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【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:8.2 空间几何体的表面积和体积


第 2 讲 空间几何体的表面积和体积

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考 纲 展 示
了解球、棱柱、 棱锥、台的表面 积和体积的计算 公式.

考 纲 解 读
柱、锥、台、球的表面积和体积的考查多以三视 图为载体, 难度不大.题型多以选择题和填空题为 主, 有时也会作为解答题的背景出现. 另外

在体积方面要求能够运用等价转化思想, 会 把组合体求体积问题转化为基本几何体的求体 积问题, 会等体积转化求解问题, 会把立体问题转 化为平面问题求解, 会运用“割补法”等求解.

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1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 S 侧=2πrh V=Sh=πr2h 圆柱 圆锥 S 侧=πrl V=3Sh=3πr2h = πr2 l2 -r2 V=3( 上+S 下+ S上 S下 ) S h
2 = π( 1 + r2 +r1r2) r2 h

1

1

1 3

1

圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球

S 侧=π( 1+r2) r l S 侧=Ch S 侧= Ch' S
1 2 1 C+C') h' 侧= ( 2

1 3

V=Sh
1 3 1 V=3( S 4

V= Sh


+S 下+ S上 S下 ) h

S 球面=4πR2

V=3πR3
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2.几何体的表面积 ( 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. 1) ( 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形; 2) 它们的表面积等于侧面积与底面面积之和. (1)求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分 别求各面面积, 再求和.对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用 公式. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是其侧面展开图的面积, 要熟 记公式. (3)有关旋转体的问题或球与多面体的切、接问题, 特别要注意 应用轴截面. (4)有关体积的问题, 要注意“等积变换”“分割求和”“拼补求差” 等解题思路.
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1.直角三角形两直角边 AB=3, AC=4, AB 为轴旋转所得的几何体的 以 体积为( ) A.12π B.16π C.9π D.24π 【答案】 B 【解析】 由题意知, 旋转所得到的几何体是底面半径为 4, 高为 3 的 圆锥, 因此其体积为 V= Sh= ×π×42×3=16π.
1 3 1 3

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2.正六棱柱的高为 6, 底面边长为 4, 则它的全面积为( A.48( 3+ 3) B.48( 3+2 3) C.24( 6 + 2) 【答案】 A D.144

)

【解析】 ∵ 正六棱柱的侧面面积为 6×6×4=144, 底面积为 2× 4 ×42×6=48 3, ∴ 全=48( S 3+ 3) .
3

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3.某四面体的三视图如图所示, 则该四面体四个面的面积中最大的 是( )

A.8 B.6 2 C.10 D.8 2 【答案】 C 【解析】 由三视图可知, 该几何体的四个面都是直角三角形, 其面积 分别为 6, 2, 10.故面积最大的是 10, 6 8, 应选 C.
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4.过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面 面积是球表面积的( ) A.
1 16

B.

3 16

C.

1 12

D.
3 2

1 8

【答案】 B 【解析】 由题意可得截面圆半径为 R( 为球的半径) 于是截面面 R , 积为 π
3 R 2
2

=

3 2 πR , 又球的表面积为 4

4πR2, 则

4π2

3 2 4π

= 16.

3

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5.(2012·广东茂名模拟) 体积为 52 的圆台, 一个底面积是另一个底 面积的 9 倍, 那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54π C.58 D.58π 【答案】 A 【解析】 设圆台上底面半径为 r, 则由题意可求得其下底面半径为 3r, 再设此圆台高为 h1, 52=3πh1( 2+9r2+3r·r) 则 r , 即 πr2h1=12. 令原圆锥的高为
3 解得 h= h1. 2 1 9 2 2 3 故 V 原圆锥=3π( ×h=3πr ×2h1=2×12=54. 3r) h, 由相似知识得3 1

=

?-?1 , ?

