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数列的通项公式求解方法经典整理

时间:2017-08-10


数列的通项公式求解方法经典整理
★旭日东升★QQ:284625005
一、定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 1.概念与公式: ①等差数列: 1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 an } 称等差数列; {
2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ;

3°.前 n 项和公式:公式: S n ? ②等比数列: 1°.定义若数列 {a n }满足

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

a n?1 ,则 ? q (常数) {an } 称等比数列; an

2°.通项公式: an ? a1q n?1 ? ak q n?k ;

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) 3°.前 n 项和公式: S n ? ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1 . 1? q 1? q
2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质:

a?b ; 2 2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ;
1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ? 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质: 1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则

?a , ? a , ?a
k ?1 n k k ? n ?1 2n k k ? 2 n ?1 3n k ?1 k k ? n ?1 k k ? 2 n ?1

n

2n

3n

k

组成公差为 n d 的等差数列; 组成公差为 q 的等比数列. (注意:
n

2

2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则 当 q=-1,n 为偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列,

?a , ? a , ?a

k

则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列. ⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有
2

2

奇数项、所有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

2 1.等差数列 ?an ? 是递增数列, n 项和为 S n , a1 , a3 , a9 成等比数列,S 5 ? a5 . 前 且 求数列 ?an ?

nd . 2

的通项公式. 解析: 设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵ d ? 0 ,∴ a1 ? d ??????????????①
2 ∵ S 5 ? a5 ,∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 ?????② 2 3 3 3 3 3 由①②得: a1 ? , d ? ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 5 5
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出 通项。 2. 在等差数列 {an } , a p ? q, aq ? p, 则a p?q ? ; 中
在各项为正的等比数列 {an } , am?n ? p, am?n ? q, 则am ? 中 。

解析:
0,

pq
1 4 1 8 1 1 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 16 32

3.已知数列 3 ,5 ,7

二、观察法 给出前几项(或用图形给出) ,求通项公式一般从以下几个方面考虑: ①符号相隔变化用(-1)的 n 次方来调节。 ②分式形式的数列,注意分子、分母分别找通项,并注意分子与分母的联系。 ③分别观察奇数项与偶数项的变化规律,用分段函数的形式写出通项。 ④观察是否与等差数列和等比数列相联系。 ⑤分析相邻项的关系。 ⑥如果需要证明,使用数学归纳法。 例: 求以下数列的通项公式 ①1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49?? ②-3,7,-13,21,-31?? ③1,4,9,16?? 解析: ①:将 1/2 改成 2/4,3/8 改成 6/16,5/18 改成 10/36, 原数列就为 2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49,所以通项公式为 an=2n/(n+1)? ②:符号相隔变化用(-1)的 n 次方来调节, 数列 3,7,13,21,31,??的通项公式:后项与前项差为 4、6、8、10??,把第一项 3 分为 1+2,数列 2、4、6、8、10??,为等差数列,公差 d=2,通项:2+2(n-1)=2n,则 bn=1+2+4+6+??+2n=1+
n

? 2 ? 2n ? n =n?+n+1
2

所以 an=(-1) (n?+n+1) 第二种办法:数列 3,7,13,21,31,??看作:4-1,9-2,16-3,25-4,36-5,?? 所以 an=

? ?1?

n

[( n ? 1) 2 ? n] = ? ?1? ? n 2 ? n ? 1?
n

③:an=n?
例: 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3) 8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 a2 ? a1 ? ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 n ? 1 时, a1 ? (1)当 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ? ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2 8(k ? 1) ak ?1 ? ak ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
由此可猜测 an ?

? ? ? ?

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2

[2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 ? [2(k ? 1) ? 1]2 由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 * 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项公式, 最后再用数学归纳法加以证明。

1. (广东卷)设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直 线不过同一点. 若用 f ( n) 表示这n条直线交点的个数, f (4) _____________; 则 当n>4时, f (n) =_____________. 2.(2008·福州检测)图(1),(2),(3),(4)分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的 单位正方形,按同样的方式构造图形,则第 50 个图包含 个互不重叠的单位正方形.

3. (2006 年广东卷)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓 球堆成若干准“正三棱锥”形的展品, 其中第一堆只有一层,就 1 个乒乓球;第 2、3、4、?堆最底层(第一层)分别按图 4 所示 方式固定摆放.从第一层开始, 每层的小球自然垒放在下一层之上, n 堆第 n 层就放一个乒 第 乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? ; f (n) ? (答案用含有 n 的式子表示)

4.如图,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正 三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,则前 n 个内切 圆的面积和为___ 解析: 设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an ,因为从第 2 个正三角 形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的

1 , 2 1 .由题意知 2

每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的

a1 ?

