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2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(辽宁卷)

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辽宁理科
1.(2012 辽宁,理 1)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} B 由已知条件可得?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9}, 所以(?UA)∩(?

UB)={7,9},故选 B. 2.(2012 辽宁,理 2)复数 2 ? i =( ). 2?i A. 3 - 4 i B. 3 + 4 i 5 5 5 5 4i C.1D.1+ 3 i 5 5 2 2 A 2 ? i = (2 ? i) = 4 ? 4i ? i = 3 - 4 i,故选 A. 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5 5 5 3.(2012 辽宁,理 3)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b|
2 2

).

).

D.a+b=a-b

B |a+b| =|a| +2a·b+|b|2,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 因为|a+b|=|a-b|, 所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即 2a·b=-2a·b, 所以 a·b=0,a⊥b.故选 B. 4.(2012 辽宁,理 4)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 C 命题 p 是一个全称命题,其否定为存在性命题,p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故选 C. 5.(2012 辽宁,理 5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3×3! C.(3!) C
4

).

).

B.3×(3!) D.9!

3

3 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有 A3 种排法;第二步排列每个家庭中的三个成

3 3 3 3 3 3 3 员,共有 A3 A3 A3 种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有 A3 A3 A3 A3 ,故选 C.

6.(2012 辽宁,理 6)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=(

).

A.58 B.88 C.143 D.176 B 因为数列{an}为等差数列, 所以 S11= 11(a1 ? a11 ) ,根据等差数列的性质,若 p+q=m+n,则 ap+aq=am+an 得,a1+a11=a4+a8=16, 2 11 ? 16 =88,故选 B. 所以 S11= 2 7.(2012 辽宁,理 7)已知 sin α-cos α= 2 ,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 B.- 2 C. 2 ). D.1

2

2

A 将 sin α-cos α= 2 两边平方得 sin2α-2sin αcos α+cos2α=2,即 sin αcos α=- 1 , 2 sinαcosα = tanα =- 1 , 则 sin 2 α ? cos 2 α tan 2 α ? 1 2 整理得 2tan α+tan2α+1=0,即(tan α+1)2=0, 所以 tan α=-1.故选 A. 1

? x ? y ? 10, 8.(2012 辽宁,理 8)设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2x+3y 的最大值为( ? ? 0 ? y ? 15, ?
A.20 B.35 C.45 D.55 D 不等式组表示的平面区域如图所示,

).

则 2x+3y 在 A(5,15)处取得最大值,故选 D.

9.(2012 辽宁,理 9)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是( A.-1 B. 2 3 3 C. D.4 2 D 当 i=1 时,S= 2 =-1; 2?4 2 =2; i=2 时,S= 2 ?1 3 i=3 时,S= 2 = 3 ; 2 2

).

3 2 =4; 3 2? 2 2 =-1; i=5 时,S= 2?4 i=6 时,S= 2 ; 3 i=7 时,S= 3 ; 2
i=4 时,S= i=8 时,S=4;i=9 时,输出 S,故选 D. 10.(2012 辽宁,理 10)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则 该矩形面积小于 32 cm2 的概率为( A. 1 B. 1 6 3 C 设 AC=x cm(0<x<12), ). C. 2 3 D. 4 5

2?

2

则 CB=12-x(cm), 则矩形面积 S=x(12-x)=12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得 0<x<4 或 8<x<12,在数轴上表示为

由几何概型概率公式得,概率为 8 = 2 ,故选 C. 12 3 11.(2012 辽宁,理 11)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 ? ? 1 , 3 ? 上的零点个数为( ). ? 2 2? ? ? A.5 B.6 C.7 D.8 B 由 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)可知,f(x)是偶函数,且关于直线 x=1 对称, 又由 f(2-x)=f(x)=f(-x)可知,f(x)是以 2 为周期的周期函数. 在同一坐标系中作出 f(x)和 g(x)在 ? ? 1 , 3 ? 上的图象如图,可知 f(x)与 g(x)的图象在 ? ? 1 , 3 ? 上有 6 个交点, ? 2 2? ? 2 2? ? ? ? ? 即 h(x)的零点个数为 6.

