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江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用


江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇 编

导数及其应用
一、填空题

1 ( x ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线分别 x 1 与 x 轴,y 轴交于点 A、B, O 是坐标原点,若 ?OAB 的面积为 ,则 x0 ? 3
1、 ( (无锡市 2016 届高三上期末)过曲

线 y ? x ? 填空题答案 1、 5 二、解答题 1、 (常州市 2016 届高三上期末)已知 a , b 为实数,函数 f ( x) ? ax3 ? bx 。 (1)当 a =1 且 b ? [1,3] 时,求函数 F ( x) ?| M(b); (2)当 a ? 0, b ? ?1 时,记 h( x) ?

f ( x) 1 ? ln x | ?2b ? 1( x ? [ , 2]) 的最大值 x 2

ln x 。 f ( x)


() hx ?() yx () ? ①函数 h( x) 的图象上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y ( x) , 记 gx

问:是否存在 x0 ,使得对于任意 x1 ? (0, x0 ) ,任意 x2 ? ( x1 , ??) ,都有 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 0 恒成立?若存在,求出所有可能的 x0 组成的集合,若不存在,说明理由。

?x ? ,x ? s ②令函数 H ( x) ? ? 2e ,若对任意实数 k,总存在实数 x0 ,使得 H ( x0 ) ? k ? ?h( x), 0 ? x ? s
成立,求实数 s 的取值集合。 2、 (淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末)已知函数

1 f ( x) ? e x [ x 3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4] ,其中 a ? R , e 为自然对数的底数 3
(1)若函数 f ( x) 的图像在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 垂直,求 a 的值. (2)关于 x 的不等式 f ( x) ? ? e 在 (??,2) 上恒成立,求 a 的取值范围.
x

4 3

(3)讨论 f ( x) 极值点的个数.

3、 (南京、 盐城市 2016 届高三上期末)已知函数 f ( x ) ? (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x ? (0, 2) ,都有 f ( x) ?

ax 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x . ex

1 成立,求 k 的取值范围; k ? 2x ? x2 x ? x2 ) 的正负,并说 (3)若函数 g ( x) ? ln f ( x) ? b 的两个零点为 x1 , x2 ,试判断 g ?( 1 2
明理由.

4、 (南通市海安县 2016 届高三上期末)设 a 为正常数,函数 f ( x) ? ax, g ( x) ? ln x ; (1)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值; (2)证明: ?x0 ? R ,使得当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立。 5、 (苏州市 2016 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a (a∈R) , e 为自然对
x

数的底数. (1) 当 a=1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; ②若有且只有唯一整数 x 0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

6、 (泰州市 2016 届高三第一次模拟)已知函数 f ? x ? ? ax ?
4

g ? x? ? f ? x? ? f ? ? x? .
(1) 若 a ? 0 ,求证: (ⅰ) f ? x ? 在 f ?( x ) 的单调减区间上也单调递减; (ⅱ) g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点;

1 2 x , x ? (0, ??) , 2

(2) 若 a ? 1 ,记 g ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ,求证: 4 ? x1 ? x2 ? a ? 4 . 7、 (无锡市 2016 届高三上期末) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? (1)当 a ? 2 时,求出函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若不等式 f ? x ? ? a 对于 x ? 0 的一切值恒成立,求实数 a 的取值范围。

a?e?2 (a ? 0) x

8、 (扬州市 2016 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x ? 2)e x ( a>0 ) ,其中 e 是自然 对数的底数. (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在 ?? 2, 2?上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 4 在 ?t,t ? 1? 上有解.

9、(镇江市 2016 届高三第一次模拟)已知函数 f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]ex. (1) 求函数 f(x)的单调区间; 1 - (2) 设 x>0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b2a 1ea恒成立,求正数 b 的范围.