1 1 3 a tan 30? ? a , an ? an ?1 .故前 n 个内切圆的面积和为 2 2 6
n

?1? 1? ? ? n ?1 2 ? 1 ? 1 ?2 ? ? a2 ?1? ? 4 ? ? ? a (1 ? 1 ) . 2 2 2 2 ? ? ? a1 ? a2 ????? an ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ????? ? ? ? ? 1 9 4n ? 4 ? ? 12 ? 4 ?4? ? ? 1? 4
5.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在 星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20% 改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30% 改选 A 种菜.用 an , bn 分别表示在第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数,如果 a1 ? 400,求 a10 . 解析:

4 3 ? 1 ?an ?1 ? an ? bn 依题意得 ? 5 10 ,消去 bn 得: an ?1 ? an ? 150 . 2 ?an ? bn ? 500 ? 由 a1 ? 300 得 a2 ? 300 ,从而得 a10 ? 300 . 1 一般地,可推出 an ?1 ? 300 ? ( an ? 300) ,若 a1 ? 300 ,则数列 ?an ? 300? 是首项为 a1 ? 300 , 2 1 1 公比为 的等比数列.则 an ? 300 ? ( a1 ? 300) ? n ?1 . 2 2
6.观察下列数表: 1 2,3

4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15 ? 则 2 008 是此表中的第 行的第 个数. n-1 7.将数列{3 }按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1)(3,9)(27,81,243) , , ,?,则第 100 组中的第一个数是 8.将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

.

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? , 1 ? a1 ? 1 . n 为数列 ?bn ? 的前 n 项 S ? b 和,且满足

a1 a2 a4 a7

a3 a5 a8

a6 a9

a10

2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn Sn ? Sn

(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?
4 时,求上表中第 k (k ≥ 3) 行所有项的和. 91

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

9.(福建卷)五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数 都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的是为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次, 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 。 解析: 这样得到的数列这是历史上著名的数列, 叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本, 否则, 费时费力.首先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律,再求所求就比较简单了. 这个数列的变化规律是:从第三个数开始递增,且是前两项之和,那么有 1、1、2、3、5、8、 13、21、34、55、89、144、233、377、610、987??分别除以 3 得余数分别是 1、1、2、0、 2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0??由此可见余数的变化规律是按 1、1、2、0、2、2、 1、0 循环,周期是 8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数,所以在三个周期内 共有 6 个报出的数是三的倍数,后面 6 个报出的数中余数是 1、1、2、0、2、2,只有一个是 3 的倍数,故 3 的倍数总共有 7 个,也就是说拍手的总次数为 7 次.s.5.u.c

三、公式法: [1]已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1
n 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1



?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1, an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ??, a2 ? 2a1 ? 2.

?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
2 n?2 [ 2 ? ( ?1) n ?1 ] 3 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 点评:利用公式 an ? ? 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一 S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 ?
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 定要合并. 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

[2]作商法 已知 a1 ? 2 ? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 a ?? ,(n ? 2)

? f (1),(n ? 1) ?

? f (n ? 1) ? 例如:数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______
四.累加法(迭加法) : 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 例. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?



1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 1 1 1 1 ? ? ? 解:由条件知: a n?1 ? a n ? 2 n ? n n(n ? 1) n n ? 1 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
例. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。

如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________



an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法:an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 例. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 a n 解:由条件知 n?1 ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之, an n ?1
五.累乘法(迭乘法) :已知 即

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? n ? ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? n a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 2 2 又? a1 ? ,? a n ? 3 3n
例. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.
n

评注:本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an 转化为

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,进而求出 an

an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1

练习:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

六.构造法. 已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 (1)形如 an ? pan?1 ? q 、 an?1 ? pan ? t ? qn ? k , an?1 ? pan ? qn , an?1 ? pan ? qn ? k , ( an?1 ? pan ? f (n) , k , p, q, t 为常数) ?? 等一系列 一阶线性递推数列都可以直接或者 用待定系数法转化为公比为 p 的等比数列后,再求 an 。 ① an ? pan?1 ? q 解法: 待定系数法, 直接令 an ? ? ? p(an?1 ? ? ) , 展开后, 与原式比较, 求得 ? ? 转化为等比数列求解。 例. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递 推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
q , 1? p

