考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析:确定直线 l 的方程,求出圆心 C 到直线的距离,再加上半径,即为 C 上各点到 l 的距 离的最大值. 解答: 解:由题意,方向向量 圆心 C 到直线的距离为 d=
2 2

的直线 l 过点 P(0,4) ,方程为 x﹣y+4=0 =2

∵圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 的半径为 ∴C 上各点到 l 的距离的最大值为 2 + = . 故答案为: . 点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题.

10.如图:在梯形 ABCD 中,AD∥BC 且 用 , 表示 ,则 = .

,AC 与 BD 相交于 O,设





考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析: 因为在梯形 ABCD 中, AD∥BC 且 , AC 与 BD 相交于 O, 设 , ,

过 D 作 DE∥AB,得到 DE 是△ BDC 的中线,利用中线的性质可得.

解答: 解:因为在梯形 ABCD 中,AD∥BC 且 ,过 D 作 DE∥AB, 则 E 是 BC 的中点, 所以﹣2 所以 = . . , ,

,AC 与 BD 相交于 O,设



故答案为:

点评:本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示,注意运算.

11.已知函数

,将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单

位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)的图象上最高点到点(0,3)的距离的最小值 为 1,则 φ 的值为 .

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得 g(x)=2sin(2x+2φ+ 设 g(x)的对称轴 x=x0,由条件求得 x0=0,可得 g(0)=2,即 2sin(2φ+ 得 φ 的值. 解答: 解:把函数 到函数 y=g(x)=2sin[2(x+φ)+ 的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得 ]=2sin(2x+2φ+ )的图象, ) ,

)=2,从而求

再根据 y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 设 g(x)的对称轴 x=x0,则最高点的坐标为(x0,2) ,它与点(0,3)的距离的最小值为 1,即 =1,求得 x0=0, )=2,∴φ= ,

可得 g(0)=2,即 2sin(2φ+ 故答案为: .

点评:本题主要考查向量的数量积的坐标运算,三角恒等变换,图象的平移变换,三角函数 的单调性及相关的运算问题,属于中档题.

12.已知函数 n=1,2,3,…时,fn(x)的零点依次记作 x1,x2,x3,…,则

,其中 n∈N ,当 =﹣3.

*

考点:极限及其运算. 专题:导数的综合应用. 分析:利用等比数列的前 n 项和公式可得:函数 fn(x)= (x)=0,解得 xn= 解答: 解:函数 + ,令 fn

﹣1.再利用极限的运算法则即可得出.

=

+

= 令 fn(x)=0,解得 xn= ∴

+

, ﹣1.

=﹣2×1﹣1=﹣3.

故答案为:﹣3. 点评:本题考查了等比数列的前 n 项和公式、数列极限的运算法则,属于基础题. 13.在平面直角坐标系中,对于函数 y=f(x)的图象上不重合的两点 A,B,若 A,B 关于 原点对称,则称点对(A,B)是函数 y=f(x)的一组“奇点对”(规定(A,B)与(B,A)

是相同的“奇点对”) ,函数

的“奇点对”的组数是 3.

考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据“奇点对”的定义可知,只需要利用图象,作出函数 f(x)=﹣x+4,x>0 关于原 点对称的图象,利用对称图象在 x<0 上两个图象的交点个数,即为“奇点对”的个数. 解答: 解:由题意知函数 f(x)=sin x,x<0 关于原点对称的图象为﹣y=﹣sin x, 即 y=sin x,x>0 在 x>0 上作出两个函数的图象如图,

由图象可知两个函数在 x>0 上的交点个数有 3 个, ∴函数 f(x)的“奇点对”有 3 组, 故答案为:3. 点评:本题主要考查新定义题目,读懂题意,利用数形结合的思想是解决本题的关键. 14.设集合 A={(x1,x2,x3,…,x10)|xi∈{﹣1,0,1},i=1,2,3,…,10},则集合 A 10 10 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为 3 ﹣2 ﹣1. 考点:集合的表示法;元素与集合关系的判断. 专题:计算题;集合;排列组合. 10 分析:由排列组合的知识知,集合 A 中共有 3 个元素,其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0 的只有 10 一个元素,|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10 的有 2 个元素;从而求得. 10 解答: 解:集合 A 中共有 3 个元素; 其中|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=0 的只有一个元素, 10 |x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|=10 的有 2 个元素; 10 10 故满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|x10|≤9”的元素个数为 3 ﹣2 ﹣1. 10 10 故答案为:3 ﹣2 ﹣1. 点评:本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用,属于中档题. 二.选择题 15.“ ”是“实系数一元二次方程 x +x+a=0 有虚数根”的(
2

)