解答题答案 1、

?1 ? 2、 (1) 由题意, f ?( x) ? e x ? x3 ? x 2 ? ax ? a ? , ………………………………………… ?3 ? 2分 因为 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 垂直, 所以 f ?(0)=1,解得 a ? ?1 . ……………………………4


4 4 ?1 ? (2) 法一:由 f ( x) ? ? e x ,得 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ? ? e x , 3 3 ?3 ? 3 2 2) 恒成立, 即 x ? 6 x ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 对任意 x ? (??, ……………………………6


2) 恒成立, 即 ? 6 ? 3x ? a ? x3 ? 6x2 ? 12x ? 8 对任意 x ? (??,
因为 x ? 2 , 所以 a ?

x3 ? 6 x 2 ? 12 x ? 8 1 2 ? ? ? x ? 2 ? , ……………………………8 ?3? x ? 2 ? 3

分 记 g ( x) ? ? 分

1 2 2) 上单调递增,且 g (2) ? 0 , ? x ? 2? ,因为 g ? x ? 在 (??, 3 ? ?) . ………………………………………10 所以 a ≥ 0 ,即 a 的取值范围是 [0,

4 4 ?1 ? 法二:由 f ( x) ? ? e x ,得 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (a ? 4) x ? 2a ? 4 ? ? ? e x , 3 3 3 ? ? 3 2 2) 上恒成立,…………………………… 6 即 x ? 6 x ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 在 (??,

分 因为 x3 ? 6 x2 ? (3a ? 12) x ? 6a ? 8 ? 0 等价于 ( x ? 2)( x2 ? 4 x ? 3a ? 4) ? 0 , ①当 a ≥ 0 时, x2 ? 4x ? 3a ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 3a ≥ 0 恒成立, 2) , 所以原不等式的解集为 (??, 满足题意. …………………………………………8 分 ②当 a ? 0 时,记 g ( x) ? x2 ? 4 x ? 3a ? 4 ,有 g (2) ? 3a ? 0 , 所以方程 x 2 ? 4 x ? 3a ? 4 ? 0 必有两个根 x1 , x2 ,且 x1 ? 2 ? x2 , 原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 , 解集为 (??,x1 ) ? (2,x2 ) , 与题设矛盾, 所以 a ? 0 不符合题意. 综 合 ①② 可 知 , 所 求 的 取 值 范 围 是 a [0, ? ?) .…………………………………………10 分

?1 ? (3) 因为由题意,可得 f' ( x) ? e x ? x3 ? x 2 ? ax ? a ? , ?3 ? 所以 f ( x) 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11 分
令 g ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? a , ①若 f ( x) 有且只有一个极值点,所以函数 g ( x) 的图象必穿过 x 轴且只穿过一次, 即 g ( x) 为单调递增函数或者 g ( x) 极值同号. ⅰ)当 g ( x) 为单调递增函数时, g' ( x) ? x2 ? 2 x ? a ≥ 0 在 R 上恒成立,得 a ≥ 1 …12 分 ⅱ)当 g ( x) 极值同号时,设 x1 , x2 为极值点,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ 0 , 由 g' ( x) ? x2 ? 2 x ? a ? 0 有解,得 a ? 1 ,且 x12 ? 2 x 1 ?a ? 0, x22 ? 2x 2 ?a ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? a ,

1 3

1 3 1 1 2 ? ? (2 x1 ? a) ? ax1 ? ax1 ? a ? ?(a ? 1) x1 ? a? , 3 3 3 2 同理, g ( x2 ) ? ?(a ? 1) x2 ? a? , 3 2 2 所以 g ? x1 ? g ? x2 ? ? ?(a ? 1) x1 ? a? ? ?(a ? 1) x2 ? a? ≥ 0 , 3 3 化简得 (a ? 1)2 x1 x2 ? a(a ? 1)( x1 ? x2 ) ? a 2 ≥ 0 , 所以 (a ? 1)2 a ? 2a(a ? 1) ? a2 ≥ 0 ,即 a ≥ 0 , 所以 0 ≤ a ? 1 . 所以,当 a ≥ 0 时, f ( x) 有且仅有一个极值点; …………………14 分 ②若 f ( x) 有三个极值点,所以函数 g ( x) 的图象必穿过 x 轴且穿过三次,同理可得 a ? 0 ; 综上,当 a ≥ 0 时, f ( x) 有且仅有一个极值点, 当 a ? 0 时, f ( x) 有三个极值点. …………………16 分
所以 g ( x1 ) ? x13 ? x12 ? ax1 ? a ? x1 (2 x1 ? a) ? x12 ? ax1 ? a 3、解: (1)由题意得 f ?( x ) ? 所以 f ?(0) ?

