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高考第一轮复习数学:14.2 导数的应用 2


14.2

导数的应用

●知识梳理 1.函数的单调性 (1)设函数 y=f(x)在某个区间内可导,若 f′(x)>0,则 f(x)为增函数;若 f′(x) <0,则 f(x)为减 函数. (2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法. ①确定函数 f(x)的定义区间. ②求 f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实

根. ③把函数 f(x)的间断点〔即包括 f(x)的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小 到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间. ④确定 f′(x)在各小开区间内的符号,根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相 应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f(x)在点 x 0 附近有定义,且若对 x0 附近所有的点都有 f(x)<f(x0) (或 f(x) >f(x0) ),则称 f(x0)为函数的一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点. (2)求可导函数 f(x)极值的步骤. ①求导数 f′(x). ②求方程 f′(x)=0 的根. ③检验 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正, 那么函数 y=f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最大值与最小值 (1)设 y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数 y=f (x)在[a,b]上的最大值与最小值,可分两步进行. ①求 y=f(x)在(a,b)内的极值. ②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 、 一个为最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调增加,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大 值;若函数 f(a)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

特别提示
我们把使导函数 f′(x)取值为 0 的点称为函数 f(x)的驻点,那么 (1)可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的. 例如函数 y=|x|在点 x=0 处有极小值 f(0)=0,可是我们在前面已说明过,f′(0)根本不存在, 所以点 x=0 不是 f(x)的驻点. (2)可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数 f(x)=x3 的导数是 f′(x)=3x2,在点 x=0 处有 f′(0)=0,即点 x=0 是 f(x)=x3 的驻点,但从 f(x)在(-∞, +∞)上为增函数可知,点 x=0 不是 f(x)的极值点.

●点击双基 1.(2005 年海淀区高三第一学期期末模拟)函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是 增函数

π 3π , ) 2 2 3π 5π C.( , ) 2 2
A.( 当 x∈(

B.(π ,2π ) D.(2π ,3π )

解析:y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

3π 5π , )时,恒有 xcosx>0. 2 2

答案:C 2.函数 y=1+3x-x3 有 A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 解析:y′=3-3x2=3(1+x) (1-x). 令 y′=0 得 x1=-1,x2=1.当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数;当-1<x<1 时, y′>0,函数 y=1+3x-x3 是增函数;当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数. ∴当 x=-1 时,函数 y=1+3x-x3 有极小值-1;当 x=1 时,函数 y=1+3x-x3 有极大值 3. 答案:D 3.设 f(x)在(a,b)内有定义,x0∈(a,b) ,当 x<x0 时,f′(x)>0;当 x>x0 时,f′(x) <0.则 x0 是 A.间断点 B.极小值点 C.极大值点 D.不一定是极值点 解析:f(x)在 x0 处不一定连续. 答案:D - 4.函数 f(x)=ex+e x 在(0,+∞)上的单调性是__________. - - 解析:∵f′(x)=ex-e x=e x(e2x-1),∴当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 答案:增函数 5.若函数 (x) 3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数, m 的取值范围是______________ f =x 则 _____________________. 解析:f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在 R 上是单调递增函数, ∴f′(x)>0 在 R 上恒成立, 即 3x2+2x+m>0. 由Δ =4-4×3m<0,得 m> 答案:m>

1 . 3

1 3

●典例剖析 【例 1】 求函数 y= 2x ? 4 ? x ? 3 的值域. 剖析:求函数值域是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求

解,也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂,可采用求导的方法求解.

?2 x ? 4 ? 0 解:函数的定义域由 ? 求得 x≥-2. ?x ? 3 ? 0
求导得 y′=

1 2x ? 4



1 2 x?3

=

2 x ? 3 ? 2x ? 4 2 2x ? 4 ? x ? 3

.

由 y′>0 得 2 x ? 3 > 2 x ? 4 ,

?2 x ? 4 ? 0 ? 即 ?x ? 3 ? 0 解得 x>-2,即函数 y= 2 x ? 4 - x ? 3 在(-2,+∞)上是增函 ?4( x ? 3) ? 2 x ? 4, ?
数. 又此函数在 x=-2 处连续,∴在[-2,+∞)上是增函数,而 f(-2)=-1. ∴函数 y= 2 x ? 4 - x ? 3 的值域是[-1,+∞). 评述:函数 y=f(x)在(a,b)上为单调函数,当在[a,b]上连续时,y=f(x)在[a,b] 上也是单调函数. 【例 2】 已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1, (1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 是函数的极大值还是极小值,并说明理由. 剖析:考查函数 f(x)是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极 值点与导数的关系,即极值点必为 f′(x)=0 的根建立起由极值点 x=±1 所确定的相关等 式,运用待定系数法确定 a、b、c 的值. (1)解法一:f′(x)=3ax2+2bx+c,∵x=±1 是函数的极值点, ∴x=±1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根. 由 根 与 系 数 的 关 系 知
? 2b ?? 3a ? 0, ? ? ? c ? ?1 ? 3a ? ① ②

又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1. ③ 由①②③解得 a=

1 3 ,b=0,c=- . 2 2

解法二:由 f′(1)=f′(-1)=0, 得 3a+2b+c=0, ① 3a ② - 2b+c=0.

