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东莞市2014届高三文科数学小综合专题——解析几何


2014 届高三文科数学小综合专题练习-------解析几何
东莞实验中学谢朝军老师提供 一、选择题 1.如果 P (-4,0) , Q (0,8)和 R ( x ,-4)三点共线,那么 x = A.-2 B.2 C.6 D.-6

2. 若直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,则直线 l

的 倾斜角的取值范围是 A. [ , ) 6 3 ? ? C. ( , ) 3 2

? ?

? ? B. ( , ) 6 2
D. [ , ] 6 2

? ?

3.已知点 P (3,-1)和 B (-1,2)在直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 的两侧,则实数 a 的 取值范围是 A. 1 ? a ? 3 B. a ? 1 或 a ? 3 C. a ? 1 D. a ? 3

4.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 ( a ? 0 , b ? 0 )过圆 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心, 则
1 4 ? 的最小值为 a b

A.8

B.12

C.16

D.20

5.椭圆 5 x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于 A.-1 B.1 C. 5 D. - 5

6.已知点 F1 (? 2 ,0)、F2 ( 2 ,0) ,动点 P 满足 | PF2 | ? | PF1 |? 2 ,当点 P 的纵坐标 是
1 时,点 P 到原点的距离是 2
6 2

A.

B.

3 2

C. 3

D. 2

7.在抛物线 y 2 ? 2 px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 A.
1 2

B.1

C.2

D.4

8. 已知 F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1 F2 为边作 a2 b2
1

正三角形 MF1F2 .若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.
3 ?1 2

D. 3 ? 1

9. 已知双曲线

x2 y2 a2 与抛 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 , 若直线 x ? ? 2 a b a2 ? b2

物线 y 2 ? 4 x 的准线重合,则该双曲线的方程是
2 2 A. x ? y ? 1

6

3

B. y ? x ? 1
6 3

2

2

C. x ? y ? 1
3 6

2

2

D. y ? x ? 1
3 6

2

2

10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线 y 2 ? 2 px ( x ? 0) 的一部分,光源位于抛物 线的焦点处,已知灯口圆的直径是 60cm ,灯深 40cm ,则抛物线的焦点位置 是 A. (
45 ,0) 2 45 ,0) 4 45 ,0) 8 45 ,0) 16

B. (

C. (

D. (

二、填空题 11.若椭圆的焦点把其长轴三等分,则椭圆的离心率 e ? 12.已知椭圆的焦点是 F1 (? 3,0)、F2 ( 3,0) ,离心率 e ?
PF1 ? PF2 ? 2 ,则 ?PF1 F2 的面积为 3

.
3 ,若 P 在椭圆上,且 2

.

13.双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,它的一个焦点是 10 ,0 ,则双曲线的方程 是 .

?

?

14.抛物线的顶点是双曲线 16 x 2 ? 9 y 2 ? 144 的中心,焦点是双曲线的左顶点,则 该抛物线的方程是 三、解答题 15. 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由. .

2

16. 如图,点 A 、 B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右 36 20

焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上一点, M 到直 线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点
A O

y
P M F B

x

M 的距离 d 的最小值.

17. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x , 顶点为 O , 动直线 l : y ? k ( x ? 1) 与抛物线 C 交于 A 、
OA ? OB 是一个与 k 无关的常数; (1) 求证: (2) 求满足 OM ? OA ? OB B 两点.

的点 M 的轨迹方程.

18. 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一定点 P ( x 0 , y 0 ) ( y0 ? 0 ) ,作两条直线分别 交抛物线于 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ). (1)求该抛物线上纵坐标为
p 的点到其焦点 F 的距离; 2
y1 ? y 2 的值, 并证明直线 AB y0

(2) 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时, 求 的斜率是非零常数.

3

2014 届高三文科数学小综合专题练习-------解析几何 参考答案
一、选择题 DBBCB 二、填空题 11. ACDCC

1 3

12.

3 3

13. x ?
2

y2 ?1 9

14. y ? ?12 x
2

三、解答题 15.解:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3 .
2 2 2

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥ l,∴kCM?kl= -1 ∴kCM=

b?2 ? ?1,即 a+b+1=0,得 b= -a-1 a ?1
CM=



直线 l 的方程为 y-b=x-a,即 x-y+b-a=0

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM ,

MB ? CB ? CM

2

2

2

?9?