1 3

a (1 ? x ) ,因函数在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x , ex

a ? 1 ,得 a ? 1 . ……………4 分 1 x 1 (2)由(1)知 f ( x) ? x ? 对任意 x ? (0, 2) 都成立, e k ? 2x ? x2 2 2 所 以 k ? 2x ? x ? 0 , 即 k ? x ? 2 x 对 任 意 x?( 0 , 2 都) 成 立 , 从 而 k ? 0. ………6 分

又不等式整理可得 k ? 所 以

x ?1, ……………8 分 当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, 2) 上单调递增, 同理,函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,所以 k ? g ( x)min ? g (1) ? e ?1 , 综上所述,实数 k 的取值范围是 [0, e ? 1) . ……………10 分 x ? x2 ) ? 0. (3)结论是 g ?( 1 …………11 分 2 1 1? x 证明:由题意知函数 g ( x) ? ln x ? x ? b ,所以 g ?( x) ? ? 1 ? , x x x ? x2 ? 1即 易得函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,所以只需证明 1 2
可. ……12 分 因为 x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个零点,所以 ? 不妨令

ex ex ? x 2 ? 2 x ,令 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x , x x x e ( x ? 1) ex g ?( x) ? ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1)( ? 2) ? 0 x2 x2





? x1 ? b ? ln x1 x ,相减得 x2 ? x1 ? ln 2 , x1 ? x2 ? b ? ln x2

1 t x2 ln t , x2 ? ln t , ? t ? 1 ,则 x2 ? tx1 ,则 tx1 ? x1 ? ln t ,所以 x1 ? t ?1 t ?1 x1 t ?1 t ?1 ln t ? 2 ,即证 ? (t ) ? ln t ? 2 ?0, 即证 ……………14 分 t ?1 t ?1 1 4 (t ? 1)2 因 为 ? ?(t ) ? ? ? ? 0 , 所 以 ? (t ) 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 ? (t ) ? ? (1) ? 0 , x ? x2 ) ? 0 成立. 综上所述,函数 g ( x) 总满足 g ?( 1 …………16 分 2
4、

5、解: (1)当 a=1 时, f ? x ? ? e x ? 2x ? 1? ? x ? 1 , f ' ? x ? ? e x ? 2x ? 1? ? 1 , ……………1 分 由于 f '(0) ? 0 , 当 x ? (0, ??) 时, e x ? 1, 2 x ? 1 ? 1 ,∴ f '( x) ? 0 , 当 x ? (??,0) 时, 0 < e x ? 1, 2 x ? 1 ? 1 ,∴ f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单调递增. 分 (2)①由 f ( x) ? 0 得 e
x

…………………4

? 2x ?1? ? a ? x ?1? .

当 x ? 1 时,不等式显然不成立;

当 x ? 1 时, a ? 分 记 g ( x) =

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

;当 x ? 1 时, a ?

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

.

…………………6

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

, g '( x) ?

e x ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 1?

? x ? 1?
3

2

?

e x 2 x 2 ? 3x

?

? x ? 1?

2

?,

3 ? ? 3? ∴ g ( x) 在区间 ? ?? , 0? 和 ? ? , ?? ? 上为增函数, ? 0,1? 和 ? 1, ? 上为减函数. 2 ? ? ? 2?

?3? ∴ 当 x ? 1 时, a ? g ? ? ? 4e 2 ,当 x ? 1 时, a ? g ? 0? ? 1 . ……………………8 ?2?
分 综上所述,所有 a 的取值范围为 ? ??,1? U ? 4e 2 , ?? ? .

