nbhkdz.com冰点文库

函数讲义3-基本初等函数(2)


层层飞跃,挑战巅峰

指数与对数专讲
指数函数
函数名称 定义
x

指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1
y
图象

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y

r />
y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对 图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

对数函数
(1)对数的定义 ①若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫
x

做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数.

追求卓越,挑战极限

第 1 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 …) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a M ? log a N ? log a ④a
log a N

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R) ⑤

M N

?N
换 底 公 式 :

log ab M n ?

n log a M (b ? 0, n ? R ) b



log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1
y
图象

0 ? a ?1

x ?1

y ? loga x

y

x ?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性

(0, ??)

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶

追求卓越,挑战极限

第 2 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

单调性

在 (0, ??) 上是增函数

在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

典型例题 考点一:对数的基本运算
1 1 2 ? lg 0.81 ? lg 0.008 2 3 1、(1)、 lg 2 ? lg 9

(2)、 ?log4 3 ? log8 3? ? (log3 5 ? log9 5) ? (log5 2 ? log25 2)

2、已知

loga x ? 2 , logb x ? 3 , logc x ? 6 求 logabc x 的值.

考点二:指数,对数的混合运算
指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? loga x
x

(a ? 0, a ? 1) 的图象与性质
在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

追求卓越,挑战极限

第 3 页 共 10 页

层层飞跃,挑战巅峰

1、若 log a 2 ? m,log a 3 ? n, 则 a

3m ? 2 n

? _________

2、若 a ? 1 且 0 ? b ? 1 ,则不等式 a

logb ( x ?3)

? 1 的解集为________

3、已知 3 ? 5 ? A, 且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 A 的值是________ a b

a 4、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是…………………………(

)

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

2

2 D、 3a ? a

考点三:对数函数的定义域与解析式
注意复合函数的定义域的求法,形如 y ? f ?g ( x)? 的复合函数可分解为基本初等函数

y ? f (u ), u ? g ( x) ,分别确定这两个函数的定义域。
y? 1 log 1 (2 ? x)
2

1、函数

的定义域是____________

5 f (log 3 ( x ? )) ? 2 x ?2 f (0) =___________ 2 2、已知 ,则

6 f (8) =____________ 3、已知 f ( x ) ? log 2 x ,那么

4、函数 y ? log(2 x?1) 3x ? 2 的定义域是(



?2 ? A、 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ?

?1 ? B、 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?2 ?

追求卓越,挑战极限

第 4 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

?2 ? C、 ? , ?? ? ?3 ?

?1 ? D、 ? , ?? ? ?2 ?

5、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是



考点四:对数函数的值域
注 意 复 合 函 数 的 值 域 的 求 法 , 形 如 y ? f ?g ( x)? 的 复 合 函 数 可 分 解 为 基 本 初 等 函 数

y ? f (u ), u ? g ( x) ,分别确定这两个函数的定义域和值域。
y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ?17)
1. 函数
2

的值域是________

1 f ( x ) ? l o g x a ]上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 2 , 则 a 2. 设 a ? 1 , 函 数 在 区 间 [a , 2
a =___________
x f ( x) ? a ? loa g ( x? 1) [0,1] 上 最 大 值 和 最 小 值 之 和 为 a , 则 a 的 值 为 在

3. 函 数

_______________

4、已知函数 y=4 -3×2 +3,当其值域为[1,7]时,则变量 x 的取值范围是 A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]

x

x

考点五:对数函数的单调性、奇偶性
1、 函数

y ? lg x

y ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 2)
的单调递增区间是______, 函数
2

的递增区间是_____

追求卓越,挑战极限

第 5 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

? 2 ? y ? lg ? ? 1? 1 ? x ? ? 的图像关于………………………………………………………( 2、函数

)

A、 x 轴对称

B、 y 轴对称

C、原点对称

D、直线 y ? x 对称

3,函数

f ( x) ? lg

?

x 2 ?1 ? x

?是

(奇、偶)函数。

4、已知函数

f ( x) ?

10 x ? 10? x 10 x ? 10? x ,判断 f ( x ) 的奇偶性和单调性。

练习:

x )? 1、已知 f( ?
(A) ( 0 , 1 )

( 3 a ? 1 ) x? 4 a ,x? 1 ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log , x? 1 ax ?
(B) ( 0 ,

1 ) 3

(C) [

1 1 , ) 7 3

(D) [

1 ,1 ) 7

)?? 2、已知 f (x

( 3?a )x?4 a ,x < 1 , ? 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是 lo g ,x? 1 ax ?
(B)(- ? ,3) (C) ?

(A)(1,+ ? )

?3 ? ,3 ? ?5 ?

(D)(1,3)

考点六:对数中的不等关系
比较同底数的两个对数值的大小;比较两个同真数的对数值的大小

追求卓越,挑战极限

第 6 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

1、设 a ? lg e, b ? (lg e) , c ? lg e, 则 a, b, c 的大小关系是_______
2

2、 如果 A.

loga 3 ? logb 3 ? 0 , a , b 的关系是…………………………………………( 那么
0 ? a ? b ?1
B. 1 ? a ? b C. 0 ? b ? a ? 1 D. 1 ? b ? a

)

3、已知 log ,则( ? log ? log 1b 1a 1c
2 2 2

)
c

A. 2 ? 2? 2
b a c

B. 2 ? 2? 2
a b

C. 2 ? 2? 2
c b

a

D. 2 ? 2? 2
c a

b

4、已知 lo g ?lo g 0,则 1m 1 n?
2 2

(A) n<m < 1

(B) m<n< 1

(C) 1< m<n

(D) 1 <n<m

5、已知

loga ( x2 ? 1) ? loga (2x ? 4) ? 0 ,则不等式解集为_______
[2, ??) 上恒有 f ( x) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是________