又 (1) f =-1,∴a+b+c=-1.



1 3 ,b=0,c=- . 2 2 1 3 3 2 3 3 (2)解:f(x)= x3- x,∴f′(x)= x- = (x-1) (x+1). 2 2 2 2 2
由①②③解得 a= 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时,f′(x)<0. ∴x=-1 时,f(x)有极大值;x=1 时,f(x)有极小值. 1 【例 3】 已知函数 f(x)=2ax- 2 ,x∈(0,1]. x (1)若 f(x)在 x∈(0,1]上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值. 剖析:(1)要使 f(x)在(0,1]上为增函数,需 f′(x)>0,x∈(0,1). (2)利用函数的单调性求最大值. 2 解:(1)由已知可得 f′(x)=2a+ 3 ,∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f′(x)>0, x 1 即 a>- 3 , x∈(0,1].∴a>-1. x 2 当 a=-1 时,f′(x)=-2+ 3 对 x∈(0,1)也有 f′(x)>0,满足 f(x)在(0,1] x 上为增函数, ∴a≥-1. (2)由(1)知,当 a≥-1 时,f(x)在(0,1]上为增函数, ∴[f(x) max=f(1)=2a-1. ] 当 a<-1 时,令 f′(x)=0 得 x=

1
3

?a

,

∵0<

1
3

?a

<1,∴0<x<

1
3

?a

时,f′(x)>0;

1
3

?a

<x≤1 时,f′(x)<0.∴f(x)

在(0,

1
3

?a

)上是增函数,在(

1
3

?a

,1]减函数.

∴[f(x) max=f ( ]

1
3

?a

)=-3 3 a 2 .

评述:求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简 单.

深化拓展
(1)也可用函数单调性的定义求解.

思考讨论
函数 f(x)在区间 D 上的极值与最值有什么联系? ●闯关训练 夯实基础 1.下列各式正确的是

x3 >sinx (x>0) 6 B.sinx<x (x>0) 2 π C. x>sinx (0<x< ) π 2 D.以上各式都不对 解析:令 F(x)=x-sinx,则 F′(x)=1-cosx>0(当 x>0,x≠2nπ ,n=1,2,?). 故 F(x)在 x>0 时单调递增.因此当 x>0 时,有 F(x)>F(0)=0. 答案:B
A.x- 2.函数 f(x)=sin(3x-

3 π π )在点( , )处的切线方程是 6 6 2

π =0 2 π B.3x-2y+ 3 - =0 2 π C.3x-2y- 3 - =0 2 π D.3x+2y- 3 - =0 2
A.3x+2y+ 3 -

π π 3 ),所以所求切线的斜率为 f′( )= ,切线方程为 2 6 6 3 3 π π y- = (x- ),即 3x-2y+ 3 - =0. 2 2 6 2
解析:因为 f′(x)=3cos(3x- 答案:B 3.函数 y= x -2x(x≥0)的最大值为_____________. 解析:y′=

1 2 x

-2,

1 1 时,y′>0,∴y= x -2x 在(0, )上为增函数. 16 16 1 1 当 x> 时,y′<0,∴y= x -2x 在( ,+∞)上是减函数.∴y= x -2x 在(0,+∞) 16 16
当 0<x< 上的最大值为

1 2 1 - = . 16 16 8

答案:

1 8

4.(2005 年北京东城区模拟题)如果函数 y=f(x)的导函数的图象如下图所示,给出下 列判断:

y -2 -1 -3 -1 O 1 2 2

3 4 5x

①函数 y=f(x)在区间(-3,- ②函数 y=f(x)在区间(-

1 )内单调递增; 2

1 ,3)内单调递减; 2

③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; ⑤当 x=-

1 时,函数 y=f(x)有极大值. 2

则上述判断中正确的是_____________ 解析:当 x∈(4,5)时,恒有 f′(x)>0. 答案:③ 5.已知 f(x)=2ax-

b 1 +lnx 在 x=-1,x= 处取得极值. x 2

(1)求 a、b 的值;

1 ,4]时,f(x)>c 恒成立,求 c 的取值范围. 4 b 解:(1)∵f(x)=2ax- +lnx, x b 1 ∴f′(x)=2a+ 2 + . x x 1 ∵f(x)在 x=-1 与 x= 处取得极值, 2 1 ∴f′(-1)=0,f′( )=0, 2
(2)若对 x∈[

