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福建省泉州市2011届普通高中毕业班高三数学质量检测试题 文


年泉州市质量检查数学试卷(文科) 2011 年泉州市质量检查数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , …, xn 的标准差:s = 其中 x 为样本平均数 ; 柱体体积公式: V = Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式: V = 1 Sh

,其中 S 为底面面积, h 为高;
3

1 ?( x1 ? x )2 + ( x2 ? x ) 2 + … + ( xn ? x ) 2 ? , ? n?

球的表面积、体积公式: S = 4πR 2 , V = 4 πR 3 ,其中 R 为球的半径.
3

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A = 1,3,5,7,9} , B = {0,3, 6,9,12} ,则 A I B = ( D ) A. 3,5} 2.复数 z = A. ?1

{

{

B. 3, 6}

{

C. 3, 7}

{

D. 3,9}

{

2m + i ( m ∈ R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为( A ) 1 + 2i 1 B. 0 C. D. 1 4

3.下图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为( C ) A.2 B.4 C.6 D.8
2

4.在区间 [ ?2, 2] 任取一个实数,则该数是不等式 x > 1 解的概率( C ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.1

5.已知 A 是锐角 ? ABC 的内角,则“ cos A = A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 3 ”是“ sin A = ”的 ( C ) 2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知圆 C : ( x ? 1) 2 + y 2 = 25 ,过点 P (2, ?1) 的所有直线中,存在一条直线 l 使得圆心到 它的距离最大,则直线 l 的方程为( B )
1

A. 2 x + y ? 3 = 0

B. x ? y ? 3 = 0

C. x + y ? 1 = 0

D. 2 x ? y ? 5 = 0

7.已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ? )(ω > 0, ? < 示,则( C ) A. ω = 1 , ? =

π
2

) 的部分图象如图所

π
3

B. ω = 1 , ? =

π
3

C. ω = 2 , ? = ?

π
3

D. ω = 2 , ? = ?

π
3
*

8.程序框图如图所示,将输出的 a 的值依次记为 a1,a2,…,an,其中 n ∈ N 且

n ≤ 2010 .那么数列 {an } 的通项公式为(A )
A. an = 2 ? 3
n ?1

a=2
n =1

B. an = 3 ? 1
n

输出 a
n = n +1
a = 3a

C. an = 3n ? 1 9.函数 f ( x ) = x + sin x + 1 的图象( A.关于点(1,0)对称 C.关于点(-1,0)对称

D. an = B )

1 (3n 2 + n) 2

n > 2010

B.关于点(0,1)对称 D.关于点(0,-1)对称

10. 已知双曲线 mx 2 ? y 2 = 1 的右顶点为 A , 若该双曲线右支上存在两点 B, C 使得 ?ABC 为 正三角形,则 m 的取值范围是( ) C. m < 3 D. 0 < m < 3

1 A. m < 3

1 B. 0 < m < 3

11.若设函数 f ( x ) = 2 x + x ? 4 的零点为 m , g ( x ) = log 2 x + x ? 4 的零点为 n ,则 的取值范围是 A. ( , +∞) ( B ) B. (1, +∞) C. (4, +∞ ) D. ( , +∞)

1 1 + m n

7 2

9 2

12.如图所示,圆锥 SO 的轴截面 ?SAB 是边长为 4 的正三角形, M 为母线 SB 的 中点,过直线 AM 作平面 β ⊥ 面 SAB ,设 β 与圆锥侧面的交线为椭圆 C,则椭圆 C 的短半轴为( A ) A. 2

B.

10 2

C. 3

D. 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)
2

?2 x ? y ≤ 2 ? 13.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1 ,则 z = 2 x + y 的最大值为 ?x + y ≥ 1 ?
? 2 x ? 4, x < 2, 14.设 f ( x ) = ? ?log 3 ( x ? 1), x ≥ 2. 则f ( f (4))的值为

10

?2

.

