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第一部分专题三第二讲专题针对训练


一、选择题 1.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5=4,则数列{log2an}的前 7 项和等于( ) A.7 B.8 C.27 D.28 解析:选 A.在各项均为正数的等比数列{an}中,由 a3a5=4,得 a2=4,a4=2. 4 设 bn=log2an,则数列{bn}是等差数列,且 b4=log2a4=1. 7?b1+b7? 所以{bn}的前 7 项和 S7=

=7b4=7. 2 2.已知数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(n+1),则 a1+a2+a3+…+a10=( ) A.-55 B.-5 C.5 D.55 解析:选 C.∵an=(-1)n(n+1),∴a1+a2+a3+…+a10=-2+3-…-10+11=(-2+3)+ (-4+5)+(-6+7)+(-8+9)+(-10+11)=1+1+1+1+1=5,故选 C. 3.等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n,Sn)在以 下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )

n?n-1? d d 解析:选 C.∵Sn=na1+ d,∴Sn= n2+?a1-2?n,又 a1>0,公差 d<0,所以点(n,Sn) ? ? 2 2 所在抛物线开口向下,对称轴在 y 轴右侧. 4.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数 ? 1 ? 列?f?n??的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为( ) ? ? 2009 2011 A. B. 2010 2012 2008 2010 C. D. 2009 2011 解析:选 B.∵函数 f(x)=x2+bx 的图象的切线的斜率为 f′(x)=2x+b, ∴函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 的斜率为 k=2+b. ∵切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, ∴2+b=3,即 b=1. ∴f(x)=x2+x, 1 1 1 1 1 ∴ = 2 = = - , f?n? n +n n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 ∴S2011=?1-2?+?2-3?+…+?2011-2012? ? ? ? ? ? ? 1 2011 =1- = . 2012 2012 An 7n+45 an 5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 为整 Bn n+3 bn 数的正整数 n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 D.由等差数列前 n 项和的性质知,

an A2n-1 14n+38 7n+19 12 = = = =7+ , bn B2n-1 2n+2 n+1 n+1 an 故当 n=1,2,3,5,11 时, 为整数,故选 D. bn 二、填空题 6.已知数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2,且 an +1an+2≠1,则 a1+a2+a3=________,S2010=________. 解析:将 a1=1,a2=2 代入计算得 a3=3, ∴a1+a2+a3=1+2+3=6. 则 a2·3·4=a2+a3+a4, a a 即 6a4=5+a4. ∴a4=1,a3·4·5,a3+a4+a5, a a 即 3a5=3+1+a5,∴a5=2. 可知数列{an}是以 3 为周期循环出现 1,2,3 的数列. 故 S2010=(1+2+3)×670=4020. 答案:6 4020 7.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 5 10 9 8 2 6 7

… 则第 7 行中的第 5 个数是________. 解析: 7 行是奇数行, 第 则它的最后一个数值为 1+2+…+7=28, 而且第七行共有 7 个数, 逆推可得第 5 个数是 26.故填 26. 答案:26 8.(2011 年高考陕西卷)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻 两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发 前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 解析:假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列,使每位同学的往返所走的路程和最小,则树 苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁.此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项,20 为 9×8 10×9 公差的等差数列,所有同学往返的总路程为 S=9×20+ ×20+10×20+ ×20= 2 2 2000. 答案:2000 三、解答题 9.(2011 年高考课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n? 解:(1)设数列{an}的公比为 q. 1 由 a2=9a2a6 得 a2=9a2,所以 q2= . 3 3 4 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an

n(n+1) =-(1+2+…+n)=- . 2 1 1 1 2 故 =- =-2?n-n+1?, bn ? ? n(n+1) 1 1 1 + +…+ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 =-2??1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 2n =- . n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1 1 1 1 10.将函数 f(x)=sin x· sin (x+2π)·sin (x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到 4 4 2 大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 1 π 解:(1)f(x)=sin x· sin (x+2π)·sin (x+3π)=- sin x.其极值点为 x=kπ+ (k∈Z). 4 4 2 4 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 2n-1 π ∴an= +(n-1)·π= π(n∈N*). 2 2 π (2)∵bn=2nan= (2n-1)·n, 2 2 π - ∴Tn= [1· 2+3·2+…+(2n-3)·n 1+(2n-1)·n], 2 2 2 2 π + 2Tn= [1·2+3·3+…+(2n-3)·n+(2n-1)·n 1], 2 2 2 2 2 两式相减,得 π + -Tn= [1· 2+2·2+2·3+…+2·n-(2n-1)·n 1], 2 2 2 2 2 ∴Tn=π[(2n-3)·n+3]. 2 11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N*),使得 b1、bm、bk 成等比数列?若存在, an+1 求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, n?n-1? 则 Sn=na1+ d. 2

?10a +10×9d=55, 2 由已知,得? 20×19 ?20a + 2 d=210.
1 1

? ? ?2a1+9d=11 ?a1=1, 即? ,解得? ? ? ?2a1+19d=21 ?d=1. 所以 an=a1+(n-1)d=n(n∈N*). (2)假设存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N*),使得 b1、bm、bk 成等比数列,则 b2 =b1bk. m

an n 因为 bn= = , an+1 n+1 1 m k 所以 b1= ,bm= ,b = . 2 m+1 k k+1 m 1 k 所以?m+1?2= × ? ? 2 k+1. 2m2 整理,得 k= . 2 -m +2m+1 以下给出求 m、k 的方法: 因为 k>0,所以-m2+2m+1>0, 解得 1- 2<m<1+ 2. 因为 m≥2,m∈N*, 所以 m=2,此时 k=8. 故存在 m=2,k=8,使得 b1、bm、bk 成等比数列.


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