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北京市五中2012届高三数学上学期期中考试试题 理


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北京市五中 2012 届高三数学上学期期中考试试题 理 班级 姓名 学号 成绩

一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.设全集 I ? R, 若集合 M ? {x x ? 2}, N ? {x x 2 ? x ? 2 ? 0}. 则下列结论正确的是 ( )
B. M ? N ? R C.

N ? M
?

A. M ? N

D. C R N ? C R M
?

2.已知非零实数 a 、 b 满足 a ? b, 则下列不等式中成立的是(
A.

)
D. a 2 ? b 2

a b ? 2 2 b a

B.

1 1 ? a b

C. a 2 b ? ab2

3.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? 6, S3 ? 21则公比 q 等于(
1 2 y 4.若点 P ( x, y ) 是 300 ? 角终边上异于原点的一点,则 的值为( x
A. 2 B. C. 2 或
A.

)
D. ? 2 或 ?

1 2

1 2

)
D. ? 3

3 3

B. ?

3 3

C. 3

5.已知点 A (?1,0 ), B (1,0 ) , C 为平面内一动点,且满足 AC ? 2 BC , 那么点 C 的轨迹 方程为( )
B. x 2 ? y 2 ? 6 x ? 1 ? 0

A. x 2 ? y 2 ? 6 x ? 1 ? 0

C. x 2 ? y 2 ?

10 x ?1 ? 0 3

D. x 2 ? y 2 ?

10 x ?1 ? 0 3

6.对函数 f ( x) ? x ? sin x, 现有下列命题: ①函数 f ( x) 是偶函数; ②函数 f ( x) 的最小正周期是 2? ;

③点 (? ,0) 是函数 f ( x) 的图像的一个对称中心; ④函数 f ( x) 在区间 [ 0, 其中是真命题的是(
A. ①③

?
2

] 上单调递增,在区间 [ ?

?
2

,0 ] 上单调递减.

)
B. ①④
-1-

C. ②③

D. ②④

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7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 的项为(
A.

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15

)
B.

S6 a6

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

8.若关于 a , b 的代数式 f (a, b) 满足:① f (a, a) ? a; ② f (ka, kb) ? kf (a, b); ③ f (a1 ? a2 , b1 ? b2 ) ? f (a1 , b1 ) ? f (a2 , b2 ); ④ f (a, b) ? f (b, 则 f ( x, y) ? (
A.

a?b ). 2

)
B.

x ? 2y 3

2x ? y 3

C.

x ? 2y 3

D.

2x ? y 3

二.填空题(每题 5 分,共 30 分)
3 ? sin 2? 9.已知 sin ? ? , 且 ? ? ( , ? ), 那么 的值等于 ________ . 5 2 cos 2 ?

10.已知 a ? 2, b ? 3, a 、 b 的夹角为 60?, 则 2a ? b ? _____. 11.函数 f ( x) ? 2 sin(

?x
2

?

?
5

), 对任意的 x ? R, 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则

. x1 ? x2 的最小值为 ________

12.已知 AC、BD 为⊙ O : x 2 ? y 2 ? 9 的两条相互垂直的弦,垂足为 M ( 2, 3 ), 则四 边形 ABCD 的面积的最大值为 13.已知函数 y ? 2 ( a ?1) x __________ ___.
2

.

? bx ?1? a

? 1 (a ? 1) 的定义域为 R, 则 b ? 3a 的取值范围是

14.在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P ( x1 , y1 ),

Q( x2 , y 2 ) 之间的“折线距离”.则坐标原点 O 与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折
线距离” 的最小值为 _______; 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一点与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的
. “折线距离”的最小值为 ________

三.解答题(本题满分 80 分) 15.(本题满分 13 分)
-2-

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在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, m ? ( a,2b ), n ? ( sin A,1), 且 m // n . ⑴求 B 的值; ⑵求 cos A ? sin C 的取值范围. 16.(本题满分 13 分) 已知:以点 C ( m,
2 ) (m ? R, m ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、 A, 与 y 轴交于点 O 、 m

B, 其中 O 为原点.

(1)求证: ?OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M 、 N , 若 OM ? ON , 求⊙ C 的方程. 17. (本题满分 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD ? 底面 ABCD ,
E 、 F 分别为棱 BC 、 AD 的中点.

(1)求证: DE // 平面 PFB; (2)已知二面角 P ? BF ? C 的余弦值为 求四棱锥 P ? ABCD 的体积. A
6 , 6

P

D F B E

C

18. (本题满分 13 分)
4 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 , 5

第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p, q ( p ? q), 且不同课程是否取得优 秀成绩相互独立,记 ? 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

?

0

1

2

3

-3-

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p

6 125

a

b

24 125

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p , q 的值; (3)求数学期望 E? .

19.(本题满分 14 分)
1 1 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

(1) 设 函 数 f ( x) 的 图 象 与 x 轴 交 点 为 A, 曲 线 y ? f ( x) 在 A 点 处 的 切 线 方 程 是
y ? 3x ? 3 ,求 a , b 的值;

(2)若函数 g ( x) ? e? ax ? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

20.(本题满分 14 分) 设等差数列 {an } 的公差 d ? 0, 且 an ? 0 (n ? N ? ), 记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和. (1)若 a2 、 a3 、 a5 成等比数列,且 a5 、 a6 的等差中项为 36, 求数列 {an } 的通项公式; (2)若 m 、 n 、 p ? N ? , 且 m ? n ? 2 p, 证明:

1 1 2 ? ? ; Sm Sn S p

(3)若 a 503 ?