15.已知 A( ?3, 0) , B (0, 3) , O 为坐标原点,点 C 在 ∠AOB 内,且 ∠AOC = 60 ,设
o

uuur uuu uuu r r OC = λ OA + OB (λ ∈ R ) ,则 λ 的值等于

1 3

.

16. 正确说法是______①②③____________(只填序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)
2 已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,且满足 an = S 2 n ?1 ,

n ∈ N* .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn =

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? an +1

解: (Ⅰ) (法一)设等差数列 {an } 的公差为 d ,首项为 a1 ,
2 在 an = S 2 n ?1 中,令 n = 1 , n = 2 ,

?a1 2 = S1 , ? 得? ?a 2 2 = S 3 , ?



?a1 2 = a1 , ? ? ?(a1 + d ) 2 = 3a1 + 3d , ?
解得 a1 = 1 , d = 2 ,

………………………………………………4 分

∴ an = 2n ? 1 .………………………………………………6 分
(法二)Q {an } 是等差数列, ∴

a1 + a 2 n?1 = an 2
-----------------------------2 分

∴ S 2 n?1 =

a1 + a 2 n ?1 (2n ? 1) = (2n ? 1)a n . 2

3

2 由 an = S 2 n ?1 ,得 a n = ( 2n ? 1) a n ,

2

又Q an ≠ 0 ,∴ an = 2n ? 1 ,则 a1 = 1, d = 2 .

------------------3 分

∴ an = 2 n ? 1 .
(Ⅱ)

Q bn =

1 1 1 1 1 = = ( ? ) ,………………………………… an an +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

……8 分

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 n . ………………………………… (1 ? + ? + L + )= ? 2 3 3 5 2 n ? 1 2 n + 1 2n + 1 n 1 2n + 1 ? 2n 1 Q ? = = > 0, 2 2n + 1 2(2n + 1) 2n + 1

……………10 分

∴Tn <

1 .………………………………………………12 分 2

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,0 < ? < π ) 的最小正周期为 π ,当 x =

π
2

时,

f ( x) 取得最小值 ?2 .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f ( A) = ?1 , AB ? AC = 6 ,求边 BC 的最小值., 解: (Ⅰ)依题意得, A = 2 , 函数 f ( x ) 的周期为 π ,

uuu uuur r

Q ω > 0 ,∴ ω =
又 2 sin(2 ×



π
2

π

= 2 .………………………………………………3 分

+ ? ) = ?2 ,∴ ? =

π
2

+ kπ ( k ∈ Z ) ,

Q 0 < ? < π ,∴ ? =
∴ f ( x ) = sin(2 x +

π
2

,………………………………………………5 分

π
2

) = cos 2 x .………………………………………………6 分 1 , 0 < 2 A < 2π , 2

(Ⅱ)Q f ( A) = cos 2 A = ?

4

∴A=

2π .………………………………………………8 分 3 3 uuu uuur r uuu uuur r 又 AB AC = 6 ,即 AB ? AC cos A = 6 > 0 ,
,或 A =

π

∴A=

π
3
2

, AB ? AC = 12 .………………………………………………9 分
2 2 2 2

Q BC = AB + AC ? 2 AB ? AC cos A = AB + AC ? AB ? AC ≥ AB ? AC = 12
, ∴ BC 的最小值为 2 3 .………………………………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛,比赛得分情况记录如下(单位:分) : 甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46 (Ⅰ)根据得分情况记录,作出两名篮球运动员得分的茎叶图,并根据茎叶图,对甲、乙两 运动员得分作比较,写出两个统计结论; (Ⅱ)设甲篮球运动员 10 场比赛得分平均值 x ,将 10 场比赛得分 xi 依次输入如图所示的 程序框图进行运算,问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义; (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 10 场得分中,各随机抽取一场不小于 30 分的得分,求甲 的得分大于乙的得分的概率.