?2a ? b ? 1 ? 0, ?a ? 1, 即? 解得 ? ?2a ? 4b ? 2 ? 0. ?b ? ?1.
1 (2x-1) (x+1). x2 1 1 1 1 ∴当 x∈[ , ]时,f′(x)<0;当 x∈[ ,4]时,f′(x)>0.∴f( )是 f(x) 4 2 2 2 1 在[ ,4]上的极小值.又∵只有一个极小值, 4 1 ∴f(x)min=f( )=3-ln2. 2 ∵f(x)>c 恒成立,∴c<f(x)min=3-ln2. ∴c 的取值范围为 c<3-ln2. 6.(2004 年全国Ⅰ,理 19)已知 a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.
(2x2+x-1)= ∴所求 a、b 的值分别为 1、-1. 1 1 1 (2)由(1)得 f′(x)=2- 2 + = 2 x x x

解:f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax. ①当 a=0 时,若 x<0,则 f′(x)<0,若 x>0,则 f′(x)>0. 所以当 a=0 时,函数 f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增 函数.

2 2 或 x>0;由 2x+ax2<0,得- <x<0. a a 2 2 所以当 a>0 时,函数 f(x)在区间(-∞,- )内为增函数,在区间(- ,0)内 a a
②当 a>0 时,由 2x+ax2>0,解得 x<- 为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. ③当 a<0 时,由 2x+ax2>0,得 0<x<- 由 2x+ax2<0,得 x<0 或 x>-

2 . a

2 . a 2 )内为增 a

所以当 a<0 时,函数 f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,- 函数,在区间(-

2 ,+∞)内为减函数. a

培养能力 7.已知 x∈R,求证:ex≥x+1. 证明:设 f(x)=ex-x-1,则 f′(x)=ex-1. ∴当 x=0 时,f′(x)=0,f(x)=0. 当 x>0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0. 当 x<0 时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0. ∴对 x∈R 都有 f(x)≥0.∴ex≥x+1. 8.(2004 年全国Ⅱ,文 21)若函数 f(x)=

1 3 1 2 x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内 3 2

为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解:函数 f(x)的导数 f′(x)=x2-ax+a-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=a-1. 当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函数, 在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意应有 当 x∈(1,4)时,f′(x)<0, 当 x∈(6,+∞)时,f′(x)>0. 所以 4≤a-1≤6,解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围是[5,7]. 探究创新 9.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)+ 围.

1 +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x

a ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范 x

解:(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y) ,点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点 (-x,2-y)在 h(x)图象上. ∴2-y=-x+ ∴y=x+

1 +2. ?x

1 1 ,即 f(x)=x+ . x x a ?1 (2)g(x)=x+ , x a ?1 ∵g′(x)=1- 2 ,g(x)在(0,2]上递减, x a ?1 ∴1- 2 ≤0 在 x∈(0,2]时恒成立, x
即 a≥x2-1 在 x∈(0,2)时恒成立. ∵x∈(0,2]时, 2-1) max=3,∴a≥3. (x ●思悟小结 1.函数单调性的充分条件,若 f′(x)>0(或<0) ,则 f(x)为增函数(或减函数). 2.函数单调性的必要条件,设 f(x)在(a,b)内可导,若 f(x)在(a,b)上单调递增 (或递减) ,则 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)且 f′(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒 为零. 3.可以用单调性求函数的极值、最值. ●教师下载中心 教学点睛 利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型,也是高考考查的 重点,复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到,用导数求单 调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡. 拓展题例 【例题】 设函数 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 图象与 y 轴的交点为 P,且曲线在 P 点处的切 线方程为 24x+y-12=0,若函数在 x=2 处取得极值-16,试求函数解析式,并确定函数的单调递 减区间. 错因点评:有的同学不知道 P 点处的斜率为 y′| x p ,即 y′|x=0 为已知切线方程的斜率 -24.又当 x=2 时有极值,且极值为-16,找不到与 a、b、c、d 的关系,从而无法求出 a、b、c、 d,导致错解. 正确思路:由 y′=3ax2+2bx+c ? f′(0)=c, ∵切线 24x+y-12=0 的斜率 k=-24, ∴c=-24,把 x=0 代入 24x+y-12=0 得 y=12. 得 P 点的坐标为(0,12),由此得 d=12,f(x)即可写成 f(x)=ax3+bx2-24x+12. 由函数 f(x)在 x=2 处取得极值-16,则得

?? 16 ? 8a ? 4b ? 36, ?a ? 1, 解得 ? ? ?0 ? 12a ? 4b ? 24, ?b ? 3.
∴f(x)=x3+3x2-24x+12,f′(x)=3x2+6x-24.令 f′(x)<0,得-4<x<2. ∴递减区间为(-4,2).


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