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关于比较一次函数的函数值与二次函数的函数值大小之我见


教学论文

关于比较一次函数的函数值与二次函数 的函数值大小之我见

多力昆·阿布都热西提

2014.6.3

关于比较一次函数的函数值与二次函数的 函数值大小之我见
多力昆·阿布都热西提

在初中数学中,一次函数的图像和二次函数的图像的复杂的和潜 在的概念现象大部分

的师生分析问题陷入困惑。数学教师对这一点的 忽略引起了学生对这个内容的探究精神的欠缺。 数学没有明确概念,解决问题一定会受阻,如果概念里模糊,问 题与学过知识之间的技术处理一定会失败。我认为,一次函数的图像 与二次函数的图像之间的函数值的大小问题应该分层次分析。 下面, 我来分析二次函数的图像与一次函数的图像之间存在的模糊 问题的看法。 1、在同一个平面直角坐标中,二次函数 y 1 = ax 2 +bx+c 和一次函数 y 2 =ax+b 的函数值的大小问题 (1)判断二次函数的图像与一次函数的图像的关系,如果二次函 数 y 1 = ax 2 +bx+c 的图像与一次函数的图像相交,则函数值相等, 即 y1= y 2 。 由上可得:ax 2 +bx+c=ax+b。 整理得:ax 2 +(b-a)x+c-b=0。 检验:Δ =b 2 —4ac=(b—a) 2 —4a(c—b) 第一:当 Δ >0 时,二次函数的图像与一次函数相交于不同的两个点。

设交点的坐标为(x 1 ,y 1 ) , (x ,y 2 ) ,
2

在 y= ax 2 +bx+c 中,当 a>0(x 1 < x 2 )时,x 1 <x< x 2 时,y 2 > y 1 , 当 x> x 或 x< x 1 时,y 2 < y 1 (图 1)在 y= ax 2 +bx+c 中,当 a<0(x 1 < x )
2 2

时,x 1 <x< x 2 时,y 1 > y 2 。当 x> x 或 x< x 1 时,y 2 > y 1 。 (图 2)
2

y

x=x1
Y1=ax +bx+c
2

y x=x2

x=x1
Y2=ax+b

x=x2

x Y2=ax+b Y1=ax +bx+c
2

O

x

图1
2

图2

在图 1 中,在直线 x= x 1 与直线 x= x 之间,一次函数的图像在 二次函数的上方,即,y 1 > y 2 在直线 x= x 1 的右边与直线 x= x 的右边,
2

一次函数的图像在二次函数的下方,即 y 1 > y 2 。 在图 2,在直线 x= x 之间,二次函数的图像在一次函数的图像,
2

即:y 1 > y 2 。在直线 x= x 1 的左边与直线 x= x 的右边,一次函数的图
2

像在二次函数的图像上方,即 y 2 > y 1 。 第二, 当 Δ=0 时, 一次函数的图像与二次函数的图像有一个交点, 此时,设交点的坐标为(x 0 ,y 0 ) ,在 y 1 =ax 2 +bx+c,当 a>0 时,在 x= x 0 的条件下,y 1 > y 2 , (图 3) 。在 x≠ x 0 的条件下,y 1 > y 2 , (图 4) 。 在 y 1 = ax 2 +bx+c,当 a<0 时,在 x= x 0 的条件下,y 1 = y 2 , 当 x ≠x 0 时,y 2 > y 1 。

y

y Y1=ax +bx+c x=x2 Y2=ax+b
2

x=x0

x=x0

Y2=ax+b x=x2

O

x
2

O Y1=ax +bx+c

x

图3

图4

在图 3,直线 x= x 0 经过二次函数的图像与一次函数的图像的交点, 即 y1= y 2 。 当 x ≠x 0 时,一次函数的图像在二次函数的图像的下方。 在图 4,直线 x= x 0 经过一次函数的图像与二次函数图像的交点, 即 y 1 = y 2 。当 x≠ x 0 时,一次函数的图像在二次函数图像上的上方。 第三:Δ=0 时,二次函数的图像与一次函数的图像没有交点。 此时,当 a>0,y 1 > y 2 (图 5) 当 a<0,y 1 < y 2 (图 6)
y

x=x0

y Y1=ax +bx+c x=x2 Y2=ax+b
2

x=x0 Y2=ax+b
x=x2

O

x Y1=ax +bx+c
2

O

x

图5

图6

在图 5,当 x= x 0 时,都 y 1 > y 2 。 在图 6,当 x= x 0 时,都 y 1 < y 2 。 2、判断一次函数 y 2 =ax+b, (y 2 =b)与二次函数 y 1 = ax 2 +bx+c 的关 系。 这种特殊情况下判断一次函数的图像与二次函数的图像位置关 系,跟第一步骤一样,如下图:

y

y x=x2
2

x=x1

x=x1
Y1=ax +bx+c

x=x2

Y2= b O Y1=ax +bx+c
2

x Y2= b

O

x

图7
y Y1=ax +bx+c
2

y

x=x0
Y2= b O x

x=x1

x=x0

O Y1=ax +bx+c
2

x

Y2= b

图8

y y Y1=ax +bx+c
2

x=x0
Y2= b

x=x1

x=x0

O Y2= b

x Y1=ax +bx+c
2

O

x

图9 在图 7 中,y 1 与 y 2 的大小跟图 1,图 2 一样。 在图 8 中,y 1 与 y 2 的大小跟图 3,图 4 一样。 在图 9 中,y 1 与 y 2 的大小跟图 5,图 6 一样。 3、大部分的问题中,求一次函数的函数值与二次函数的函数值 的大小,遇到图标,学生容易不感到之中问题。 比如: (列)如果二次函数 y= x 2 +bx 的图像对称轴经过点(2,0)且平行于 y 轴,则求关于 x 的方程 x 2 +bx=5 的跟? 在这个问题中,学生一看“对称轴” “方程的跟”的概念就隐如困惑了。

b 分析:方法 1;y= x +bx 的对称轴 x=2,所以由 x==2 得 b=-4. 把 b=-4 2a
2

代入 x 2 +bx=5,容得一元二次方程,就可以解方程。 方法 2:由两个函数的图像相交,它得的函数值相等。所以把 x 2 +bx=5 可 以写成 y= x 2 +bx 与 y=5.把他们用函数观点来可以解决。 综上可知,在二次函数的函数值与一次函数的函数值比较大小,首先要明 确函数值的相等还是不相等,使函数式的右边相等 Δ≥0 的是表示方程的根, 及表示图像的相交。Δ<0 的是表示方程没有根,即表示图像不相交。


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