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数列通项公式与求和习题(经典)


数列通项与求和
一.求数列通项公式
1.定义法(① 等差数列通项公式;② 等比数列通项公式。 ) 2 例.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S 5 ? a5 .求数列 ?an ? 的 3 通项公式.答案: an ? n 5

?a1 , (n ? 1) ? an ? f

(n) )求 an ,用作差法: an ? ? ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2) 1 2 例.设正整数数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? (an ? 1) ,求 an 答案: an ? 2n ? 1 4
2.公式法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ?

3.作商法:已知 a1a2

f (1),(n ? 1) ? ? f (n) 。 an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ?
;答案:

如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ?

61 16

4.累加法:若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?
例.已知数列,且 a1=2,an+1=an+n,求 an. 答案: an ?

? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。

n2 ? n ? 4 2

an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? 2 ? a1 (n ? 2) an an ?1 an ? 2 a1 2 2 n a n ,求 an 。 答案: an ? 例.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 3n

5.累乘法:已知

1

6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差.等比数列) 。

(1)形如 an?1 ? pan ? f ?n? 只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异.其中 f ?n ? 有多种不同形式 ① f ?n ? 为常数,即递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。 解法:转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p 例. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .答案: an ? 2n?1 ? 3

② f ?n ? 为一次多项式,即递推公式为 an?1 ? pan ? rn ? s

例.设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .答案: an ? 6 ? 3n?1 ? n ?1

③ f ( n) 为 n 的二次式,则可设 bn ? an ? An2 ? Bn ? C ; (2) 递推公式为 an?1 ? pan ? q n(其中 p, q 均为常数, 。 (或 an?1 ? pan ? rqn , ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 其中 p,q, r 均为常数) 解法:该类型复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得: 引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ?

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型(1)的方法解决。 n q q q 5 1 n 1 n 1 1 n ?1 例.已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。答案: an ? 3 ? ( ) ? 2 ? ( ) 6 3 2 2 3 (3)递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。
解法:先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ? (2)的方法求解。 例. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

?s ? t ? p ,再应用前面类型 ?st ? ?q

7 3 1 2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。答案: an ? ? (? ) n ?1 3 3 4 4 3

7. 形如 an ?
例. an ?

an ?1 或 an?1 -ban =kan an?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

an?1 1 , a1 ? 1 答案: an ? 3n ? 2 3 ? an?1 ? 1 8.利用平方法、开平方法构造等差数列
2

例 1. 数列 ?an ? 的各项均为正数, 且满足 an ?1 ? an ? 2 an ? 1 , 求 an 。 答案: a1 ? 2 , an ? (n ? 2 ?1) 例 2.已知 f ( x) ?

2

1 x ?2
2

( x ? ? 2) ,求:

(1) f ?1 ( x) ; (2)设 a1 ? 1, 答案: ( 1) f
?1

1 ? ? f ?1 (an )(n ? N ? ) ,求 an 。 an ?1

( x) ? ? 2 ?

1 1 ( x ? 0) (2) an ? 2 x 2n ? 1

r 9. an?1 ? p ? an 型

该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。 r 两边取对数得 lg an?1 ? lg( p ? an ) lg an?1 ? lg p ? r lg an 设 bn ? lg an ∴ 原等式变为 bn?1 ? rbn ? lg p 即变为基本型。 例.已知 a1 ? 2, a n ?1 ?
2 an 2 2n?1 ,求其通项公式。答案: an ? 3 ? ( ) 3 3

练习:
1. 已知数列 3

1 1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________(答: an ? 2n ? 1 ? n ?1 ) 2 4 8 16 32

2.已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an

(答: an ?

?

3, n ? 1 ) ; 2n , n ? 2

3.数列 {an } 满足

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 an ? 2n ? 5 ,求 an 2n

(答: an ?

?

14, n ? 1 ) 2n ?1 , n ? 2

3

4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 则 an =______ ( 答 :

an ? n ? 1 ? 2 ? 1)

5.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

(答: an ?

4 ) n(n ? 1)

6.数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an 3

(答: an ?

?

4, n ? 1 ) 3 4 n ?1, n ? 2

7.已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an (答: an ?

1 ) n2

2.已知 a1 ? 3 且 an?1 ? 3an ? 2n ,求 an 答案: an ? 5 ? 3n?1 ? 2n 答案: an ? 5 ? 3n?1 ? 2n

8.已知 a1 ? ?

1 1 且 3Sn?1 ? Sn ? an?1 ,求 an 答案: an ? 3 n(3n ? 3)

11.已知数列{an}的首项 a1=

3n 3 3an ,an+1= ,n=1,2,…,求{an}的通项公式;答案: an ? n 5 3 ?2 2an +1
4

二.数列求和
1. 公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,
特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论. ;③常用公式:

? n ? 1 n(n ? 1) 12 ? 22 ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6 n(n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [ ]. 2 1 ?1 例.已知 log3 x ? ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和.答案: Sn ? 1 ? n 2 log2 3 1? 2 ? 3 ?



