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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-1练习:3.3 第2课时 利用导数研究函数的极值]

时间:2015-03-25


第三章

3.3

第 2 课时

一、选择题 1.下列结论中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么, f(x0)是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么, f(x0)是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么, f(x0)是极大值 [答案] B [解析] 导数为零的点不一定是极值点,“左正右负”有极大值,“左负右正”有极小 值.故 A,C,D 项错. 2.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 [答案] D [解析] 由 y=1+3x-x3,得 y′=-3x2+3. 令 y′=0,即-3x2+3=0,∴x=± 1. ∴当 x=1 时,有 ymax=1+3-1=3; 当 x=-1 时,有 ymin=1-3+1=-1. 3.函数 y=x3+1 的极大值是( A.1 C.2 [答案] D [解析] ∵y′=3x2≥0 在 R 上恒成立,∴函数 y=x3+1 在 R 上是单调增函数,∴函数 y=x3+1 无极值. 4.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 C.极大值为 0,极小值为- 4 27 ) ) B.0 D.不存在 ) B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 )

4 D.极大值为- ,极小值为 0 27 [答案] A

[解析] 由题意,得 f(1)=0,∴p+q=1 f′(1)=3-2p-q=0,∴2p+q=3 由①②得 p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x, f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), 1? 4 1 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1,f? ?3?=27,f(1)=0. 3 5.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在 x=0 时取得极小值,但 f′(0)不存在. 6.函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值也有极小值 [答案] D [解析] ∵y′=-3x2-2x=-x(3x+2), 2 2 当 x>0 或 x<- 时,y′<0,当- <x<0 时 y′>0, 3 3 2 ∴当 x=- 时取得极小值,当 x=0 时取得极大值. 3 二、填空题 7.函数 f(x)=x3-3x2+7 的极大值是________. [答案] 7 ) )

① ②

[解析] f′(x)=3x2-6x,由 f′(x)=0 得,x=0 或 x=2,在 x=0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, ∴f(0)=7 为函数的极大值. 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数 y=f′(x)的图象经过点(1,0)、(2,0),如下图 所示,则下列说法中不正确的是________.

3 ①当 x= 时函数取得极小值; 2 ②f(x)有两个极值点; ③当 x=2 时函数取得极小值; ④当 x=1 时函数取得极大值. [答案] ① [解析] 从图象可以看出,当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;当 x ∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)有两个极值点 1 和 2,且当 x=2 时函数取得极小值,当 x=1 时函数取得极大值,只有①说法不正确. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值,并求 f(x)在[-2,2] 上的最大值. [解析] f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 由 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2. 当 x 变化时,f′(x)、 f(x)的变化状态如下表: x f′(x) f(x) -40+a -2 (-2,0) + 0 0 a (0,2) - 2 0 -8+a

由上表可知,当 x=-2 时, f(x)min=-40+a=-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)取得最大值,f(x)max=3.

一、选择题 1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( )

A.1 个 C.3 个 [答案] A

B.2 个 D.4 个

[解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减, 故函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 1 2.函数 f(x)=x+ 的极值情况是( x )

A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,取极小值为 2 [答案] D 1 [解析] f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=± 1, x 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调增,在(-1,0)和(0,1)上单调减, ∴当 x=-1 时,取得极大值-2, 当 x=1 时,取得极小值 2. 3.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值,最小值分别是( A.1,-1 C.3,-17 [答案] C [解析] f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令 f′(x)=0 得,x1=-1 或 x2=1(舍去), f(-3)=-17,f(0)=1,f(-1)=3, ∴f(x)在区间[-3,0]上的最大值为 3,最小值为-17. 4.函数 f(x)=x3-3x(|x|<1)( A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] D [解析] f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1.又 x∈(-1,1) ∴该方程无解, 即函数 f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值. ) B.1,-17 D.9,-19 )

故选 D. 二、填空题 5.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. [答案] 2 [解析] ∵f(x)=x3-3x2+1,∴f′(x)=3x2-6x, 令 f′(x)=0,x1=0,x2=2. x<0 时, f′(x)>0; 0<x<2 时, f′(x)<0; x>2 时, f′(x)>0. ∴x=2 时, f(x)取极小值. 6.已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax+b 在 x=2 处取得极值 9,则 a+2b=________. [答案] -24 [解析] f′(x)=3ax2+6x-6a, ∵f(x)在 x=2 处取得极值 9,
?f′?2?=0 ?12a+12-6a=0 ? ? ∴? ,即? . ? ? ?f?2?=9 ?8a+12-12a+b=9 ? ?a=-2 解得? .∴a+2b=-24. ?b=-11 ?

三、解答题 7.求函数 f(x)=x2e x 的极值.


[解析] 函数 f(x)的定义域为 R.f′(x)=x(2-x)e x.


令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, y′<0;当 x∈(0,2)时,y′>0, ∴函数在 x=0 处取极小值,f(0)=0; 在 x=2 处取极大值,f(2)=4e 2.


8.已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 1 时取得极值,且 f(1)=-1, (1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=± 1 是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx+c. 因为 x=± 1 是函数 f(x)的极值点, 所以 x=± 1 是方程 f′(x)=0, 即 3ax2+2bx+c=0 的两根, 由根与系数的关系,得

?-3a=0 ?c ?3a=-1
又 f(1)=-1, 所以 a+b+c=-1 由①,②,③解得

2b

① ②

③.

1 3 a= ,b=0,c=- . 2 2 1 3 (2)f(x)= x3- x, 2 2 3 3 3 所以 f′(x)= x2- = (x-1)(x+1). 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0. 所以函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, 在(-1,1)上是减函数. 所以当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1, 当 x=1 时,函数取得极小植 f(1)=-1. 9.已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求 f(x)的导数 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值. [解析] (1)由原式,得 f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f′(x)=3x2-2ax-4. 1 (2)由 f′(-1)=0,得 a= , 2 1 此时有 f(x)=(x2-4)· (x- ), 2 f′(x)=3x2-x-4. 4 由 f′(x)=0,得 x= ,或 x=-1. 3 4 50 9 又 f( )=- ,f(-1)= , 3 27 2 f(-2)=0,f(2)=0, 9 50 ∴f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- . 2 27


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