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湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学(理)试题 Word版含解析


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第Ⅰ卷(共 50 分) 一、 选择题: 本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1.复数 m ?3 ? i ? ? ? 2 ? i ? ( m ? R , i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

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2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

已知甲组数据的平均数为 17,乙组数据的中位数为 17,则 x,y 的值分别为( A.2,6 B.2,7 C.3,6 D.3,7

)

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由茎叶图知乙组数据的中位数为 10 ? y ,所以 y ? 7 ,故选 D. 考点: 1、茎叶图;2、平均数、中位数概念. 3.已知 e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,若 a=e1+e2,b=-4e1+2e2,则 a 与 b 的夹角 为( A.30° ) B.60° C.120° D.150°

5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入某个正整数 n 后,输出的 S∈(31,72), 则 n 的值为( A.5 B.6
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)

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C.7 D.8

1 n * 6.若(9x- )(n∈N ) 的展开式的第 3 项的二项式系数为 36, 则其展开式中的常数项为( 3 x A.252 B.-252 C.84 D.-84

)

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7.设 a,b∈R,则“a 1-b2+b 1-a2=1”是“a2+b2=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

8.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合), 且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a.在 长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点, 记该点取自于几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 P, 当点 E,F 分别在棱 A1B1,BB1 上运动且满足 EF=a 时,则 P 的最小值为(
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)

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11 A.16 【答案】D 【解析】

3 B.4

13 C.16

7 D.8

所以当 x ? ?1, 2? 时, m? ? x ? ? 0 恒成立,所以,函数 m ? x ? 在区间 ?1, 2? 上为减函数,而

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m ?1? ? 0,
所以 m ? x ? ? 0 在区间 ?1, 2? 上恒成立,即有 g ? x ? ? h ? x ? , 综上 ,当 x ? ?1, 2? 时 f ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ,所以 S1 ? S2 ? S3 ,故选 A。 考点:1、定积分;2、导数的应用. 10.如图,半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD,它的下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点 在圆周上.若双曲线以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点,则当梯形 ABCD 的周长最大时,双曲 线的实轴长为( A. 3+1 ) B.2 3+2 C. 3-1 D.2 3-2

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第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请 将答案填在答题卡对应题 号 的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. ) ...... .
11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .

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sinx 12.曲线 y= x 在点 M(π,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D(包含三角形内部与 边界).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+4y 的最大值为 .

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13.如下图①②③④所示,它们都是由小正方形组成的图案.现按同样的排列规则进行排列, 记第 n 个图形包含的小正方形个数为 f(n),则 (Ⅰ)f(5)= (Ⅱ)f(n)= ; .

π 14.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x+m 在区间[0,2]上的最大值为 3,则 (Ⅰ)m= ; .

(Ⅱ)对任意 a∈R,f(x)在[a,a+20π]上的零点个数为

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15.(选修 4-1:几何证明选讲) ⌒ =AC ⌒ ,DE 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE 交 AB 于点 F.若 AB=4,BP=3,则 PF= .

21 【答案】 5 【解析】 试题分析:

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16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 ρ( 2cosθ
?x=sinθ+cosθ, ? -sinθ)-a=0 与曲线? (θ 为参数)有两个不同的交点,则实数 a 的取值范 ?y=1+sin2θ. ?

围为



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三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)

17.(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin(A-B)=cosC. (Ⅰ)若 a=3 2,b= 10,求 c; acosC-ccosA (Ⅱ)求 的取值范围. b

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18.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1>0,an+1=2-|an|,n∈N*. (Ⅰ)若 a1,a2,a3 成等比数列,求 a1 的值; (Ⅱ)是否存在 a1,使数列{an}为等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存在,说明理 由.

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当 a1>2 时,a1-2=3a1-2,解得 a1=0,与 a1>2 矛盾;

19.(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AB=3, BC=5. (Ⅰ)求直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值; BD (Ⅱ)在线段 BC1 上确定一点 D,使得 AD⊥A1B,并求BC 的值.
1

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BD 9 此时BC =λ=25.?????????????????????????12 分 1 考点:1、直线与平面所成角的概念;2、空间直角坐标系;3、空间向量的夹角公式的应用. 20.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的 1 一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为2,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲 当裁判.

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(Ⅰ)求第 4 局甲当裁判的概率; (Ⅱ)用 X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的分布列和数学期望.

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21.(本小题满分 13 分) 如图,矩形 ABCD 中,|AB|=2 2,|BC|=2.E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点,分别以 → → → → HF,EG 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,已知OR=λOF,CR′ =λCF,其中 0<λ <1. x2 (Ⅰ)求证:直线 ER 与 GR′ 的交点 M 在椭圆 Γ: 2 +y2=1 上; (Ⅱ)若点 N 是直线 l:y=x+2 上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2 分别为椭圆 Γ 的左、右 焦点,直线 NF1 和 NF2 与椭圆 Γ 的交点分别为 P、Q 和 S、T.是否存在点 N,使得直线 OP、OQ、 OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT 满足 kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点 N 的坐标;若 不存在,请说明理由.

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22.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f(x)=ex 1-tx,?x0∈R,使 f(x0)≤0,求实数 t 的取值范围; b-a b b-a (Ⅱ)证明: b <lna< a ,其中 0<a<b; 1 1 (Ⅲ)设[x]表示不超过 x 的最大整数,证明:[ln(1+n)]≤[1+2+?+n]≤1+[lnn](n∈N*) .


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当 k 分别取 1, 2,3,

, n 时有: ln

2 1 3 1 4 1 ? , ln ? , ln ? , 1 1 2 2 3 3

, ln

n ?1 1 ? n n

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