解: (Ⅰ)茎叶图如右 统计结论:①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值; ②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中; ③甲运动员得分的中位数为 27,乙运动员得分的中位数为 28.5; ④甲运动员得分基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近.乙运 动员得分分布较为分散.
5

(给分说明:写出的结论中,1 个正确得 2 分)…………………5 分 (Ⅱ) x = 27, S = 35 .………………………………………………6 分

S 表示 10 场比赛得分的方差,是描述比赛得分离散程度的量, S 值越小,表示比赛得分
比 较 集 中 ,

S

值 越 大 , 表 示 比 赛 得 分 越 参 差 不

齐.………………………………………………8 分 (Ⅲ)记甲、乙两位运动员的得分为 (a, b) , a 表示甲运动员的得分, b 表示乙运动员的得 分, 则甲、乙两位运动员的 10 场得分中各随机抽取一场不小于 30 分的得分的基本事件为:

(31,30) ,(31, 44) ,(31, 46) ,(31, 46) ,(31, 47) ;(32,30) ,(32, 44) ,(32, 46) ,(32, 46) , (32, 47) ; (33,30) , 44) , 46) ,(33, 46) , 47) ; 30) , 44) ,(37, 46) ,(37, 46) , (33, (33, (33, (37, (37, (37, 47) ;共有 20 种情况,……………10 分
其中甲的得分大于乙的得分有: (31,30) , (32,30) , (33,30) , (37, 30) ,共 4 种情 况.…………11 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P = 20.(本小题满分 12 分) 已知 F1 , F2 是椭圆 C :

4 1 = .………………………………12 分 20 5

x2 y 2 + = 1( a > b > 0 ) 的左、右焦点,点 M 在椭圆 C 上,以 M a 2 b2

为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点 F . (Ⅰ)若圆 M 与 y 轴相切,求椭圆的离心率; (Ⅱ)当 a = 2 ,试探究在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得 PF1 ? PF2 = 0 成立?若存在,请求 出 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)设 M ( x 0 , y 0 ) ,圆 M 的半径为 r ,依题意得

uuur uuuu r

x0 = c = r =| y 0 | .………………………………2 分 b2 b2 ,所以 =c, 将 x 0 = c 代入椭圆方程,得 y 0 = a a
6

又 b = a ? c ,从而得
2 2 2

c 2 + ac ? a 2 = 0 ,………………………………………………4 分
两边除以 a ,得 e + e ? 1 = 0 ,解得
2 2

e=

?1± 5 .…………………………………………5 分 2
因为 e ∈ (0,1) ,所以 e =

5 ?1 .………………………………………………6 2

分 (Ⅱ)若存在 PF1 ? PF2 = 0 ,则 PF1 ⊥ PF2 ,………………………………………………7 分 从而 PF1 + PF2
2 2

uuur uuuu r

= F1 F2 ,即 ( PF1 + PF2
2

)

2

? 2 PF1 PF2 = F1 F2 ,
2

所以 (4) ? 2 PF1 PF2 = (2 4 ? b ) ,
2 2 2

4b 2 = 2 PF1 PF2 ≤ 2(
…………6 分

PF1 + PF2

2

4 )2 = 2( ) 2 = 8 ,…………………………………… 2

解得 b ≤ 2 ,即 b 的取值范围为 0, 2 ? .………………………………………………
2

(

?

12 分

21.(本小题满分 12 分) 等腰梯形 ABEF 中,AB∥EF,AB= 转一定的角度到 DCEF 位置(如图) . (Ⅰ)可以直观感知,四边形 ABCD 是平行四边形,请给出证明; (Ⅱ)求证:EF⊥AD; (Ⅲ)设 AC、BD 交于 O 点,请在线段 EF 上探求一点 M,使得三棱锥 M-FAD 与三棱 A 锥 O-EBC 体积相等. 解: (Ⅰ)证明:∵四边形 DCEF 由四边形 ABEF 旋转所得, ∴AB=CD 且 AB∥EF,CD∥EF. 由平行公理得 AB∥DC. E
7

3 EF.将此等腰梯形绕其上底边 EF 所在的直线旋 2

D

F

O

C

B

∴四边形 ABCD 为平行四边形. (Ⅱ)证明:过 F 作 FM⊥AB 于 M,并设旋转后 M 的对应点为 N,连 FN, MN. 则 CD⊥FN 且 AM=DN.