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T 题型一几何体的侧面展开

例 1 如图, 在直棱柱 ABC-A'B'C'中, 底面是边长为 3 的等 边三角形, AA'=4, 为 AA'的中点, 是 BC 上一点, M P 且由 P 沿棱柱侧面 经过棱 CC'到 M 的最短路线长为 29, 设这条最短路线与 CC'的交点 为 N, 求: ( 该三棱柱的侧面展开图的对角线长; 1) ( PC 与 NC 的长. 2)
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【解】 ( 该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩 1) 形, 故所求对角线长为 42 + 92 = 97. ( 将该三棱柱的侧面沿棱 BB'展开, 2) 如下图, PC=x, 设 则 2 MP2=MA2+( AC+x) .

∵ MP= 29, MA=2, AC=3, x=2, PC=2. ∴ 即 又 NC∥AM,


=

2 , 5 即 4 NC= . 5

=

. 2



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探究几何体表面上的最短距离, 常将几何体的表面或侧面展开, 化折(曲) 为直, 使空间图形问题化为平面图形问题.空间问题平面化 是解决立体几何问题的基本和常用的方法.

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1.一圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD, 则此圆柱侧 面上从点 A 到点 C 的最短距离是多少? 【解】 如图所示, 圆柱底面半径为2 cm, 母线长为 5 cm.
5

沿 AB 展开, C', 则 D'点分别是 BB', AA'的中点. 依题意 AD'=π×2 = 2 ( . cm) + 52 = 2 π2 + 4( . cm) 5 故该圆柱侧面上从点 A 到点 C 的最短距离为 π2 + 4 cm. 于是 AC'=
2
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5



5π 2 2

5

T 题型二几何体的表面积
例 2 如图, 斜三棱柱 ABC-A'B'C'中, 底面是边长为 a 的正 三角形, 侧棱长为 b, 侧棱 AA'与底面相邻两边 AB, 都成 45° 求此 AC 角, 斜三棱柱的表面积.

由题意可知 A'在平面 ABC 内的射影 D 在∠BAC 的角 平分线上, 从而可证得四边形 BCC'B'是矩形.

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【解】如图, A'作 A'D⊥平面 ABC 于点 D, 过 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, DF⊥AC 于点 F, 连接 A'E, AD. A'F, 由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°AA'=AA', , 于是 Rt△A'AE≌Rt△A'AF. 因此 A'E=A'F, 从而可得 DE=DF.故 AD 平分∠BAC, 又∵ AB=AC, BC⊥AD.故 BC⊥AA'. ∴ ∵ AA'∥BB', BC⊥BB'. ∴ 因此四边形 BCC'B'是矩形, 故斜三棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45° +ab=( 2+1) ab. 又∵ 斜三棱柱的底面积为 2× 4 a2= 2 a2, ∴ 斜三棱柱的表面积为( 2+1) ab+ 2 a2.
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3

3

3

此题添加辅助线的方法具有典型意义, 记住这种作法, 对解这一 类问题有较大的帮助.

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2.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm, 高是2 cm. ( 求该三棱台的斜高; 1) ( 求该三棱台的侧面积和表面积. 2)

3

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【解】 ( 设 O1, 分别为正三棱台 ABC-A1B1C1 的上、下底面 1) O 正三角形的中心, 如图所示, O1O=2, O1 作 O1D1⊥B1C1, 则 过 OD⊥BC, 则 D1D 为三棱台的斜高; 过点 D1 作 D1E⊥AD 于点 E, 则 因 故
3 D1E=O1O=2, 3 3 3 O1D1= ×3= , OD= ×6= 3, 6 2 6 3 3 DE=OD-O1D1= 3 ? 2 = 2 . 3 2 2 3

因此在 Rt△D1DE 中, D1D= 1 2 + E2 = +
3 2
2

= 3( . cm)
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( 设 c, 2) c'分别为上、下底的周长, h'为斜高,
1 27 3 ( 2) cm , 2 2 27 3 3 3 99 3 S 表=S 侧+S 上+S 下= 2 + 4 ×32+ 4 ×62= 4 ( 2) cm . 27 3 99 3 2 故三棱台的斜高为 3 cm, 侧面积为 2 cm , 表面积为 4

则 S 侧= ( c+c') h'= ( 3×3+3×6) 3 = ×

1 2

cm2.

