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新人教A版高中数学必修5 第三章 不等式 第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题


第三章 不等式 第三章 a+b 3.4 基本不等式 ab≤ 2 第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 ? 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场, 现在已有材料能做成lkm的栅栏,那么如何设计才能使围成 的矩形牧场面积最大? ? 利用均值不等式求最值时,必

须同时满足三个条件: ________、________、________. [答案] 一正 二定 三相等 ? ? 1.由基本不等式导出的几个结论 (1) 反向不等式: a + b≤ 2?a2+b2? (a 、 b ∈ R ) ,由 a2 + + b2≥2ab,两边同加上 a2+b2 得 2(a2+b2)≥(a+b)2 开方即得. a+b 2 a+b + (2)ab≤( 2 ) ,(a、b∈R ),由 2 ≥ ab两边平方即得. (3)一个重要不等式链: b≥a>0 时,b≥ 2ab 2 ≥ ab≥ = ≥a . a+b 1 1 a+b a2+b2 a+b 2 ≥ 2 2 π (1)求函数 y=sinx+sinx.(0<x<2)的值域; (2)求 y=x· 1-x2的最大值. π 2 [解析] (1)∵0<x<2,∴0<sinx<1,但 sinx=sinx时 sinx = 2,不符合正弦函数值域要求,故这里不符合基本不等式成 立的条件,因此取不到最小值 2 2. π 2 令 u=sinx,∵0<x<2,0<u<1,∴可利用 y=u+u在(0,1)上 是减函数得出 y>3. ∴此函数值域为(3,+∞). (2)由 1-x2≥0 知-1≤x≤1,当 0<x≤1 时,x 1-x2= 2 2 x + ? 1 - x ? 1 2 2 x ?1-x ?≤ =2, 2 2 等号在 x =1-x 即 x= 2 时成立;当 x=0 时,x 1-x2= 2 2 0,当-1≤x<0 时,x 1-x2<0, 1 ∴x 1-x 的最大值为2. 2 ? ? 2.利用基本不等式证明不等式的方法 (1)基本不等式的常见变形 b a ①若 ab>0,则a+b≥2; b a b a ②若 ab<0,则a+b≤-2(因为 ab<0,则a与b均小于 0,) b a a b 所以a+b=-[(-b)+(-a)] ≤-2 a b ?-b?· ?-a?=-2. b a 此处(-a)与(-b)均为正数; 1 ③若 x<0,则 x+x ≤-2; a+b 2 a+b ④若 a>0,b>0,则 ab≤( 2 ) (因为 ab≤ 2 ,两边平 a+b 2 方后,得 ab≤( 2 ) ,当且仅当 a=b 时取“=”); ⑤若 a>0,b>0, a+b 则 ab ≤ 2 ≤ ≥0,所以 a2+b2 a2+b2 a+b 2 ?a-b?2 2 ( 因为 2 - ( 2 ) = 4 a2+b2 a+b 2 ≥ 2 ). (2)利用基本不等式证明不等式时,可依据求证式两端的式 子结构,合理选择基本不等式及其变形不等式来证.例如,a2 2 2 a + b a+b 2 +b ≥2ab(a,b∈R),可变形为 ab≤ 2 ; 2 ≥ ab(a>0, a+b 2 b>0)可变形为 ab≤( 2 ) 等,同时要从整体上把握基本不等 式,如 a4 + b4≥2a2b2 , a2b2 + b2c2≥2(ab)(bc) ,都是对“a2 + b2≥2ab,a,b∈R”的灵活应用. 已知 a>2,求证:loga

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