Q AB∥CD

∴ AB⊥FN A

D N F M O

Q MF ∩ NF = F ,∴AB⊥面 MNF

Q MN ? 面MNF ∴ AB⊥MN Q AB∥CD 且 AM=DN ∴ 四边形 AMND 为平行四边形.
∴MN∥AD. 则 AB⊥AD. ∵AB∥EF ∴EF⊥AD.

E C B

(Ⅲ)Q EF / / AB, AB ? 面ABCD, EF ? 面ABCD

∴ EF / / 面ABCD .
∴E 到面 ABCD 的距离等于 F 到面 ABCD 的距离. 在矩形 ABCD 中, ?AOD ? ?COB, S ?AOD = S ?COB . ∴ VE ? BOC = VF ? AOD .

QVE ? BOC = VO ? EBC ,
∴ VO ? EBC = VO ? FAD .

VF ? AOD = VO ? FAD .

设 G 为 AD 中点,在 EF 上取点 M,使 MF=

1 AB ,连 OM、OG. 2

?DAB中,OG // AB, OG =
Q EF / / AB .
∴MO//FG.

1 AB . 2
D G A

∴ EF / / OG .

则四边形 MFGO 为平行四边形.

Q FG ? 面FAD ,
∴ MO / / 面FAD .

MO ? 面FAD ,
O

F

则 O 到面 FAD 的距离等于 M 到面 FAD 的距离. ∴ VM ? FAD = VO ? FAD . ∴ VM ? FAD = VO ? EBC . 22.(本小题满分 14 分) B

M E C

8

已知函数 f ( x ) = e ?
x

1 1 x , g ( x ) = e + x ,动直线 x = t 分别与函数 y = f ( x) 、 x e e

y = g ( x) 的图象分别交于点 A(t , f (t )) 、B (t , g (t )) , 在点 A 处作函数 y = f ( x) 的图象的切
线,记为直线 l1 ,在点 B 处作函数 y = g ( x ) 的图象的切线,记为直线 l2 . (Ⅰ)证明:不论 t 取何实数值,直线 l1 与 l2 恒相交; (Ⅱ)若直线 l1 与 l2 相交于点 P,试求点 P 到直线 AB 的距离; (Ⅲ)当 t < 0 时,试讨论 ?PAB 何时为锐角三角形?直角三角形?钝角三角形? 解: (Ⅰ) f ′( x ) = e +
x

1 1 = g ( x) , g ′( x) = e x ? x = f ( x) , x e e 1 1 t ' t ∴直线 l1 的斜率 k1 = f ′(t ) = e + t ,直线 l2 的斜率 k 2 = g (t ) = e ? t , e e 2 令 k1 = k 2 ,得 t = 0 ,此方程没有实数解, e
∴不论 t 取何实数值,直线 l1 与 l2 恒相交.

(Ⅱ)直线 l1 的方程为: y = f (t ) + g (t )( x ? t ) , ……① 直线 l2 的方程为: y = g (t ) + f (t )( x ? t ) , ……② 由①、②得: ( g (t ) ? f (t ))( x ? t ? 1) = 0 , ∵ g (t ) ? f (t ) = ∴ x ? t = 1, 又∵直线 AB 方程为 x = t ,直线 AB 垂直 x 轴,∴点 P 到直线 AB 的距离为 1 . (Ⅲ)法一:由(Ⅱ)可求得 P (t + 1, 2et ) , ①∵ BP = (1, e ?
t

2 > 0, et

uuu r

uuu r 1 2 ) , BA = (0, ? t ) , t e e

∴ BP ? BA = ?

uuu uuu r r

2 t 1 2 e 2t ? 1 (e ? t ) = ? t , et e e et

uuu uuu r r 2 t 1 2 e 2t ? 1 ∵ t < 0 , e < 1 ,∴ BP ? BA = ? t (e ? t ) = ? t >0, e e e et
2t

