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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2课时)


1.5 函数y

? A sin(?x ? ? )

的图象

复习回顾

y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.

? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (?,0), ( ,-1),

(2?,0) .

y

1

. . . ? 3?/2 2? .
x

o ?/2 -1

.

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响 .

1.y=sin(x+ ?)与y=sinx的图象关系

? ? 例1、试研究 y ? sin(x ? ) 、y ? sin(x ? ) 3 6 与 y ? sinx 的图象关系

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

一、函数y=sin(x+? ) 图象
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看

作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当? >
0时 )或向右(当 ? <0时 )平行移动 ? 个单位而得到的。

练习:函数y = 3cos(x+ 的函数表达式为 _____

? ? 4)图像向左平移 3

个单位所得图象

5? 思考:函数y = sin2x图像向右平移 12 个

单位所得图像的函数表达式为______

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 .

1、y ? sin ?x与y ? sin x的图象关系

1.列表:

1x y ? sin y ? sin 2 x 例2.作函数 及 2 的图象。

x
2x

0 0 0

?

4 ? 2

? 2
?

3? 4
3? 2

?
2?
0

sin 2 x
2. 描点: 2 y
y=sin2x
1 O

1

0

?1

y=sinx
? 2
?

纵坐标不变 ,横坐标

缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2? 3?

y=sin2x

x

?1
?2

对于函数y ? sin 1 x 2
1. 列表:

x
1 x 2 sin 1 x 2

0 0 0

?
?
2


?


3? 2

4?
2π 0

1

0

-1

2. 描点:
y y=sinx 1

y=sinx

纵坐标不变, 横坐标 变为原来的 2 倍 2? 3? y=sin 1 x 2

y=

1 sin 2 x

O ?1

?

4?

的图象间的变化关系。
y
2

1 y ? sin x 与 y ? sinx 函数 y ? sin2 x 、 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

二、函数y=sin?x(?>0)图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看

作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

(三)探索A对y ? Asin(?x ? ? )的图象的影响 .

1、y ? A sin x与y ? sin x的图象关系

1 例3、作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
解: 列表
x
sinx 2sinx
1 2

3.y=Asinx与y=sinx图象的关系

描点作图
?
2

0
0 0 0

π
0 0 0

3? 2



y

2 1
? 2

1 2
1 2

-1 -2
? 1 2

0 0 0

3? 2
0



π

x

sinx

-1

-2

y ? sin x
y=Sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y ? 1 sin x 2
y=2Sinx

纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变

1 函数 y ? 2 sin x 、y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作

是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1
时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。

例4、如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin ( 2 x ? )的图象? 3

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=Sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=Sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3Sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

1 ? 例1:作函数y = 2sin( 3 x)的简图。 6

解: 列表
Z 0
? 2
?
2

π
7? 2

3? 2


x
Sin(Z)

2π 1 2

13? 2



0

0

y

0

0

-1 -2

0

0

物理中简谐运动的物理量

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念 : (1) A 振幅 2? (2)T ? 周期 ? 1 ? (3) f ? ? 频率 T 2? 相位 (4)?x ? ? (5)? 初相

例2、某简谐运动图象如图 .试根据图象回 答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少;
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示 完成了一次往复运动?如从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函 数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D E F 1.2

o

x/s

C

? 例3:已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)一个周期内的函数图象,如 下图所示,求函数的一个解析式。
y
3

O

? 3

5? 6

x

? 3

练习: 已知函数 y ? A cos(? x ? ? ) (A>0,ω>0, 0 ? ? ? ? )的最小值是 -5 ,图象上相

? 邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ,且图象经 4
5 过点 (0, ? ) ,求这个函数的解析式。 2

作业:已知函数 y ? Asin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 在一个周期内的图象如下,求其表达式。
2

? ?

Y

0 ?

?

6

?? 2
3

X

-2


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