所以 ?bn ?是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,所以 an ? 2 n?1 ? 3 . ② an?1 ? pan ? t ? qn 解法一:该类型较类型①要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n ?1 ,得:

bn ?1 a n ?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3

a p t an ?1 p an t ,得:bn ?1 ? bn ? 再应用①的方法解 ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ?(其中 bn ? n ) n n ?1 q q q q q q q 决。

an a ? ? ? p( n ?1 ? ? ) 来构造等比数列 n q q n ?1 5 1 1 n ?1 例. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用①解法得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2
解法二:也可以待定系数法,直接令 例. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a a a 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是以 n ?1 n ?1 n 2n 2 2 2 2 2 2 a 3 a1 2 3 ? ? 1 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解: an?1 ? 2an ? 3 ? 2 两边除以 2
n
n?1

,得

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的 n n 2 2 2
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n 转化为 通项公式。 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。[待定系数法] ①
n n

解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

将 an?1 ? 2an ? 3? 5 代入①式,得 2an ? 3? 5 ? x ? 5n?1 ? 2an ? 2x ? 5n ,等式两边消去 2an ,得

3 ?5 n ? x ?5 n ?1 ?2 x5 n ,两边除以 5n ,得 3 ? 5x ? 2 x, 则x ? ?1, 代入①式得 ?

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )



由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及②式得 an ? 5n ? 0 ,则

an?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注: 本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,从而可 知数列 {an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项 公式。

例. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则
n?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3 an an a a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3 1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 2 1 n 1 n 则 an ? ? n ? 3 ? ? 3 ? . 3 2 2
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为

an an ?1 an ?1 an ?2 an ?2 ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 n 3 3 3 3 3 式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
求出 (

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,进而 n ?1 3 3 3 3 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? 的通项公 3 3 3 3 ?3 ?

例.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。[待定系数法]
解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入①式,得
n



3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)

整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。 令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?y ? 2 ?4 ? y ? 3 y


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式, 得 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ?3, an ? 5 ? 2n ? 2

故数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,因此

an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求出数
列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 ③ an?1 ? pan ? qn( p ? 1, q 为常数)

若数列 ?an ? 满足 an?1 ? pan ? qn( p ? 1, q 为常数) ,则令 an?1 ? a(n ? 1) ? b ? p(an ? an ? b) 来 构造等比数列,并利用 对应项相等求 a, b 的值,求通项公式。 例 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,点 (n,2an?1 ? an ) 在直线 y ? x 上,求数列 ?an ? 的通项 2

④若数列 ?an ? 满足 an?1 ? pan ? qn2 ? tn ? k ( p ? 1, q, t , k 为常数) ,则令

an?1 ? a(n ? 1)2 ? b(n ? 1) ? c ? p(an ? ?an2 ? bn ? c) 来构造等比数列,并利用 对应项相等求 a, b, c 的值,求通项公式。
例.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
解:设 an?1 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 将 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入①式,得
2



2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则
2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn ? 2 yn ? 2z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入①式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ②
由 a1 ? 3?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及②式,得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0
2 2



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是
等比数列,进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

练一练 ①已知 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1,求 an ; ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;
④ ③数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 2 ,求 an

(2)形如 an ? pan?1 ? qan?2 、 an ? pan?1 ? qan?2 ? t ? ? n ( p, q, t , ? 为常数)的二阶线性递推 数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。
例:在数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? 1 , an?2 ? an?1 ? an (n ? N*) 求 a100 . 解析:由 an?2 ? an?1 ? an

①,得 an?3 ? an?2 ? an?1 ②. ②式+①式,得 an?3 ? ?an ,从而有 an?6 ? ?an?3 ? an . ∴数列 {an } 是以6为其周期.故 a100 ? a4 ? ?1 .
例:在数列 {xn } 已知 x1 ? x2 ? 1 , xn?2 ? xn?1 ? xn (n ? N*) 求数列 {xn } 的通项公式. 解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列. 令 待定). 即 即 从而 ∴ ① ∴ 的两个实根. 对照已知递推式, 有 使数列 ?xn?2 ? a1 xn?1

? 是以

为公比的等比数列(

或 由式①得 ;由式②得

② .

