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河北省邢台市育才中学2018届高三上学期第三次月考数学(理)试题+Word版含解析

时间:2018-02-14


邢台市 2017-2018 学年高三(上)第三次月考 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 A. B. C. 的虚部为 ,则 D. ( )

【答案】D 【解析】 解得 本题选择 D 选项. 2. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】 本题选择 C 选项. 3. 已知 A. B. C. ,且 D. ,则向量与 的夹角为( ) B. C. ,则( ) D.

【答案】B 【解析】由向量垂直的充要条件有:



则:

, ,

结合向量的夹角公式有: 据此可得:向量与 的夹角为 . 本题选择 B 选项.
4. 执行如图所示的程序框图,若输入的 ,则输出的

( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】依据程序框图运行程序如下: 第一次, 第二次, 第三次, 第四次, 此时程序结束运算,输出值为 4. 本题选择 A 选项.; ; ; ;

点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构. (2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题. (3)按照题目的要求完成解答并验证.
5. 设偶函数 的定义域为 ,且 ,当 时, 的图象如图所示,则不等式

的解集是( )

A.
【答案】B 【解析】由 所以当 得

B.

C.

D.

,因为 时, .

为偶函数,

则不等式

的解集是

本题选择 B 选项. 6. 设 A. 满足约束条件 B. C. D. 则 的最大值为( )

【答案】C 【解析】作出约束条件 A(3,0),B(1,2),C(?1,0) z=|x?3y|,|x?3y|的几何意义是可行域内的点到 x?3y=0 距离的 倍,由图形可知 B 到 x?3y=0 的距离最大,∴当 x=1,y=2 时,z 取最大值为 5. 本题选择 C 选项. 表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中

7. 如图,长方体 和正方形

的底面是边长为 的正方形,高为 的中心,则直线 与

分别是四边形

的夹角的余弦值是( )

A. 【答案】B 【解析】以

B.

C.

D.



轴建立空间直角坐标系,则:

本题选择 B 选项.

点睛:异面直线所成的角与其方向向量的夹角: 当异面直线的方向向量的夹角为 锐角或直角时, 就是该异面直线的夹角;否则向量夹角的补角是异面直线所成的 角.
8. 在 中, ,则 边上的高等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】设角 所对的边分别为 , 边上的高为 ,



,由

本题选择 D 选项. 9. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】该几何体的直观图如图所示,据此可得该几何体的体积为:

本题选择 B 选项.

点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观 (2) 图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系, 利用相应体积公式求解; 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等 方法进行求解.
10. 若函数 时, ,则 的图象关于直线 ( ) 对称,且当

A.
【答案】A 【解析】 又

B.

C.

D.



关于点 从而

对称,

本题选择 A 选项. 11. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作 轴的垂线与

双曲线在第一象限的交点为 ,已知

,点 是双曲线 右支上的动点,且

恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 【答案】A B. C. D.

【解析】易知

,由





由于 又 又 本题选择 A 选项. 12. 已知 A. B.

恒成立,所以



,若对任意的 C. D.

,不等式

恒成立,则的最大值为( )

【答案】D 【解析】令 原命题等价于 在 ,易得 与 互为反函数 与 关于直线 对称

上恒成立.记

,记 大值为,故选 A. 【点睛】 本题的关键步骤有: 观察发现 与 互为反函数; 在 上恒成立; ;

,同理可得

,综上的最

将原命题等价转化为 利用导数工具求

的最小值,从而求得

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知向量 【答案】6 【解析】 14. 已知 ,则 __________. 的夹角为 ,且 ,则 __________.

【答案】 【解析】 又 所以 15. 设等差数列 【答案】2 【解析】由题意得 则: , 上一点, 为坐标原点, 若 是以点 为圆心, , 的公差为 ,且 ,则 __________. ,故 且 ,

16. 已知点 是抛物线

的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点,且 【答案】 【解析】 又 ,所以可设

为等边三角形,则 的值是__________.

点 A 在线段 OM 的中垂线上, ,

解得:

点睛:求抛物线方程时, 首先弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物 线的标准方程. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知等比数列 (1)求数列 (2)求数列 【答案】 (1) , 的前 项和为 的通项公式; 的前 项和 . ;(2) 为等差数列, .

