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人教a版数学【选修2-2】练习:3.2.2复数代数形式的乘除运算(含答案)

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选修 2-2

第三章

3.2

3.2.2

一、选择题 z 1.(2014· 郑州六校质量检测)设复数 z=a+bi(a、b∈R),若 =2-i 成立,则点 P(a, 1+i b)在( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 [答案] A

r />z [解析] ∵ =2-i,∴z=(2-i)(1+i)=3+i,∴a=3,b=1,∴点 P(a,b)在第一象 1 +i 限. 2.(2014· 新课标Ⅱ理,2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i, 则 z1z2=( A.-5 C.-4+i [答案] B [解析] 本题考查复数的乘法,复数的几何意义. ∵z1=2+i,z1 与 z2 关于虚轴对称,∴z2=-2+i, ∴z1z2=-1-4=-5,故选 B. 3.定义运算? A.3-i C.3+i [答案] A [解析] 由定义得? 4+2i ∴z= =3-i. 1+i 故应选 A. 4.(2014· 洛阳市高二期中)已知 i 为虚数单位,z 为复数,下面叙述正确的是( - A.z- z 为纯虚数 C.i+1 的共轭复数为 i-1 [答案] D B.任何数的偶数次幂均为非负数 D.2+3i 的虚部为 3 ) ) B.5 D.-4-i

?a b?=ad-bc,则符合条件?1 -1 ?=4+2i 的复数 z 为( ? ? ? ?c d ? ?z zi?
B.1+3i D.1-3i

)

?1 -1? ?=zi+z=z(1+i)=4+2i, ?z zi?

[解析] 当 z 为实数时 A 错;由 i2=-1 知 B 错;由共轭复数的定义知 1+i 的共轭复数 为 1-i,C 错,故选 D. 5.(2014· 河北衡水中学二调)在复平面内,复数 ( ) A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] 第二象限. 1 3 6. (2014· 长安一中质检)设 z= + i(i 是数单位), 则 z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=( 2 2 A.6z - C.6 z [答案] C 1 3 1 3 1 3 1 3 [解析] z2=- + i,z3=-1,z4=- - i,z5= - i,z6=1,∴原式=( + i) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 3 1 3 - +(-1+ 3i)+(-3)+(-2-2 3i)+( - i)+6=3-3 3i=6( - i)=6 z . 2 2 2 2 二、填空题 7.(2012· 湖南理)已知复数 z=(3+i)2(i 为虚数单位),则|z|=________. [答案] 10 [解析] ∵z=8+6i,∴|z|= 82+62=10. 8.复数 z 满足(1+2i) z =4+3i,那么 z=________. [答案] 2+i [解析] (1+2i)·z =4+3i, 4+3i ?4+3i??1-2i? z= = =2-i,∴z=2+i. 5 1+2i 1+ai 9.(2013· 华池一中高二期中)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 的值为 2-i ________. [答案] 2 1+ai ?1+ai??2+i? [解析] ∵ = 2-i ?2-i??2+i? B.6z2 D.-6z ) -2+3i ?-2+3i??3+4i? -18+i -2+3i 18 1 = = =- + i,∴复数 对应的点位于 5 5 5 5 3-4i 3-4i B.第二象限 D.第四象限 -2+3i (i 是虚数单位)所对应的点位于 3-4i



? ?2-a=0, ?2-a?+?2a+1?i 为纯虚数,∴? ∴a=2. 5 ?2a+1≠0, ?

三、解答题 z 10.已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对 2-i 应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. [解析] 设 z=x+yi (x、y∈R), z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ? ?12+4a-a >0, 根据条件,可知? 解得 2<a<6, ?8?a-2?>0, ?

∴实数 a 的取值范围是(2,6).

一、选择题 a+ i 11.(2014· 开滦三中期中)若复数 是纯虚数,则实数 a 的值为( 1-2i A.2 1 C. 5 [答案] A a+i ?a+i??1+2i? ?a-2?+?2a+1?i [解析] ∵ = = 是纯虚数,∴a=2. 5 1-2i ?1-2i??1+2i? 1+2i - - 12. (2014· 洛阳市期末)i 为虚数单位, 若复数 z= , z 的共轭复数为 z , 则 z· z =( 2-i A.1 25 C. 9 [答案] A 1+2i ?1+2i??2+i? 5i [解析] ∵z= = = =i, 2-i ?2-i?· ?2+i? 5 - - ∴ z =-i,∴z z =1. B.-1 25 D.- 9 ) 1 B.- 2 2 D.- 5 )

1-z 13.设复数 z 满足 =i,则|1+z|=( 1+z A.0 C. 2 [答案] C 1 -z [解析] ∵ =i, 1+z

) B.1 D.2

1-i 1-i 2 ∴z= ,∴z+1= +1= =1-i, 1+i 1+i 1+i ∴|z+1|= 2. 2 14.(2014· 石家庄质检)设 z=1+i(i 是虚数单位),则 +z2 等于( z A.-1+i C.1+i [答案] C [解析] 2 2 2 +z = +(1+i)2=1-i+2i=1+i. z 1+i B.-1-i D.1-i )

二、填空题 x y 5 15.设 x、y 为实数,且 + = ,则 x+y=__________________. 1-i 1-2i 1-3i [答案] 4 [解析] x y 5 + = 可化为, 1-i 1-2i 1-3i

x?1+i? y?1+2i? 5?1+3i? + = , 2 5 10 x y? ? x 2 ? 1 3 即? ?2+5?+?2+5y?i=2+2i,

?2+5=2, 由复数相等的充要条件知? x 2 3 ?2+5y=2.
?x=-1, ? ∴? ∴x+y=4. ?y=5, ?

x

y

1

3+i 16.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=__________________. i [答案] 17

3+i [解析] ∵z= -i=-3i+1-i=1-4i, i

∴|z|= 17. 三、解答题 17.(2013· 华池一中高二期中)把复数 z 的共轭复数记作 z ,已知(1+2i) z =4+3i,求 z及 z z .

[解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi, 由 已 知 得 : (1 + 2i)(a - bi) = (a + 2b) + (2a - b)i = 4 + 3i , 由 复 数 相 等 的 定 义 知 ,
? ?a+2b=4, ? 得 a=2,b=1, ?2a-b=3. ?

∴z=2+i. ∴ z 2+i ?2+i?2 3+4i 3 4 = = = = + i. 5 5 5 z 2-i ?2-i??2+i?

18.设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)复数 z 在复平面内对应点位于第二象限; (2)z·z +2iz=8+ai(a∈R). 试求 a 的取值范围. [解析] 设 z=x+yi(x,y∈R),由(1)得 x<0,y>0, 由(2)得,x2+y2+2i(x+yi)=8+ai, 即 x2+y2-2y+2xi=8+ai.
?x2+y2-2y=8, ? 由复数相等的定义得,? ?2x=a, ② ?



由①得 x2+(y-1)2=9,∵x<0,y>0,∴-3≤x<0,∴-6≤a<0.


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