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件; 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑;坐标系和参数方程. 分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 2 解答: 解:若实系数一元二次方程 x +x+a=0 有虚数根,则判别式△ =1﹣4a<0,解得 a> , 则“ ”是“实系数一元二次方程 x +x+a=0 有虚数根”的必要不充分条件,
2

故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据一元二次方程根与判别式△ 之间的关 系是解决本题的关键. 16.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,则下列给出的条件中, 一定能推出 m⊥β 的是( ) A.α⊥β 且 m?α B.α⊥β 且 m∥α C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 n∥β; 考点:直线与平面垂直的判定. 专题:阅读型;空间位置关系与距离. 分析:根据 A,B,C,D 所给的条件,分别进行判断,能够得到正确结果. 解答: 解:α⊥β,且 m?α?m?β,或 m∥β,或 m 与 β 相交,故 A 不成立; α⊥β,且 m∥α?m?β,或 m∥β,或 m 与 β 相交,故 B 不成立; m∥n,且 n⊥β?m⊥β,故 C 成立; 由 m⊥n,且 n∥β,知 m⊥β 不成立,故 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断, 解题时要认真审题, 仔细解答, 属于基础题. 17.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有 n 类(n∈N ) ,分 * 别编号为 1,2,…,n,买家共有 m 名(m∈N ,m<n) ,分别编号为 1,2,…,m.若 aij= 人数是( ) 1≤i≤m,1≤j≤n,则同时购买第 1 类和第 2 类商品的
*

A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2m B.a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2 C.a11a12+a21a22+…+am1am2 D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m 考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析:由已知中 aij= i 名买家同时购买第 1 类和第 2 类商品,进而得到答案. 解答: 解:∵aij= 1≤i≤m,1≤j≤n, 1≤i≤m,1≤j≤n,可知:ai1ai2 表示第

∴ai1ai2 表示第 i 名买家同时购买第 1 类和第 2 类商品, ∴同时购买第 1 类和第 2 类商品的人数是 a11a12+a21a22+…+am1am2 故选:C 点评:本题考查的知识点是进行简单的合情推理,其中正确理解 aij= 1≤i≤m,1≤j≤n 的含义是解答的关键.

18.对于方程为

的曲线 C 给出以下三个命题:

(1)曲线 C 关于原点中心对称; (2)曲线 C 关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称,且 x 轴和 y 轴是曲线 C 仅有的两条对称轴; (3)若分别在第一、第二、第三、第四象限的点 M,N,P,Q,都在曲线 C 上,则四边形 MNPQ 每一条边的边长都大于 2; 其中正确的命题是( ) A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (3) D. (1) (2) (3) ; 考点:命题的真假判断与应用;曲线与方程. 专题:作图题;简易逻辑. 分析:分 x>0,y>0,x<0,y>0,x<0,y<0,x>0,y<0 四类讨论,作出 的图象,再分别对选项(1) (2) (3)判断即可. 解答: 解:∵ ∴当 x>0,y>0 时, 同理可得,当 x<0,y>0 时, 当 x<0,y<0 时, x>0,y<0 时, 作出图象如下: , ? + =1,解得 y= =1+ ; ;

?﹣ + =1,整理得:y=1﹣ ?﹣ ﹣ =1,整理得:y=﹣1+ ; ;

? ﹣ =1,整理得:y=﹣1﹣

由图可知,曲线 C 关于原点成中心对称,故(1)正确; 曲线 C 关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称,也关于直线 y=x 与 y=﹣x 对称,故(2)错误; 由于在第一、第二、第三、第四象限的点 M,N,P,Q,都在曲线 C 上,由图可知,四边 形 MNPQ 每一条边的边长都大于 2,故(3)正确; 综上所述, (1) (3)正确. 故选:B.

点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查曲线与方程的理解与应用,考查分类讨论 思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用,属于难题. 三.解答题 19.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0, ) ,求 f( ﹣θ) . ) ,x∈R,且 f( )= .

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式以及 f( (2)由(1)可得 f(x)= 由 θ∈(0, sin(x+ )= ,求得 A 的值.

) ,根据 f(θ)+f(﹣θ)= ,求得 cosθ 的值,再 ﹣θ) 的值. )= .

) ,求得 sinθ 的值,从而求得 f(

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=Asin(x+ ∴Asin( ∴A= . sin(x+ )+ ) , + )=Asin =A? = ,

) ,x∈R,且 f(

(2)由(1)可得 f(x)= ∴f(θ)+f(﹣θ)= ∴cosθ= ∴f(

sin(θ+

sin(﹣θ+ .