1 1 1 1 , 证明: ? ??? ? 2008 . 1005 S1 S 2 S 2007

-4-

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答案
一.选择题 1. D 2. A 3. C 4. D 5. B 6. B 7. C 8. A 二.填空题 9. ?
3 5 10. 13 11. 2 12. 11 13. (??,?3 ) 14. 5 (第一空 2 分,第二空 3 分) 2 2

三.解答题 15.解:

16.解:

-5-

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(1)由已知可设⊙ C 的方程为: ( x ? m) 2 ? ( y ? 分别令 y ? 0, x ? 0, 易知 A(2m,0), B(0,
? S ?AOB ?
2 2 4 ) ? m 2 ? 2 , ?? 2 分 m m 4 ), ?? 4 分 m

1 1 4 OA ? OB ? 2m ? ? 4, 故 ?OAB 的面积为定值 4?? 6 分. 2 2 m

(2)? OM ? ON , C 为圆心,? CO ? MN ??8 分

? kCO ? k MN ? ?1, 而直线 MN 的方程为 y ? ?2 x ? 4,

? kCO

2 2 1 ? m ? 2 ? ,? m ? ?2??10 分 m m 2

当 m ? ?2 时, ⊙ C 与直线 MN 相离,不合题意舍去??11 分 所以⊙ C 的方程为 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5.??13 分 17.解:

(2)以 D 为原点,直线 DA, DC, DP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.设
PD ? a, 可得如下点的坐标: P(0,0, a), F (1,0,0), B(2,2,0).

则有 PF ? (1,0,?a), FB ? (1,2,0).??7 分 因为 PD ? 底面 ABCD, 所以平面 ABCD 的一个法向量为 m ? (0,0,1).?8 分

? ?PF ? n ? 0 ? x ? az ? 0 设平面 PFB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z), 则可得 ? 即? ? ?x ? 2 y ? 0 FB ? n ? 0 ? 1 1 1 1 令 x ? 1, 得 z ? , y ? ? , 所以 n ? (1,? , ). ??10 分 a 2 2 a

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由已知,二面角 P ? BF ? C 的余弦值为
6 , 所以得 cos ? m, n ?? 6
1 a 5 1 ? 4 a2 ? 6 , 6

? a ? 2??12 分

1 8 ?VP ? ABCD ? ? 2 ? 4 ? .??13 分 3 3

18.解: 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” , i =1,2,3,由题意知
P ( A1 ) ? 4 , P( A2 ) ? p , P( A3 ) ? q ?? 2 分 5

(1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以该 生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是
6 119 1? P ( ? ? 0 )? 1? ? , ?? 4 分 125 125

答: 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 (2)由题意知
1 6 P(? ? 0) ? P( A1 A 2A ) (1 ? p)(1 ? q) ? 3? 5 125 4 24 P(? ? 3 )? P (A ? pq ? 1 A 2 A 3 ) 5 125 6 整理得 pq ? , p ? q ?1 125 3 2 由 p ? q ,可得 p ? , q ? . ??8 分 5 5

119 . 125

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19.解:
(1)∵ f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) ,∴ f '( x) ? x2 ? ax ? 1 . 3 2

∵ f ( x ) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3x ? 3 ,∴ ?

? f '(1) ? 3 , ? f (1) ? 0

即 a ? 1,b ? ?
(2) g ( x) ?

11 . ??5 分 6

f '( x) x 2 ? ax ? 1 ? ( x ? R) . e ax e ax

g '( x) ?

(2 x ? a)eax ? a( x 2 ? ax ? 1)eax ? ? x[ax ? (a2 ? 2)]e?ax . ??7 分 ax 2 (e )

①当 a ? 0 时, g '( x) ? 2 x ,

g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) .

②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 ?a a

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(ⅰ)当

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

g ( x) 的单调递增区间为 (0,

2 ? a2 2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) , ( , ??) ; a a

2 (ⅱ)当 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x 2e?2 x ? 0 , a

故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递减; (ⅲ)当
2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, a

g ( x) 在 (

2 ? a2 2 ? a2 ) 上单调递 , 0) 上单调递增,在 (0, ??) , (??, a a

综上所述,当

a ? 0 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) ;

当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0,

2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) , a

当 a ? 2 时, g ( x) 的单调递减区间为 (??, ??) ; 当 a ? 2 时 , g ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (
2 ? a2 (??, ) .……14 分 a 2 ? a2 , 0) , 单 调 递 减 区 间 为 (0, ??) , a

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20.解: (1)由已知得 a3 ? a2 ? a5 , 即 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ),
2

化简得: a1 ? d ? 0, ? d ? 0, ? a1 ? 0. 而 a5 ? a6 ? 72, 即 2a1 ? 9d ? 72,? d ? 8. 故 an ? 8n ? 8.??4 分

(3) ?

2007

1 1 2007 1 1 1 2007 2 2007 ? ?( ? )? ? ? . 2 n?1 S n S 2008 ?n 2 n?1 S1004 S1004 n?a S n
1004 ? 1003 1004 1 1005 d ? 1004 (a1 ? 502 d ) ? 1004 a503 ? ,? ? . 2 1005 S1004 1004

而 S1004 ? 1004 a1 ?

??

2007

1 2007 1005? 2007 ? ? ? 2008 .??14 分 S1004 1004 n ?1 S n

- 10 -


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