消去



练一练 * (2007 天津高考题)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ? ) ? 2 n , n ? N )其中 (

? ? 0 ,求数列的通项公式 an ?1 (3)形如 an ? 的非线性递推数列 kan ?1 ? b an ?1 ? f (an ) 且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构 造出倒数加常数成等比数列。 a n?1 例: a n ? , a1 ? 1 3 ? a n?1 ? 1 1 3 ? an?1 ? 1 1 解:取倒数: ? ? 3? an an?1 an?1
[来源:Zxxk.Co

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
例:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an ;
(4) 、对数变换法 高于一次的递推数列,这类数列适当变换后,通常可取对数来解决。

an?1 ? t ? ? ? (an ? t ) p (an ? 0, ?, p ? 0, p ? 1, an ? t ? 0) 这类数列可取对数得 lg(an?1 ? t ) ? lg(an ? t ) ? c (c 为常数),从而转化为等差数列型递推数列.
例: 已知 a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图象上,其中 n ? 1, 2,3,?
2

求数列 {an } 的通项
2 解:由已知 an?1 ? an ? 2an ,? an?1 ? 1 ? (an ? 1)2 ? a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取对数得

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )
n?1

?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.

lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32

?1 ? an ? 32
n?1

n?1

an ? 32 ?1
例:
3( 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an n ?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解: (迭代法)
3( 因为 an?1 ? an n?1)2 ,所以
n

3n? 3( an ? an?12 ? [an?n?1)?2 ]3n?2 2
3 ? an ?(2n ?1)?n?2
2 ( n?2 )?( n?1)

n?1

n? 2

n?1

3( ? [an ?n ? 2)?2 ]3 3
3

n?3

2

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n?3)?( n?2 )?( n?1)

3 ? an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2

??
3 ? a1 3 ? a1
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2 )?( n?1)
n ( n?1) ?n!?2 2
n ( n?1) 2

n?1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为

an ? 5

3n?1 ?n!?2


n

3( 注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 an?1 ? an n?1)2 两边

取 常 用 对 数 得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an , 即

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n , 再 由 累 乘 法 可 推 知 lg an
n ( n?1) 2

n?1 lg an lg an?1 lg a3 lg a2 lg an ? ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1

,从而 an

?5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



5 例:已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。 5 5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取常用对

数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2

① ②

设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)

将①式代入②式,得 5lg an ? n lg3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) ,两边消去 5lg an 并整 理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则

lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5 x ? ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ? lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 代入②式,得 lg an ?1 ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及③式, 由 lg a1 ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 得 lg an ? 4 16 4



lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, 则 lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? n? ? } 是以 lg 7 ? 所以数列 {lg an ? 为首项,以 5 为公比的等比数 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 列,则 lg an ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4 lg an ?1 ?
? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16

?2 )

5n?1 ?1 4

)

? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 75 ? 3
n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项公式, 4 16 4 4 16 4 最后再求出数列 {an } 的通项公式。 lg an ?1 ?
已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 ) 2 , ( x ? 0) ,又数列 ?an ? 中 a1 ? 2 ,其前 n 项和为 S n , (n ? N ) ,对
?

所有 大于 1 的 自然数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

七、形如 an ? m1an?1 ? m2an?2 ? ...... ? mn?1a1 (mi 为常数)的多阶线性递推数列 例(2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ,
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ② ①

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 , a2 ? a1 , 则 又知 a1 ? 1 , 取 则 a2 ? 1,代入③得 an ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? 所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

评注: 本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 进而求 ? n ? 1(n ? 2) , an



an an?1 a ? ?? ? 3 ? a2 ,从而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2

特殊的 n 阶递推数列
例、已知数列 公式. 解析:∵ 满足

,求

的通项

① ②



②-①,得

.∴

故有

将这几个式子累乘,得



例、数列{ 解析:由

}满足 ①,得 ,或

,求数列{

}的通项公式. ②. ,故有

式①-式②,得

.

∴ 将上面几个式子累乘,得

,

.

xn 2 ?1 2 ?1 1 ,即 xn ? ? ? x1 ? , (n ? 2) . (n ? 1)n (n ? 1)n x1 (n ? 1)n

∵ x1 ?

1 1 , (n ? N *) . 也满足上式,∴ xn ? 2 (n ? 1)n

八、不动点法(特征方程法、特征根法)

定理 1 设已知数列

的项满足 ?

? a1 ? b ?an?1 ? can ? d

其中 设上述递推关系式的特征方程的根为 , 其 中 . ,则当 是 以 时, 为常数列,即

为 公 比 的 等 比 数 列 , 即

证明:因为

由特征方程得

作换元

则 当 时, ,数列 是以 为公比的等比数列,故



时,



为 0 数列,故

(证毕)

下面列举两例,说明定理 1 的应用.