)=2

sin

cosθ=

cosθ= ,

,再由 θ∈(0, ﹣θ)= sin(

) ,可得 sinθ= ﹣θ+ )=

sin(π﹣θ)=

sinθ=



点评:本题主要考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 20.已知函数 f(x)=2 +k?2 (k∈R) . (1)若函数 f(x)为奇函数,求 k 的值; (2)若函数 f(x)在(﹣∞,2]上为减函数,求 k 的取值范围. 考点:函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)根据奇函数的概念,f(x)+f(﹣x)=0,解答即可; (2)先讨论 K 的取值范围,再求取值范围 解答: 解: (1)f(x)+f(﹣x)=(k+1) (2 +2 )=0 对一切的 x∈R 成立, 所以 k=﹣1.
x
﹣x

x

﹣x

(2)若 k≤0,则函数 f(x)在(﹣∞,2]单调递增(舍) , 当 k>0 时,令 t=2 ∈(0,4], 则函数 在(0,4]上单调递减,
x

所以 , 即 k≥16. 点评:本题主要考查奇函数的性质,单调性的定义. 21.如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1,T2 组成,陀螺之间没有滑动.每个陀螺都由具 有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的 ,且 T1,T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 θ=arctan .若陀螺 T2 中 圆锥的底面半径为 r(r>0) . (1)求陀螺 T2 的体积; (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P1,求 P 与 P1 之间 的距离.

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1) 设陀螺 T2 圆锥的高为 h, 可得 进而求出陀螺 T2 的体积; (2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O,可得 而可得 P 与 P1 之间的距离. 解答: 解: (1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h, 则 即 , ’ ,进而利用弧长公式,求出圆心角,进 , 进而可得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为 ,

得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为 ,

(2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O,







在△ POP1 中, 点评:本题考查的知识点是旋转体的体积公式,弧长公式,是三角函数与空间几何的综合应 用,难度中档.

22.已知椭圆 γ: 标原点;

=1(常数 a>1)的左顶点 R,点 A(a,1) ,B(﹣a,1) ,O 为坐

(1)若 P 是椭圆 γ 上任意一点,

,求 m +n 的值; 的取值范围;

2

2

(2)设 Q 是椭圆 γ 上任意一点,S(3a,0) ,求

(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是椭圆 γ 上的两个动点,满足 kOM?kON=kOA?kOB,试探 究△ OMN 的面积是否为定值,说明理由. 考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据 A 与 B 坐标化简已知等式,确定出 P 坐标,由 P 在椭圆上列出关系式,求 出所求式子的值即可; (2)设 Q(x,y) ,利用平面向量数量积运算法则表示出 大值与最小值,即可确定出 ? 的范围; ? ,配方后求出 ? 的最

(3)根据题意,利用斜率公式得到
2 2

=﹣
2

,两边平方,整理得到 x1 +x2 =a ,表示出

2

2

2

三角形 OMN 的面积,整理后把 x1 +x2 =a 代入得到结果为定值 . 解答: 解: (1)∵点 A(a,1) ,B(﹣a,1) ,O 为坐标原点, ∴ =m +n =(ma﹣na,m+n) ,

即 P(ma﹣na,m+n) , 把 P 坐标代入椭圆方程得: (m﹣n) +(m+n) =1,即 m +n = ; (2)设 Q(x,y) , 则 ? =(3a﹣x,﹣y)?(﹣a﹣x,﹣y)
2 2 2 2 2

=(x﹣3a) (x+a)+y

=(x﹣3a) (x+a)+1﹣

=

x ﹣2ax+1﹣3a

2

2

=

(x﹣

)﹣

2

(﹣a≤x≤a) ,

由 a>1,得

>a,

∴当 x=﹣a 时, 当 x=a 时, 则 ? ?

?

的最大值为 0;
2

的最小值为﹣4a ,
2

的范围为[﹣4a ,0];

(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是椭圆 γ 上的两个动点,满足 kOM?kON=kOA?kOB, 由条件得:
2 2

=﹣
4 2 2


2 2 2 2 2 2 2

平方得:x1 x2 =a y1 y2 =(a ﹣x1 ) (a ﹣x2 ) ,即 x1 +x2 =a ,

∴S△ OMN= |x1y2﹣ x2y1|= =

= 则△ OMN 的面积为定值 .