6、若

f ( x) ? log a x



课下练习: 1、若 log m 9 ? log n 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是(

) D、 0 ? m ? n ? 1

A、 m ? n ? 1

B、 n ? m ? 1

C、 0 ? n ? m ? 1

2 、 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ?1 时 , f (x) ? lgx. 设

6 3 5 a ? f ( ),b? f ( ), c ? f ( ) , 则 5 2 2 (A) a?b?c (B) b?a?c

(C) c ?b?a

(D) c ?a?b

? l o g( o g2 3、设 P ? log2 3 , Q ? log3 2 , R ,则( 2l 3 )
A. R?Q? P
追求卓越,挑战极限

) D. R? P?Q

B. P? R?Q

C. Q? R? P

第 7 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

l n 2 l n 3 l n 5 4、若 a ? ,b ? ,c? ,则 2 3 5

( C.c<a<b



A.a<b<c

B.c<b<a )

D.b<a<c

5、下列大小关系正确的是( A. 0 ; . 4? 3 ? l o g0 3 4 .
2 0 . 4

B. 0 . 4? l o g0 3 ? 3; 4 .
2 0 . 4 0 . 4 2 D. l o g0 3 ? 3 ? 0 . 4 4 .

2 0 . 4 C. l ; o g0 3 ? 0 . 4 ? 3 4 .

注:幂函数:幂函数 y ? x? 是形式定义,所以一个函数是幂函数,就有系数为 1; 另外在第一象限内,如果 ? ? 0 ,则单调递增,如果 ? ? 0 ,则单调递减.

例 1:幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (?2, ? 1 ) ,且满足 f ( x) =64 的 x 的值是
8

1 例 2:幂函数 f ( x) 的图象经过点 (3, ) ,则其定义域为 9

例 3:若幂函数 y ? f ( x)的图象经过点 (2, 2 ),则f (9) =

例 4:幂函数 f ( x) ? (m ? 2m ? 2) x
2

1 m? m2 2

在 (0,??) 是减函数,则 m =

追求卓越,挑战极限

第 8 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

典型例题
1. 设 a ? log3 7, b ? 2 A. b ? a ? c
1.1

, c ? 0.83.1 则(

) D. a ? c ? b

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

2.(



+log3 +log3 =

_________ .

3. 已知实数 x, y 满足 a A. x
3

x

? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
B. sin x ? sin D.



? y3
2

y

C. ln( x2 ? 1) ? ln( y2 ? 1)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1

4. 已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c 为常数, 其中 a ? 0, a ? 1) 的图象如右图, 则下列结论成 立的是( )

A. a

? 1, c ? 1

B. a

? 1,0 ? c ? 1

C. 0 ? a ? 1, c ? 1

D. 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1

a 5. 已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ________.

6. 已知 b ? 0 , log5 b ? a , lg b ? c , 5 ? 10 ,则下列等式一定成立的是(
d



A、 d ? ac

B、 a ? cd

C、 c ? ad

D、 d ? a ? c

追求卓越,挑战极限

第 9 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉煌

层层飞跃,挑战巅峰

7. 设 a ? log2 ? , b ? log1 ? , c ? ? ?2 , 则(
2

) D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

8. 在同一坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0) , g ( x) ? loga x 的图象可能是(
a



2

9. 若 f ( x) ? x 3 ? x 2 ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 取值范围是

1

.

追求卓越,挑战极限 煌

第 10 页 共 10 页

在绝望中寻找希望,人生终将辉


函数讲义3-基本初等函数(2)

函数讲义3-基本初等函数(2)_数学_高中教育_教育专区。层层飞跃,挑战巅峰 指数与对数专讲指数函数函数名称 定义 x 指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1...

基本初等函数讲义(全)

基本初等函数讲义(全)_数学_高中教育_教育专区。一、一次函数一次 函数 k ,b...2 D. y ? ?3 ? x ? 1?2 ? 2 23.抛物线 y= x ? 2mx ? ...

高一数学基本初等函数学习讲义

3 x 3 ; x x ? 0, 高一数学基本初等函数学习讲义题型一:判断两函数是否为同一个函数 [例 1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数? f ( x) ? x 2 ...

基本初等函数讲义

基本初等函数讲义_数学_高中教育_教育专区。长安教育中心教研室主编 长安教育中心...1.3 5 5 5 (4)log5 1.9 ___ log5 2; (5)log0.7 0.2 ___ log...

2高一数学讲义基本初等函数

2高一数学讲义基本初等函数_数学_高中教育_教育专区。高一数学讲义(61 期) 第二讲 基本初等函数 一、指数函数:(1)指数、根式的概念: 1、根式的定义:一般地,若...

3.基本初等函数

3.基本初等函数_数学_高中教育_教育专区。一对一个性化辅导讲义学员姓名 年级及...幂函数的如下性质:- (1)幂函数在___上都有定义; (2)函数的图像都过...

专题3 函数与基本初等函数(二)

中国领先的个性化教育品牌 精锐教育学科教师辅导讲义年 级: 课题 辅导科目:数学 函数基本初等函数(二) 课时数:3 教学目的 教学内容 第三节 函数的奇偶性(一)...

基本初等函数(Ⅰ)讲义

基本初等函数()讲义_数学_高中教育_教育专区。第二章 基本初等函数(Ⅰ) 必修 1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数2.1.1】指数与指数幂的运算...

补课讲义:函数与基本初等函数(一) (2)

补课讲义:函数基本初等函数(一) (2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...?-2,2?,求函数 y=f?x -x-2?的定义域; (2)已知函数 f(3-2x)的定义...