? ?

3

? ?

………………………9

分 ②由①知 a ?1 时, x0 ? (??,1) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a , 又 g ( x) 在区间 ? ?? , 0? 上单调递增,在 ? 0,1? 上单调递减,且 g ? 0? ? 1 ? a , ∴ g ? ?1? ≤ a ,即 a ≥ 分 当 a ? 4e 时, x0 ? (1, ??) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a , 又 g ( x) 在区间 ? 1 , ? 上单调递减,在 ? ∴? 分 综上所述,所有 a 的取值范围为 [ 分
3 2

3 3 ,∴ ≤ a ? 1 . 2e 2e

………………………12

? ? g ? 2? ? a 5e3 ,解得 3e2 ? a ≤ . 2 ? ? g ? 3? ≥ a

? ?

3? 2?

?3? ?3 ? , ?? ? 上单调递增,且 g ? ? ? 4e 2 ? a , ?2 ? ?2?
………………………15

3

? 3 5e3 ? ,1) ? ? 3e2 , ?. 2e 2 ? ?

………………………16

6、证: (1)因为 f ? x ? ? ax ?
4

1 2 x ? x ? 0 ? ,所以 f ?( x) ? 4ax3 ? x , 2

3 2 由 (4ax ? x)? ? 12ax ?1 ? 0 得 f ?( x ) 的递减区间为 (0,

1 ), 2 3a

…………2 分

当 x ? (0,

1 ) 时, f ?( x) ? 4ax3 ? x ? x(4ax2 ?1) ? 0 , 2 3a
…………4 分

所以 f ? x ? 在 f ?( x ) 的递减区间上也递减.
4 (2)解 1: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2

1 2 1 x ? x ? 0 得 ax 3 ? 4ax 2 ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 1 3 2 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ? 3ax ? 8ax ? , 2 2 1 因为 a ? 0 ,且 ? ?(0) ? ? ? 0 ,所以 ? ?( x ) 必有两个异号的零点,记正零点为 x0 ,则 2
因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ?
4 3

x ? (0, x0 ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减; x ? ( x0 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增,
若 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x0 ) ? 0 , 由 ? ?( x0 ) ? 3ax0 ? 8ax0 ?
2

…………7 分

1 1 ? 0 得 3ax0 2 ? 8ax0 ? , 2 2 32 1 7 4 8 1 ax0 ? x0 ? ,又因为对称轴为 x ? , 所以 ? ( ) ? ? (0) ? ? ? 0 , 所以 ? ( x0 ) ? ? 9 3 9 3 3 2 8 7 32 1 7 ax0 ? ( x0 ? ) ? 0 , 所以 x0 ? ? ,所以 ? ( x0 ) ? ? 3 3 9 3 3 1 1 2 1 3 2 2 又 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 ? ax ( x ? 8) ? x(ax ? 1) ? 1 , 2 2 2


1 ,8 中的较大数为 M ,则 ? (M ) ? 0 , a

故 a ? 0 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点. …………10 分

1 2 1 x ? (4ax 3 ? x) ? ax 4 ? 4ax 3 ? x 2 ? x , 2 2 1 2 1 4 3 3 2 因为 x ? 0 ,由 g ? x ? ? ax ? 4ax ? x ? x ? 0 得 ax ? 4ax ? x ? 1 ? 0 , 2 2 1 3 2 令 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 , 2
解 2: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ?
4

若 g ? x ? 在 (0, ??) 上恰有两个零点,则 ? ( x) 在 (0, ??) 上恰有两个零点, 当 x ? 2 时, 由 ? ( x) ? 0 得 a ? 0 ,此时 ? ( x) ? ? 题意;
3 2 当 x ? 2 时,由 ? ( x) ? ax ? 4ax ?