【解析】试题分析:

(1)分类讨论



两种情况可得数列

的通项公式为

,据此计算可得

; (2)结合数列的通项公式错位相减可得数列 . 试题解析: (1)当 当 所以 又 (2)因为 所以 时, 时, , ,即 , , 的前 项和

是以 为首项, 为公比的等比数列,即 ,所以 , ,① ,② .

由①-②得 所以
18. 在锐角 (1)求角 ; (2)若 ,求 的面积. 中,

, .
.

【答案】 (1) ;(2) 【解析】试题分析:

(1)由题意逆用二倍角公式和两角和差正余弦公式可得 (2)由题意结合余弦定理可得 试题解析:
(1)因为 所以 则 , ,即 , ,

,则 .

.

,则

由 (2)在 化简得 所以

为锐角三角形得 中, ,解得 .

. ,即 (负根舍去) , ,

19. 已知函数

的部分图象如图所示.

(1)求函数 (2)将

的解析式; 的图象.若

的图象纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 倍,得到 ,求 的值. (2)

【答案】(1) 【解析】试题分析:

(1)由题意结合所给三角函数的图象可得三角函数的解析式为



试题解析:
(1)由图可知, 将点 又 (2) 又 . . 代入 得 . , , .

20. 如图, 在四棱锥 在棱

中, 四边形 上运动.

是菱形,

, 平面

平面

(1)当 在何处时, (2)当 平面

平面

; 与平面 所成角的正弦值.

时,求直线

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】试题分析:

(1)当 为 平面

中点时,由几何关系可得 .

,利用线面平行的判断定理即可证得

(2)由题意建立空间直角坐标系,结合直线的方向向量和平面的法向量可求得直 线 与平面 所成角的正弦值为

试题解析:
(1) 当 为 又 (2) 平面 四边形 中点时, 平面 , 设 平面 . , , 在 中, 为中位线, 即 ,

平面 是菱形,

均为等边三角形. 取 的中点 平面 平面 平面 .以 为坐标原点,射线

分别为

轴的正方向建立如图所示的空间坐标系,则

. 设平面 的法向量为 ,则由 ,

.

得 记直线 与平面

,取 所成角为,则

,得

.

.

21. 已知

分别是焦距为 的椭圆

的左、右顶点, 为椭圆 上非顶点

的点,直

线的斜率分别为

,且

.

(1)求椭圆 的方程; (2)直线(与 轴不重合)过点 且与椭圆 交于 两点,直线 与 交于点 ,试

求 点的轨迹是否是垂直 轴的直线,若是,则求出 点的轨迹方程,若不是,请说明理由. 【答案】 (1) 【解析】试题分析: ;(2)

(1)由题意可求得

,则椭圆 的方程为

.

(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点 的轨迹方程为 . 试题解析:
(1)设 为椭圆 上非顶点的点, ,又

,即



,故椭圆 的方程为 (2)当过点 直线 直线斜率不存在时,不妨设 ,交点为 .若

. ,直线 的方程是 , .

的方程是 上,

,由对称性可知交点为

点 在直线

当直线斜率存在时,设的方程为 由 得 ,





,则

.

的方程是

的方程是











.

综上所述,点 的轨迹方程为

.

点睛:(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 x(或 y) 建立一元二次方程, 然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量 的等量关系. (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为 0 或不存在 等特殊情形.
22. 已知函数 (1)求曲线 (2)若存在 【答案】 (1) ,满足 ;(2) 求得 在 上有解,令 , 切线方 的图象在点 在 处的切线方程为 .

处的切线方程; ,求的取值范围.

【解析】试题分析: (1)由 程为 ; (2)将问题转化为

,再由

求得





上递

减 试题解析: (1)由

.

,得

.

所以 即 (2)

, . ,即

,则

,故所求切线方程为

, 在 , 上有解.

所以问题转化为 令 ,

则 因为 所以 从而 所以 因此, 要使 在 ,即函数 . 上有解,必须有 ,即 , , , 在 , , 上递减,

所以的取值范围为 【点睛】 在解答题中主要考查不等式的证明与不等式的恒成立问题, 常规的解决方法是首先 等价转化不等式,然后构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和最值来解决,当然要注 意分类讨论思想的应用.


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