2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起, 再运用公式法求和. a ? a n ?1 3n 2 ? n 1 1 1 ? 例 2. 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,…答案: Sn ? a a ?1 2 a a

3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的 推导方法) . 例 3.求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 答案: Sn ? 44.5

4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法) . 2 3 n?1 例 4. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x ………………………①

5

例 5.求数列

2 4 6 2n n?2 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和.答案: S n ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那 么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: 1 1 ① ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 n 1 1 ④ ; ? [ ? ] ;⑤ ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1
例 6.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.答案: Sn ? n ? 1 ?1

例 7.在数列{an}中, an ?
答案: S n ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

8n n ?1

6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 10n ?1 ? 10 ? 9n S ? 例 8 .求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 之和. 答案: ?? ? ?1 n ? ? 81 n个1

6

三.能力综合
1.数列{an}的通项公式为 an=

1 ,已知前 m 项和 Sm=9,则 m 为( n+1+ n
D.9 )

)

A. 99 B.98 C.10 2.数列 1,1+2,l+2+22,…,1+2+22+…+2n-1 前 n 项和等于( A.2n+1-n B.2n C.2n-n A.0 B.3 C .8

3. 数列 ?an ? 的首项为 3, 若 b3 ? ?2 ,0 b 1 ? 2 ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N? ) , 1 D.11 4.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

D.2n+1-n-2 , 则 a8 ? ( )

1 1 ? ?1。 1 ? an?1 1 ? an

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1

5.如果 f(x+y)=f(x)· f(y),且 f(1)=-2,则

f (1) f (3) f (5) ? ? ? f (2) f (4) f (6)

?

f (2007) 等于 f (2008)

答案:-502

6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1 (l)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=

2 1 an n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn 答案: (1) an ? 4n ? 2, bn ? n ?1 (2)Tn ? [(6n ? 5)4 ? 5] 4 9 bn

7.求满足下列条件的数列 ?an ? 的通项公式。 (1)已知 ?an ? 满足 an ?1 ? an ?

1 4n ? 1
2

, a1 ?

1 ; (2)已知 ?an ? 满足 an?1 ? 3n an ,且 a1 ? 3 ,求 an 。 2

4n ? 3 答案: (1) an ? (2) an ? 3 4n ? 2
8.求下面各数列的前 n 项和。 (1)

n2 ? n ? 2 2

1 1 1 1 , , , , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9



(2)

1 1 1 1 , , , , 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 4 ? 5 ? 6

9.设函数 f ( n) 的定义域为 N+,且满足 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn , f (1) ? 1 ,求 f ( n) 。 10.设正值数列{ an }的前 n 项和为 sn ,满足 s n ? (

an ? 1 2 ) 2
1 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn an an ?1

(1)求 a1 , a2 , a3 (2)求出数列{ an }的通项公式(3)设 bn ? 答案: (1) a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 5 ; (2) an ? 2n ? 1; (3) Tn ?
7

n 2n ? 1

11.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…构造一个新数列:a1,(a2 –a1), (a3-a2) ,…, (an-an-1)…, 此数列是首项为 1,公比为 (l)求数列{an}的通项;

1 的等比数列 3
(2)求数到{an}的前 n 项和 Sn

12.已知数列{an}的首项 a1= (1)证明:数列 ?

2 2an , an ?1 ? ,n=1,2,… 3 an ? 1
(2)求数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

?n? ? 的前 n 项和 Sn ? an ?

13. (2012 大连一模)已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? an?1 ? an ? 0 。 (1)求证:数列 ? 答案: ( 1) a n ?

?1? ? 2n ? 是等差数列,并求数列 的通项公式; ( 2 )求数列 { a } ? ? ? 前 n 项和 Sn 。 n ? an ? ? an ?

1 (2) Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 n

14 . ( 2012 东 三 省 第 一 次 联 考 ) 数 列 {an } 前 n 项 和 Sn , 且 S n ?

3 ( an ? 1), 数 列 {bn } 满 足 2

1 3 bn ?1 ? (n ? 2) ,且 b1 ? 3 。 4 4 (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 满足 cn ? an ? log 2 (bn ? 1) ,其前 n 项和为 Tn , bn ?
求 Tn 。 答案: (1) an ? 3n , bn ? 42?n ?1; (2) Tn ?

(5 ? 2n)3n ?1 ? 15 2

15. (2012 东三省第三次联考)数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? n ? 2n (n ? N * , n ? 2) ,且 a1 ? 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? 范围。 答案: (1) an ? (n2 ? n)2n?1 (2) ? ? 2
8

an ?1 ,当数列 {bn ? ? n}为递增数列时,求正实数 ? 的取值 an


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