1 x ? 1 在 (0, ??) 上只有一个零点,不合 2

1 1 x3 ? 4 x 2 x ?1 ? 0 得 ? , 2 2a x?2

…………7 分

令 ?1 ( x) ?

x3 ? 4 x 2 8 ? x2 ? 2x ? 4 ? , x?2 x?2
2

5 7 2 x[( x ? ) 2 ? ] 2 x( x ? 5 x ? 8) 2 4 ? 0, ?( x ) ? ? 则 ?1 2 2 ( x ? 2) ( x ? 2)

当 x ? (0, 2) 时, ? ( x) 单调递增,且由 y ? x ? 2 x ? 4, y ? ?
2

8 值域知 x?2

; ? ( x) 值 域 为 ( 0 ?? , ) 当 x ? (2, ??) 时 , ?1 ( x) 单 调 递 增 , 且 ?1 (4) ? 0 , 由

8 2 y? x ?2 x ?4 , y ? ? 值域知 ? ( x) 值域为 (??, ??) ; x?2 1 1 ? 0 ,而 y ? 因为 a ? 0 ,所以 与 ?1 ( x) 有两个交点,所以 ?1 ( x) 在 (0, ??) 上恰 2a 2a
有两个零点. …………10 分

1 3 2 (3)解 1:由(2)知,对于 ? ( x) ? ax ? 4ax ? x ? 1 在 (0, ??) 上恰有两个零点 x1 , x2 , 2 1 1 1 不妨设 x1 ? x2 ,又因为 ? (0) ? 1 ? 0 ,? ( ) ? (6 ? 7 a ) ? 0 ,所以 0 ? x1 ? ,……12 分 2 8 2
又因为 ? (4) ? ?1 ? 0 , ? ( ) ?

9 1 9 (657 a ? 10) ? 0 ,所以 4 ? x2 ? , 2 8 2 1 9 所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a ? 4 . 2 2

…………16 分

1 x3 ? 4 x 2 ? 解 2:由(2)知 , 2a x?2
因为 x ? [0, 2) 时, ?1 ( x) 单调递增, ? ( ) ? 所以 0 ? x1 ?

1 2

7 1 1 ? ?1 ( ) , , ?1 (0) ? 0 ? ?1 ( x1 ) ? 12 2a 2
…………12 分

1 , 2
9 2

当 x ? (2, ??) 时, ?1 ( x) 单调递增, ?1 ( ) ? 所以 4 ? x2 ?

81 1 9 ? ?1 ( ) , , ?1 (4) ? 0 ? ?1 ( x2 ) ? 20 2a 2

9 , 2 1 9 ? ?5?a?4. 2 2
…………16 分

所以 4 ? x1 ? x2 ? 7、

8、解: (1) f ( x) ? (2 x2 ? x ? 2)e x ,则 f ' ( x) ? (2x2 ? 5x ? 3)e x ? ( x ? 1)(2x ? 3)e x 分 令 f ' ( x) ? 0 , x ? ?1, ?

………2

3 2 3 (??, ? ) 2 3 ? 2
0 极大值 减

x

3 (? , ?1) 2

?1

( ?1, ?? )

f ' ( x)
f ( x)
3 ? f ( x )极大值 =f (? ) ? 5e 2
3 ? 2

?


0 极小值

?
增 ………4 分

, f ( x)极小值 =f (?1) ? 3e?1

2 x (2)问题转化为 f ' ( x) ? ? ?ax ? (2a ? 1) x ? 3? ? e ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立;

又 ex ? 0

即 ax2 ? (2a ? 1) x ? 3 ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立;

………6 分

令g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 3

? a ? 0 ,对称轴 x ? ?1 ?

1 ?0 2a

①当 ?1 ?

1 1 ? ?2 ,即 0 ? a ? 时, g ( x) 在 [?2, 2] 上单调增, 2a 2 ?0 ? a ? 1 2
………8 分

? g ( x)min ? g (?2) ? 1 ? 0

②当 ?2 ? ?1 ?

1 1 1 1 ? 0 ,即 a ? 时, g ( x) 在 [?2, ?1 ? ] 上单调减,在 [?1 ? , 2] 上单调增, 2a 2 2a 2a
3 3 ? a ?1? 2 2 1 3 ? ? a ?1? 2 2

?? ? (2a ? 1)2 ? 12a ? 0 解得: 1 ?