12.(2012 辽宁,理 12)若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( A.ex≤1+x+x2 B. 1 ≤1- 1 x+ 1 x2 2 4 1? x 1 x2 1 x2 C.cos x≥1D.ln(1+x)≥x2 8 C 时,

).

对于 ex 与 1+x+x2,当 x=5 时,ex>32,而 1+x+x2=31,所以 A 选项不正确;对于

1 与 1- 1 x+ 1 x2,当 x= 1 2 4 4 1? x

1 = 2 5 ,1- 1 x+ 1 x2= 57 < 2 5 ,所以 B 选项不正确;令 f(x)=cos x+ 1 x2-1,则 f'(x)=x-sin x≥0 对 x∈[0,+∞) 2 4 64 2 5 5 1? x 恒成立,f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以 f(x)的最小值为 f(0)=0,所以 f(x)≥0,cos x≥1- 1 x2,故 C 正确;令 g(x)=ln(1+x)2 1 x2,则 g'(x)= 1 + 1 x-1,令 g'(x)=0,得 x=0 或 x=3.当 x∈(0,3)时,g'(x)<0,当 x∈(3,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在 x=3 时 x+ 8 x ?1 4 取得最小值 g(3)=ln 4-3+ 9 <0,所以 D 不正确. 8 13.(2012 辽宁,理 13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .

38

由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,长方体表面积为 2×(4×3+3×1+4×1)=38,

圆柱的侧面积为 2π,上下两个底面积和为 2π,所以该几何体的表面积为 38+2π-2π=38.
2 14.(2012 辽宁,理 14)已知等比数列{an}为递增数列,且 a 5 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式

an= 2
n

.
2 设数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则 a1 ·q8=a1·q9,a1=q,由 2(an+an+2)=5an+1,得 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q= 1 ,因 2

为数列{an}为递增数列,所以 q=2,a1=2,an=2n.

3

15.(2012 辽宁,理 15)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 .

-4

由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2), ∵点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上, ? 2 ∴ ? 4 ? 2y1 , ① 2 ?(-2) ? 2y 2 , ② y ? 8, ∴? 1 ? ? y 2 ? 2, ∴P(4,8),Q(-2,2). 又∵抛物线可化为 y= 1 x2,∴y'=x, 2 ∴过点 P 的切线斜率为 y'
x ?4

=4. =-2,

∴过点 P 的切线为:y-8=4(x-4),即 y=4x-8. 又∵过点 Q 的切线斜率为 y'
x ??2

∴过点 Q 的切线为 y-2=-2(x+2), 即 y=-2x-2. 联立 ? y ? 4x ? 8, 得 x=1,y=-4, ?

? y ? ?2x ? 2,

∴点 A 的纵坐标为-4. 16.(2012 辽宁,理 16)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则 球心到截面 ABC 的距离为 .

3 正三棱锥 P-ABC 可看作由正方体 PADC-BEFG 截得,如图所示,PF 为三棱锥 P-ABC 的外接球的直径,且 3 PF⊥平面 ABC.设正方体棱长为 a,则 3a2=12,a=2,AB=AC=BC=2 2 .
S△ABC= 1 ×2 2 ×2 2 × 3 =2 3 . 2 2 1 ·h·S△ = 1 × 1 ×2×2×2, 由 VP-ABC=VB-PAC,得 ABC 3 3 2 所以 h= 2 3 ,因此球心到平面 ABC 的距离为 3 .

3
(1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. 解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°, 所以 cos B= 1 . 2 (2)解法一:由已知 b2=ac,及 cos B= 1 , 2 根据正弦定理得 sin2B=sin Asin C,

3

17.(2012 辽宁,理 17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.

4

所以 sin Asin C=1-cos2B= 3 . 4 解法二:由已知 b2=ac,及 cos B= 1 , 2 a 2 ? c 2 ? ac ,解得 a=c, 根据余弦定理得 cos B= 2ac 所以 A=C=B=60°,故 sin Asin C= 3 . 4

18.(2012 辽宁,理 18)如图,直三棱柱 ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',点 M,N 分别为 A'B 和 B'C'的中点. (1)证明:MN∥平面 A'ACC'; (2)若二面角 A'-MN-C 为直二面角,求 λ 的值.

