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利用空间向量证明平行问题


1.立体几何中的平行关系的向量表示 b ,平面 ?,? 设直线l, m的方向向量分别为a,  的法向量分别为 u,  v ,则有以下结论:

(1)线线平行:

a
l

l / / m ? a / /b ? a ? kb
(2)线面平行: l / /? ? a ? u ? a ? u ? 0 (3

)面面平行: ? / / ? ? u / /v ? u ? kv

u v

?
? m
b

解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标 系,然后进行坐标化。

例题讲解
例题1:在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD 为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分 别是AB,SC的中点.求证:EF//平面SAD.
证明:
x A

z
S F
D C E B

y

以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
b a a b 则 设AD ? a, SD ? b, E (a, , 0), F (0, , )., EF ? (?a, 0, ) 2 2 2 2

平面SAD的法向量为 ? EF / /平面SAD.

n ? (0,1,0)

b EF ? n ? ?a ? 0 ? 0 ? 1 ? ? 0 ? 0 2

? EF ? n

例题2:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求证:平面A1BD//平面CB1D1
以A为坐标原点建立空间坐标系如图, 证明:

z

A1

D1 C1

设正方体棱长为1,则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0)

B1

A B

D

y

A1 (0, 0,1), B1 (1, 0,1), C1 (1,1,1), D1 (0,1,1)
设平面CB1 D1的法向量为n ? ( x, y, z),

x

C

在平面A1 BD中, A1 B ? (1,0, ?1), A1 D ? (0,1, ?1) n ? A1 B ? 1?1 ? 1? 0 ? 1? (?1) ? 0 n ? A1 D ? 1? 0 ? 1?1 ? 1? (?1) ? 0

CB1 ? (0, ?1, ?1), CD1 ? (?1,0,1). ? ?n ? CB1 ? ? y ? z ? 0 ?? , 令z ? 1, 则n ? (1,1,1) ? ?n ? CD1 ? ? x ? z ? 0

? n ? A1 B, n ? A1 D

即n也是平面A1 BD的法向量。

? 平面A1 BD / /平面CB1 D1

归纳:运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤 1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线, 若有,则建立满足右手系的空间直角坐标系; 若没有,则需要作辅助线。 2.写出空间图形中各点的空间坐标。

3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题.

当堂训练 1.如图,已知正方形ABCD 与矩形ACEF所在的平面互相 垂直,AB= 2,AF=1,M是EF 的中点.求证:AM//平面BDE.
D

E M F

C

B

A

2.如图,四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为1的菱形, ∠ABC=450,PA⊥底面ABCD, PA=2,M为PA的中点,N为BC 的中点. 求证:MN//平面PCD

P

M
A

D N C

B


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