综上, a 的取值范围是 (0,1 ?

3 ]. 2

………10 分

(3)? a ? 1, 设 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 , h' ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 令 ? ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 , ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x 令 ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x ? 0, 得x ? ?2, ?3

x

(??, ?3)

?3

(?3, ?2)

?2
0

(?2, ??)

? ' ( x)
? ( x)
?? ( x)极大值 =? (?3) ?

?


0 极大值 减

?
增 ………13 分

极小值

3 1 ? 1 ? 0 , ? ( x)极小值 =? (?2) ? 2 ? 1 ? 0 3 e e

1 ?? (?1) ? ? 1 ? 0,? (0) ? 2 ? 0 e
? 存在x0 ? (?1,0), x ? (-?,x0 )时? ( x) ? 0,x ? ( x0 , +?)时? ( x) ? 0
? h( x) 在 (??, x0 ) 上单调减,在 ( x0 , ??) 上单调增

又? h(?4) ?

14 8 ? 0, h(?3) ? 3 ? 1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? 4e ? 5 ? 0 4 e e
………16 分

由零点的存在性定理可知: h( x) ? 0的根x1 ? (?4, ?3), x2 ? (0,1) 即 t ? ?4, 0 .

9、【答案】(1)当 a=0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞); 1 ? 1? ? 当 a<0 时,函数 f(x)的增区间是? ? a,0?,减区间是(0,+∞),?-∞,a?;当 a>0 时,函数 f(x) 1 1 ,+∞?,减区间是?0, ?;(2)当 2<m≤4 时,0<b≤ 2;当 m>4 时, 的增区间是(-∞,0)? a ? ? ? a? 1 0<b≤mm. 【命题立意】本题旨在考查利用导数求函数的单调区间,考查分类讨论思想,转化思想;难 度中等. 【解析】 (1) f′(x)=(ax2-x)ex=x(ax-1)ex.(1 分) 若 a=0,则 f′(x)=-xex,令 f′(x)>0,则 x<0;令 f′(x)<0,则 x>0; 1 1 若 a<0,由 f′(x)>0,得 <x<0;由 f′(x)<0,得 >x 或 0<x; a a 1 1 若 a>0,由 f′(x)<0,得 0<x< ;由 f′(x)>0,得 x> 或 x<0; a a 综上可得:

当 a=0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞);(3 分) 1 ? 1? ? 当 a<0 时,函数 f(x)的增区间是? ? a,0?,减区间是(0,+∞),?-∞,a?;(5 分) 1 1 ,+∞?,减区间是?0, ?(7 分) 当 a>0 时,函数 f(x)的增区间是(-∞,0)? a ? ? ? a? 1? (2) 因为 2a∈[3,m+1],由(1)x∈(0,+∞)上函数 f(x)的最小值是 f? ? a ?. 1 - 因为 f(x)≥b2a 1ea恒成立, 1 1? 2a-1 a 恒成立,(8 分) 所以 f? ≥b e ? a? 1 1 - 2a-1 所以 ea(2a-1)≥b ea 恒成立,即 2a-1≥b2a 1 恒成立.(9 分) lnt 由 2a∈[3,m+1],令 2a-1=t∈[2,m],则 t≥bt,所以 lnb≤ =g(t),(10 分) t 由 g′(t)= 1-lnt ,可知函数 g(t)在(0,e)上递增;(e,+∞)上递减,且 g(2)=g(4).(11 分) t2

ln2 ln2 ,从而 lnb≤ ,解得 0<b≤ 2;(13 分) 2 2 1 lnm lnm 当 m>4 时,g(t)min=g(m)= ,从而 lnb≤ ,解得 0<b≤mm,(15 分) m m 1 故:当 2<m≤4 时,0<b≤ 2;当 m>4 时,0<b≤mm(16 分) 当 2<m≤4 时,g(t)min=g(2)= 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:导数及其应用

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