解:(1)证法一:连结 AB',AC',由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC-A'B'C'为直三棱柱, 所以 M 为 AB'中点. 又因为 N 为 B'C'的中点, 所以 MN∥AC'. 又 MN?平面 A'ACC',AC'?平面 A'ACC', 因此 MN∥平面 A'ACC'. 证法二:取 A'B'中点 P,连结 MP,NP, 而 M,N 分别为 AB'与 B'C'的中点, 所以 MP∥AA',PN∥A'C', 所以 MP∥平面 A'ACC',PN∥平面 A'ACC'. 又 MP∩NP=P, 因此平面 MPN∥平面 A'ACC'. 而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A'ACC'. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA'为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz,如图所示. 设 AA'=1,则 AB=AC=λ, 于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1), 所以 M ? λ ,0, 1 ? ,N ? λ , λ ,1? .

? ? ? ? ? 2 2? ? 2 2 ? 设 m=(x1,y1,z1)是平面 A'MN 的法向量, 1 ?? ????? ? x ? z ? 0, ? ? 1 2 1 由 ? m ? A ' M ? 0, 得 ? 2 ???? ? ? ? ? ? m ? MN ? 0 ? ? y ? 1 z ? 0, ?2 1 2 1 ? 可取 m=(1,-1,λ). 设 n=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,
5

? ? ? ???? ?n ? NC ? 0, ? ? x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 由 得? 2 2 ? ? ???? ? 1 ? n ? MN ? 0 ? ? ? y ? z ? 0, ? 2 2 2 2 ? 可取 n=(-3,-1,λ). 因为 A'-MN-C 为直二面角, 所以 m·n=0,即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得 λ= 2 .
19.(2012 辽宁,理 19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众 进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 男 女 合计 10 55 体育迷 合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽 取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X) 和方差 D(X). 附:χ2= n(n11n 22 ? n12 n 21 ) ,
2

n1? n 2? n ?1n ?2
P(χ ≥k) k
2

0.05 3.841

0.01 6.635

解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如下:
非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 2 2 χ2= n(n11n 22 ? n12 n 21 ) = 100 ? (30 ?10 ? 45 ?15) = 100 ≈3.030. 33 75 ? 25 ? 45 ? 55 n1? n 2? n ?1n ?2 因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率 1. 为 4 由题意 X~B ? 3, 1 ? ,从而 X 的分布列为 ? ? ? 4? X 0 1 2 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64 6

E(X)=np=3× 1 = 3 , 4 4 D(X)=np(1-p)=3× 1 × 3 = 9 . 4 4 16

2 2 2 20.(2012 辽宁,理 20)如图,椭圆 C0: x + y =1(a>b>0,a,b 为常数),动圆 C1:x2+y2= t 1 ,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的 a 2 b2

左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点. (1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x2+y2= t 2 与 C0 相交于 A',B',C',D'四点,其中 b<t2<a,t1≠t2.若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'的面积相等, 2
2 证明: t 1 + t 2 为定值. 2

(1)解:设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),

y1 (x+a),① x1 ? a ? y1 (x-a).② 直线 A2B 的方程为 y= x1 ? a
则直线 A1A 的方程为 y=
2 由①②得 y2= ? y1 2 x1 ? a 2

(x2-a2).③

2 2 2 2 2 2 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故 x 1 + y1 =1.从而 y1 =b2 ? 1 ? x1 ? ,代入③得 x - y =1(x<-a,y<0). ? ? 2 a 2 b2 a 2 b2 ? a ?

(2)证明:设 A'(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'的面积相等,得 4|x1||y1|=4|x2||y2|,
2 2 故 x1 y1 = x 2 y2 . 2 2

因为点 A,A'均在椭圆上, 2 2 所以 b2 x 2 ? 1 ? x1 ? =b2 x 2 ? 1 ? x 2 1 ? 2? 2 ? 2 ? a ? ? a 由 t1≠t2,知 x1≠x2,
2 所以 x1 + x 2 =a2. 2

?. ? ?

2 从而 y1 + y2 =b2, 2 2 因此 t 1 + t 2 =a2+b2 为定值. 2

21.(2012 辽宁,理 21)设 f(x)=ln(x+1)+ x ? 1 +ax+b(a,b∈R,a,b 为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= 3 x 在(0,0)点相切. 2 (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 0<x<2 时,f(x)< 9x . x?6 (1)解:由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1. 由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 3 , 2 又 y'

|

x=0=

3 1 ? 1 ? ? a ? |x=0= +a,得 a=0. ? x ?1 ? 2 2 x ?1 ? ?