例、已知数列

满足:



解:作方程



时,

数列

是以

为公比的等比数列.于是

例、已知数列 当

满足递推关系: 是常数数列?

其中 为虚数单位.

取何值时,数列

解:作方程



要使

为常数,即则必须

定理

如果数列

满足下列条件:已知

的值且对于

,都有

(其

中 p、q、r、h 均为常数,且 (1)当特征方程有两个相同的根 若 则

),那么,可作特征方程 (称作特征根)时,

.

若 使

,则 时,无穷数列

其中 不存在.

特别地,当存在

(2)当特征方程有两个相异的根



(称作特征根)时,则





中 证明:先证明定理的第(1)部分. 作交换







是特征方程的根,∴

将该式代入①式得





代入特征方程可整理得

这与已知条件

矛盾.故特征方程的根

于是 当 当 ,即 即 =

③ 时,由②式得 故 此时可对②式作如下变化:

时,由②、③两式可得





是方程

的两个相同的根可以求得



将此式代入④式得

令 列.



故数列

是以

为公差的等差数



其中



时,

当存在

使

时,

无意义.故此时, 无穷数列

是不存

在的. 再证明定理的第(2)部分如下: ∵特征方程有两个相异的根 、 ,∴其中必有一个特征根不等于 ,不妨令 于

是可作变换



,将

代入再整理得



由第(1)部分的证明过程知 故

不是特征方程的根,故

所以由⑤式可得:



∵特征方程

有两个相异根



方程

有两个相异根



,而方程

与方程

又是同解方程.

∴ 将上两式代入⑥式得





时,数列

是等比数列,公比为

.此时对于

都有





时,上式也成立.





可知

所以

(证毕)

注: 当

时,

会退化为常数;当

时,

可化归为较易解的递推

关系,在此不再赘述.

例、已知数列

满足性质:对于





的通项公式.

解:依定理作特征方程

变形得

其根为

故特征方程

有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有







例、已知数列 (1)若 穷数列 求

满足:对于 (2)若

都有 求 (3)若 求 (4)当 取哪些值时,无

不存在?

解:作特征方程 变形得 特征方程有两个相同的特征根 (1)∵ (2)∵ 对于 依定理 2 的第(1)部分解答. 都有





,得

.故数列

从第 5 项开始都不存在,

当 ≤4, (3)∵

时, ∴

.

∴ 令 则 ∴对于

∴ (4)显然当 时 , 数 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知, 列 是 存 在 的 , 当 时 , 则 有

令 2.

则得

且 ≥

∴当

(其中

且 N≥2)时,数列

从第 项开始便不存在.

于是知:当

在集合



且 ≥2}上取值时,无穷数列

都不存在.

例、已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两个 4x ?1 4x ?1

不动点。因为

21an ? 24 ?2 ?a ? 2? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 ? n ? an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1
是以

a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ?2 为首项,以 ? 2( )n?1 , 则 为公比的等比数列,故 n 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9

an ?

1 13 2( )n ?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ?

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两个根 4x ?1 4x ?1

x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数列,再求出 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 an ? 3 ? ?
7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

例. 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为

1 an ?1 ? 1

?

2a ? 3 (an ? ) + 5 1 2 1 1 2 ? n = = + ,所以数列 7an ? 2 5 ) an ? 1 5 ? 1 5an ? 5 (an ? 1 2an ? 3

? 1 ? ? ? 是以 ? an ? 1?

2 1 1 2 n +3 2 =1 为 首 项 , 以 为公差的等差数列,故 ,则 = 1 (n-1) + ? = 5 a1 ? 1 an ? 1 5 5

an ?

5 2 +8 n ?1 ? 。 2n + 3 n2 + 3

九、其他特殊的,换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16
1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 即 4bn?1 ? (bn ? 3)2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3 1 3 bn ? 2 2

评注: 本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn , 使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?

形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 最后再求出数列 {an } 的通项公式。

数列通项公式练习 ? 1 已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式。

2 已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1

(n∈N )

?

3 设数列 ?an ? 中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1

求通项公式 a n

4 已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n?1 = 1 ? 2a n 2

(n∈N )

?

求 an

5 设数列 ?an ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1

若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n

6 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,2a n?1 = a n + a n ? 2

求 an


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