= ,

点评:此题考查了椭圆的简单性质,二次函数的性质,斜率公式,以及平面向量的数量积运 算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 23.已知有穷数列{an}各项均不相等,将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数 列{pn},称{pn}为{an}的“序数列”,例如数列:a1,a2,a3 满足 a1>a3>a2,则其序数列{pn} 为 1,3,2; (1)写出公差为 d(d≠0)的等差数列 a1,a2,…,an 的序数列{pn}; (2)若项数不少于 5 项的有穷数列{bn}、{cn}的通项公式分别是
*

(n∈N ) ,

*

(n∈N ) ,且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同,求实数 t 的取值范围; (3)若有穷数列{dn}满足 d1=1, (n∈N ) ,且{d2n﹣1}的序数列单调
*

递减,{d2n}的序数列单调递增,求数列{dn}的通项公式. 考点:等差数列的性质;等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由新定义当 d<0 时,序数列为 1,2,3,…,n;当 d>0 时,序数列为 n,n﹣1, n﹣2,…,3,2,1; (2)由题意可得 b2>b3>b1>b4>…>bn,可得序数列为 2,3,1,4,…,n,进而可得 2 < < ,解不等式可得;

(3)由{d2n﹣1}的序数列单调递减可得 d2n﹣d2n﹣1=

=

,同理可得

d2n+1﹣d2n=﹣

=

, 进而可得 dn+1﹣dn=

, 可得 dn=d1+ (d2

﹣d1)+(d3﹣d2)+…+(dn﹣dn﹣1)=1+ ﹣

+…+

=1+ ?

= + ?

,既得答案.

解答: 解: (1)由题意,当 d<0 时,序数列为 1,2,3,…,n;

当 d>0 时,序数列为 n,n﹣1,n﹣2,…,3,2,1; (2)∵ ,∴bn+1﹣bn= ,

当 n=1 时,易得 b2>b1,当 n≥2 时,易得 bn+1<bn, 又∵b1= ,b3=3?( ) ,b4=4?( ) ,b4<b1<b3, 即 b2>b3>b1>b4>…>bn, 故数列{bn}的序数列为 2,3,1,4,…,n, ∴对于数列{cn}有 2< < ,解得 4<t<5;
3 4

(3)∵{d2n﹣1}的序数列单调递减,∴数列{d2n﹣1}单调递增, ∴d2n+1﹣d2n﹣1>0,∴(d2n+1﹣d2n)+(d2n﹣d2n﹣1)>0, 而 ,∴|d2n+1﹣d2n|<|d2n﹣d2n﹣1|,∴d2n﹣d2n﹣1>0,

∴d2n﹣d2n﹣1=

=

,①

∵{d2n}的序数列单调递增,∴数列{d2n}单调递减, 同理可得 d2n+1﹣d2n<0,∴d2n+1﹣d2n=﹣ = ,②

由①②可得 dn+1﹣dn=



∴dn=d1+(d2﹣d1)+(d3﹣d2)+…+(dn﹣dn﹣1)

=1+ ﹣

+…+

=1+ ?

= + ?

即数列{dn}的通项公式为 dn= + ? 点评:本题考查等差数列和等比数列的性质,涉及新定义和不等式的性质,属中档题.


上海市徐汇区2015届高三一模数学(理)试题

上海市徐汇区2015届高三一模数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。上海市徐汇区2015届高三一模数学(理)试题 上海市徐汇区 2015 届高考数学一模试卷(理科)一.填空...

徐汇区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)

徐汇区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)_数学_高中教育_教育专区。2015 学年...a 2 ? 2 ? a ?1 2 , 同 理 b ?1 , ? a 2 ? b 2 ? 2 ---...

上海市徐汇区2015届高三一模数学(理)试题

上海市徐汇区2015届高三一模数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。上海市徐汇区 2015 届高考数学一模试卷(理科)一.填空题 1.已知 ,则 cos2θ=___. 2 2 ...

2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案

2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案_数学_高中教育_教育专区。-1...2 ? a ? 1 ,同理 b ? 1,? a 2 ? b 2 ? 2 ---4 分 2 2 2 ...

2015年上海市徐汇区高考数学(理)一模试题

2015上海市徐汇区高考数学(理)一模试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015上海市徐汇区高考数学(理)一模试题_数学_高中教育_...

【一模】上海市徐汇区2015届高三一模数学试题及答案(理)

【一模】上海市徐汇区2015届高三一模数学试题及答案(理)_数学_高中教育_教育...2015 徐汇区高三数学(理科) 本卷共 4 页第1页 当 n ? 1? 2? 3? ? ...

上海市徐汇区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)

上海市徐汇区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016...(x2)=﹣4, ∴ =2015[f( )+f( )]+f( ) =2015×(﹣4)﹣2 =﹣...

上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断(一模)数学(理)试题

上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断(一模)数学(理)试题_高考_高中教育_...2014 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科) 2015.1 一....

2015年上海市松江区高考数学(理)一模试题

2015上海市松江区高考数学(理)一模试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015上海市松江区高考数学(理)一模试题_数学_高中教育_...