又∵ BP ? BA =| BP || BA | cos ∠B ,∴ cos ∠B > 0 , ∠B 为锐角. ②∵ AP = (1, e +
t

uuu uuu r r uuu r

uuu uuu r r

r uuu uuu 2 r r 1 uuu 2 1 ) , AB = (0, t ) ,∴ AP ? AB = t (et + t ) > 0 , t e e e e
9

∴不论 t 取何值, ∠A 恒为锐角. ③∵ PA = ( ?1, ?e ?
t

r 1 uuu 1 ) , PB = (?1, ?et + t ) , t e e uuu uuu r r 1 2t ∴ PA ? PB = 1 + e ? 2t . e uuu uuu r r 1 2t 2t 2 2t 令 PA ? PB = 1 + e ? 2t > 0 ,得 (e ) + e ? 1 > 0 , e

uuu r

(e 2t ?

?1 ? 5 2t ?1 + 5 ?1 + 5 1 ?1 + 5 )(e ? ) > 0 , e2t ? > 0 , ln <t < 0. 2 2 2 2 2
uuu uuu r r

又∵ PA ? PB =| PA || PB | cos ∠P ,∴ cos ∠P > 0 , ∠P 为锐角. 令 PA ? PB = 1 + e ?
2t

uuu uuu r r

uuu uuu r r

1 ?1 + 5 1 ?1 + 5 = 0 ,得 e2t ? = 0 , t = ln < 0, 2t e 2 2 2

此时, cos ∠P = 0 , ∠P 为直角; 令 PA ? PB = 1 + e ?
2t

uuu uuu r r

1 < 0 ,得 (e 2t )2 + e2 t ? 1 < 0 , 2t e

(e 2t ?

?1 ? 5 2t ?1 + 5 ?1 + 5 1 ?1 + 5 )(e ? ) < 0 , e 2t ? < 0 , t < ln , 2 2 2 2 2

此时, cos ∠P < 0 , ∠P 为钝角. 综合①②③得:当 t <

1 ?1 + 5 ln 时, ?PAB 为钝角三角形; 2 2

当t =

1 ?1 + 5 ln 时, ?PAB 为直角三角形; 2 2



1 ?1 + 5 ln < t < 0 时, ?PAB 为锐角三角形. 2 2

法二:由(Ⅱ)可求得 P (t + 1, 2et ) ,又 A(t , e ?
t

1 1 ), B (t , et + t ). t e e

所以 AB = (0, 2e ? t ), AP = (1, et + e ? t ), BP = (1, et ? e ? t ), 所以 AB = 4e

uuu r

uuu r

uuu r

uuu 2 r

?2 t

uuu 2 r uuu 2 r , AP = e 2t + e ?2t + 3, BP = e 2t + e ?2 t ? 1LL (*).

由(*)式知,在 ?PAB 中 BP 不可能是最大边. ① 当

?PAB














10

?2e 2t + 2e ?2t + 2 > 4e ?2t 且 4e ?2t + e 2t + e ?2 t ? 1 > e2 t + e ?2t + 3, ?? ?t < 0.
解得: ②

1 ?1 + 5 ln <t < 0. 2 2


?PAB















?2e 2t + 2e ?2t + 2 = 4e ?2t 或4e ?2t + e 2t + e?2t ? 1 = e 2t + e ?2t + 3, ?? ?t < 0.
解得: t = ③

1 ?1 + 5 ln . 2 2
?PAB
为 钝 角 三 角 形 时



?2e 2t + 2e ?2 t + 2 < 4e ?2t 或4e ?2t + e 2t + e ?2 t ? 1 < e 2t + e?2t + 3, ?? ?t < 0.
解得: t <

1 ?1 + 5 ln . 2 2 1 ?1 + 5 ln 时, ?PAB 为钝角三角形; 2 2

综合①②③得:当 t <

当t =

1 ?1 + 5 ln 时, ?PAB 为直角三角形; 2 2



1 ?1 + 5 ln < t < 0 时, ?PAB 为锐角三角形. 2 2

11


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