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T 题型三几何体的体积
例 3 如图所示, 已知 E, 分别是棱长为 a 的正方体 F ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1A, 1 的中点, CC 求四棱锥 C1-B1EDF 的体积.

思路一: 先求出四棱锥 C1-B1EDF 的高及其底面积, 再 利用棱锥的体积公式求出其体积; 思路二: 先将四棱锥 C1-B1EDF 化为两个三棱锥 B1-C1EF 与 D-C1EF, 再求四棱锥 C1-B1EDF 的体积.
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【解】 方法一: 连接 A1C1, 1D1 交于点 O1, B 连接 B1D, 过点 O1 作 O1H⊥B1D 于点 H.

∵ EF∥A1C1, A1C1? 平面 B1EDF, 且 ∴ 1C1∥平面 B1EDF. A 故点 C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离.

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∵ 平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, ∴ 1H⊥平面 B1EDF, O1H 为棱锥的高. O 即 ∵ 1O1H∽△B1DD1, △B
1 1 ·D1 ∴ 1H= D O 1

=

6 a. 6

1 1 1 故1 -1 EDF = 3 四边形1 EDF ·O1H=3·2·EF·B1D·O1H 1 1 6 1 = · · 2a· 3a· a= a3. 3 2 6 6

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方法二: 连接 EF, 1D. B

设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1, 到平面 C1EF 的距离为 h2, D 则 h1+h2=B1D1= 2a.由题意得, 1 -1 EDF = 1 -1 EF + -1 EF =
1 1 △1 EF ·( 1+h2) 6a3. h = 3

方法三: 1 -1 EDF = 多面体1 1 E-1 1 FD ? -1 1 1 1 ?
1 6

-1 1 D = a3.
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在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之 比时, 常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之 比时, 若有一部分为不规则几何体, 则可用整个几何体的体积减去规 则几何体的体积求出其体积.

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3.(2012·山东潍坊模拟) 如图所示, 已知球 O 的面上有四点 A, C, DA⊥平面 ABC, B, D, AB⊥BC, DA=AB=BC= 2, 则球 O 的体积等 于 .

【答案】



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【解析】 如图, DA, BC 为棱长构造正方体, 以 AB, 设正方体的外 接球球 O 的半径为 R, 则正方体的体对角线长即为球 O 的直径, 因此 |CD|= ( 2)2 + ( 2)2 + ( 2)2 =2R, R= 2 . 即
6

故球 O 的体积

4π3 V= 3

= 6π.

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T 题型四组合体的表面积与体积问题

例 4 一正三棱锥的高为 1, 底面边长为 2 6, 内有一个球与 它的四个面都相切( 如图) .求: ( 这个正三棱锥的表面积; 1) ( 这个正三棱锥内切球的表面积与体积. 2) ( 利用特征三角形求出斜高即可; 2) 1) ( 抓住球心到正三 棱锥四个面的距离相等求出球的半径即可.
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【解】 ( 由题意可知底面正三角形中心到一边的距离为 1)
1 3 × 2 ×2 3

6 = 2,

则正棱锥侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3. 于是 S 侧=3×2×2 6 × 3=9 2. 故 S 表=S 侧+S 底=9 =9 2+6 3.
1 1 3 2 + × ×( 2 2 2

2 6)

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( 设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O, 2) 连接 OP, OB, OA, OC, ∵ 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r, O ∴ P-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC=3S 侧·r+3S△ABC·r V = S 表·r=( 2+2 3) 3 r. 又 VP-ABC=3 × 2 × 2 ×( 6) ×1=2 3, 2 2 ∴3 2+2 3) ( r=2 3, 即
2 3 r= 3 2+2 3 4 3 1 1 3 1 3 1 1

=

2 3(3 2-2 3) 18-12 8 3

= 6-2.