(2)证法一:由均值不等式, 当 x>0 时,2 (x ?1) 1 <x+1+1=x+2, 7

故 x ? 1 < x +1. 2 记 h(x)=f(x)- 9x , x?6 1 + 1 则 h'(x)= - 54 x ? 1 2 x ? 1 (x ? 6) 2 = 2 ? x ?1 -

54 2(x ? 1) (x ? 6) 2 < x ? 6 - 54 4(x ? 1) (x ? 6) 2
3 = (x ? 6) ? 216(x ? 1) .

4(x ? 1)(x ? 6)2

令 g(x)=(x+6)3-216(x+1), 则当 0<x<2 时,g'(x)=3(x+6)2-216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数, 又由 g(0)=0,得 g(x)<0, 所以 h'(x)<0. 因此 h(x)在(0,2)内是递减函数, 又 h(0)=0,得 h(x)<0. 于是当 0<x<2 时,f(x)< 9x . x?6 证法二:由(1)知 f(x)=ln(x+1)+ x ? 1 -1. 由均值不等式,当 x>0 时,2 (x ?1) 1 <x+1+1=x+2, 故 x ? 1 < x +1.① 2 令 k(x)=ln(x+1)-x,则 k(0)=0,k'(x)= 1 -1= ? x <0, x ?1 x ?1 故 k(x)<0,即 ln(x+1)<x.② 由①②得,当 x>0 时,f(x)< 3 x. 2 记 h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当 0<x<2 时, h'(x)=f(x)+(x+6)f'(x)-9 1 ? -9 < 3 x+(x+6) ? 1 ? ? x ?1 ? 2 2 x ?1 ? ? 1 [3x(x+1)+(x+6)(2+ x ? 1 )-18(x+1)] = 2(x ? 1)

? 1 ? x? ? ?3x(x ? 1) ? (x ? 6) ? 3 ? 2 ? ? 18(x ? 1) ? 2(x ? 1) ? ? ? ? x (7x-18)<0. = 4(x ? 1)
< 因此 h(x)在(0,2)内单调递减, 又 h(0)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)< 9x . x?6

22.(2012 辽宁,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图,☉O 和☉O'相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交☉O 于点 E.证明: 8

(1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. 证明:(1)由 AC 与☉O'相切于 A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ACB∽△DAB. 从而 AC = AB ,即 AC·BD=AD·AB. AD BD (2)由 AD 与☉O 相切于 A,得∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. 从而 AE = AD ,即 AE·BD=AD·AB. AB BD 结合(1)的结论,AC=AE. 23.(2012 辽宁,理 23)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标 (用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. (1)解:圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. 解 ? ρ ? 2, ? 得 ρ=2,θ=± ? , 3 ?ρ ? 4cosθ

? ? ? ? ? 3? ? 3? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)解法一:由 ?x ? ρcosθ, 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3 ),(1,- 3 ). ? ? y ? ρsinθ 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? x ? 1, - 3 ≤t≤ 3 . ? ? y ? t, x ? 1, - ≤y≤ (或参数方程写成 ? 3 3) ? ? y ? y, 解法二:将 x=1 代入 ?x ? ρcosθ, 得 ρcos θ=1, ? ? y ? ρsinθ 1 . 从而 ρ= cosθ 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ? x ? 1, - ? ≤θ≤ ? . ? 3 ? y ? tanθ, 3
24.(2012 辽宁,理 24)选修 4—5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值; (2)若 f (x)-2f ? x ? ≤k 恒成立,求 k 的取值范围. ? ?

故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? ? , ? 2,- ? ? .

?2?

解:(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2. 又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意. 当 a>0 时,- 4 ≤x≤ 2 ,得 a=2. a a (2)记 h(x)=f(x)-2f ? x ? ,

? ? ?2?

9

? ? 1, x ? ?1, 则 h(x)= ? 1 ? ??4x ? 3,-1 ? x ? ? , 2 ? 1 ? ?1, x ? ? , ? 2 ?
所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

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