(b ? a ? 3) 2 , OM 2


2

? a2 ? b2 ,

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2 ? a2 ? b2 2

把①代入②得 当a ?

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ?

3 或a ? ?1 . 2

3 5 ,时b ? ? 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0, 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0.

16.解: (1)由已知可得点 A(?6,0) 、 F (4,0) 设 P ( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 6, y ) , FP ? ( x ? 4, y ) ∵ PA ? PF ,

4

∴ AP ? FP ? 0 ,即 ( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0 .
2

? x2 y2 ? ? ?1 由方程组 ? , 。 。 。 。 。 。4 分 36 20 2 ? ?( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0

3 或 x ? ?6 。 。 。 。 。 。 。5 分 2 3 5 ∵ ? 6 ? x ? 6 , y ? 0 ,∴ x ? , y ? 3 , 2 2 3 5 ∴ 点 P 的坐标为 ( , 3) . 2 2
消去 y 得 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解得 x ?
2

(2)易知,直线 AP 的方程为: x ? 3 y ? 6 ? 0 . 设 M 点的坐标是 (m,0) ,点 M 到直线 AP 的距离为 由已知有:

|m?6| ?| m ? 6 | . 2

|m?6| , 2

又 ? 6 ? m ? 6 ,∴ m ? 2 . 设椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离为 d ,则

4 9 5 d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? (20 ? x 2 ) = ( x ? ) 2 ? 15 . 9 2 9 9 由于 ? 6 ? x ? 6 ,∴ 当 x ? 时, d min ? 15 . 2

2 y12 y2 , y1 ), B( , y 2 ) , l 过定点 E(-1,0) 17.解: (1)设 A( ,则由 E、A、B 三点共线,知 4 4

EA // EB .
所以, (

y12 y2 y y ? 1) y 2 ? ( 2 ? 1) y1 , 即 1 ( y1 ? y 2 ) ? y1 ? y 2 . 4 4 4 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 ? 5 . 16

因为 y1 ? y 2 ,所以 y1 y 2 ? 4 ,∴ OA ? OB ? (2)设 M ( x, y ) ,则由 OM ? OA ? OB , ∴ ( x, y ) ? (
2 y12 ? y 2 2 , y12 ? y 2 ). 4

5

∴x ?

2 y12 ? y 2 ( y ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? ? 2. 4 4 4

∵ y ? y1 ? y 2 , ∴ x ?

y2 ? 2, 4

即 y ? 4x ? 8 又 x ?
2

2 y12 ? y 2 2y y ? 1 2 ? 2, 4 4
2

所以,点 M 的轨迹方程为 y ? 4 x ? 8 ( x ? 2) .

18.解: (1)当 y ?

p p 时, x ? . 2 8
2

p . 2 p p 5p 由抛物线定义得,所求距离为 ? ( ? ) ? . 8 2 8
又抛物线 y ? 2 px 的准线方程为 x ? ? (2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB . 由 y1 ? 2 px1 , y 0 ? 2 px 0 相减得 ( y1 ? y 0 )( y1 ? y 0 ) ? 2 p( x1 ? x 0 ) , 故 k PA ?
2 2

y1 ? y0 2p ? ( x1 ? x0 ) . x1 ? x0 y1 ? y0

同理可得 k PB ?

2p ( x2 ? x0 ) . y2 ? y0 2p 2p ?? . y1 ? y 0 y2 ? y0

由 PA,PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB ,即

所以 y1 ? y 2 ? ?2 y 0 ,故

y1 ? y 2 ? ?2 . y0
2 2

设直线 AB 的斜率为 k AB ,由 y 2 ? 2 px 2 , y1 ? 2 px1 ,相减得

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 2 p( x 2 ? x1 ) ,
所以 k AB ?

y 2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1 y1 ? y 2

将 y1 ? y 2 ? ?2 y 0 ( y 0 ? 0) 代入得 k AB ?

2p p ? ? ,是非零常数. y1 ? y 2 y0

6


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