2 故 S 内切球=4π( 6-2) =( 40-16 6) π, 3 V 内切球= π( 6-2) = ( 6-22) 9 π.

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解决球与其他几何体的切、接问题, 关键在于仔细观察、分析, 弄清相关元素的关系和数量关系, 选准最佳角度作出截面(要使这个 截面尽可能多地包含球、 几何体的各种元素, 以及体现这些元素之间 的关系), 达到空间问题平面化的目的.

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4.有一个倒圆锥形容器, 它的轴截面是一个正三角形, 在容器内 放一个半径为 r 的铁球, 并注入水, 使水面与球正好相切, 然后将球取 出, 求这时容器中水的深度. 【解】 如图所示, 作出轴截面, 因轴截面是 正三角形, 根据切线性质知当球在容器内时, 水 的深度为 3r, 水面半径 BC 的长为 3r, 则容器 内水的体积为 V=V 圆锥-V 球
2 =3( 3r) ·3r- 3 r3= 3 r3,

π





将球取出后, 设容器中水的深度为 h, 则水
3 π 面圆的半径为 h, 从而容器内水的体积为 V'= 3 3 3 h 3
2

h= h3,

π 9

由 V=V', h= 15r. 得
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3

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1.一个四面体的所有棱长都为 2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的 表面积为( A.3π 【答案】 A ) B.4π C.3 3π D.6π

3 【解析】 正四面体外接球半径等于正四面体高的 , 正四面体内切球 4 1 半径等于正四面体高的 .设该四面体为 SABC, 球心为 O, 作出简图如 4

右图, 则 AD= , AO= AD= , SO= 2 -A2 = 3 3. 设球半径为 R, R = 则 解之可得 R= . 故所求球的表面积为 3π.
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2

6 2

2 3

6 3

2

3 2

2 3

3-R

2

+ 3.

2

2.已知一圆锥的母线长为 4, 若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范 围是( 4 3]则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于( 0, , A.2
π

)

B.π 或 3π

C. 3π

D.π

【答案】 B 【解析】 假设圆锥的轴截面为锐角三角形, 且在过顶点截面的三角 形中面积最大, 4 3 = 则 线长) 解得 r=2 或 2 3. , 故所求侧面展开图扇形圆心角 θ= ·2π= ×2π=π 或 θ= ·2π= 4 ·2π= 3π.
2 3 2 4 1 2

2 - 2 ·2r( 其中 r 为圆锥底面半径, 为母 l

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3.正方体内切球和外接球半径的比为( A.1∶2 B.1∶3

)

C. 2 ∶ 3 D.1∶ 2

【答案】 B 【解析】 过正方体的中截面作与内切球的截面图如图甲, 设正方体 棱长为 a, 则有 2r=a( 为内切球半径) r .①

过正方体的对角面作与外接球的截面如图乙, 则有 2R= 3a( R 为外接球半径) ② , ①÷ 得 r∶ ②, R=1∶3.
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4.将圆心角为 3 , 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积 等于 . 【答案】 4π 【解析】 设扇形的半径为 r, 弧长为 l, 则
1 1 2π rl= · ·r2=3π, 2 2 3



从而可得 r=3, l=2π. 因此圆锥的母线长为 3, 底面半径为 1. 故圆锥的表面积为 S=π·1·3+π·12=4π.

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5.三棱柱 ABC-A1B1C1 中, E, 分别为 AB, 的中点, 若 F AC 平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1, 2 的两部分, V 那么 V1∶2= V . 【答案】 7∶或 5∶ 5 7 【解析】 如图, 设该三棱柱高为 h, 底面面积为 S, 由题意知 EF2BC, 于是
1 S△AEF=4. 1

因此棱台-1 1 1 =3 h 4 + 4 · + S = 12Sh, 则剩余部分的体积为 Sh- Sh= Sh. 因 V1, 2 究竟为哪一部分未定, V 故所求 比值应为 7∶或 5∶ 5 7.
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7

7 12

5 12


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