nbhkdz.com冰点文库

1996年全国高考理科数学试题

时间:2014-01-14


2011 年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? A. ?2i B. ?i C. i D. 2i

2.函数 y ? 2 x

? x ? 0 ? 的反函数为 A. y ?

x2 ? x ? R? 4
2

B. y ?

x2 ? x ? 0? 4
2

C. y ? 4 x

? x ? R?
B. a ? b ? 1

D. y ? 4 x

? x ? 0?
2 2

3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 A. a ? b ? 1 C. a ? b D. a ? b
3 3

4.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2, Sk ? 2 ? Sk ? 24 ,则 k ? A.8 B.7 C.6 D.5

x 5.设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0 ? ,将 y ? f ?
像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 A.

? 的图像向右平移
D.9

? 个单位长度后,所得的图 3

1 3

B.3

C. 6

6. 已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ? ? , AC ? l , C 为垂足, B ? ? , BD ? l , D 为垂足,若

AB ? 2, AC ? BD ? 1,则 D 到平面 ABC 的距离等于
A.

2 2

B.

3 3

C.

6 3

D.1

7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 A. 4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 8.曲线 y ? e A.
2x

? 1 在点 ? 0, 2 ? 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为
B.

1 3

1 2

C.

2 3

D.1

9.设 f ? x ? 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? ,则 f ? ? ? ?

? 5? ? 2?

A. ?

1 2
2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

10. 已 知 抛 物 线 C : y ? 4 x 的 焦 点 为 F , 直 线 y ? 2 x ? 4 与 C 交 于 A、B 两 点 , 则

cos ?AFB ? 4 A. 5

B.

3 5

C. ?

3 5
?

D. ?

4 5

11.已知平面 ? 截一球面得圆 M ,过圆心 M 且与 ? 成 60 二面角的平面 ? 截该球面得圆

N ,若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为 A. 7? B. 9? C. 11? D. 13? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 12.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? 1, a? b ? ? , a ? c, b ? c ? 60? ,则 c 的最大值等于 2
A.2 B. 3 C. 2 D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1 ? x

?

?

20

的二项展开式中, x 的系数与 x 的系数之差为

9

.

14.已知 ? ? ?

5 ?? ? ,则 tan 2? ? , ? ? , sin ? ? 5 ?2 ?

.

15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为 9 27
?
.

? 2, 0 ? , AM 为 ?F1 AF2 的角平分线,则 AF2

16. 已 知 点 E、F 分 别 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 BB1、CC1 上 , 且 B1 E ? 2 EB,

CF ? 2 FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c .已知 A ? C ? 90? , a ? c ? 2b ,求 C .
18.(本小题满分 12 分) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险 的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB / /CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为 等边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1 .

(I)证明: SD ? 平面 SAB ; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小. 20.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,

1 1 ? ?1 1 ? an ?1 1 ? an

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an ?1 n

,记 Sn ?

?b
k ?1

n

k

,证明: S n ? 1 .

21.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 过F 且 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点, 2
??? ? ??? ? ??? ? ?

斜率为 ? 2 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (II) 设点 P 关于 O 的对称点为 Q , 证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 22.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

2x ,证明:当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 x?2
19

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取

1 ?9? 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: p ? ? ? ? 2 e ? 10 ?

参考答案
一、 选择题
1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 D 12 A

二、填空题
13、0. 14、 ?

4 3

15、6

16、

2 3

三、解答题
(17) (10 分) 由a?c ?

2b 及正弦定理可得(3 分)

sin A ? sin C ? 2 sin B
又由于 A ? C ? 90? , B ? 180? ? ? A ? C ? 所以

cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ? 2 sin(90? ? 2C ) ? 2 sin 2C
2 2 cos C ? sin C ? cos 2C 2 2 cos(45? ? C ) ? cos 2C.

??7 分

? 0? ? C ? 90?,
∴ C ? 15?

2 C? 4 5 ? ? C,
??10 分

(18) (12 分) 解:记 A“有一位车主购买甲种保险” ,B“车主买乙种保险但不购买甲种保险” ,C“至少 购买一种保险” ,D“两种保险都不购买”

(Ⅰ)
(II)

P ? A? ? 0.5, P ? B ? ? 0.3, P ? C ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? 0.8
而D?C 因为 X ~ B(100,0.2) 所以 P ? D ? ? 0.2 所以 EX ? 100 ? 0.2 ? 20

??6 分
??10 分 ??12 分

(19) (12 分) 解法一:

(I) AB 中点 E,连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3 . 又 DE ? 1 ,故 DE 2 ? SE 2 ? SD2 , 所以 ? DSE 是直角 ??3 分 由 AB ? 平面SDE ,所以 AB ? SD SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直 所以 SD ? 平面SAB ??6 分 (II) 由 AB ? 平面SDE 知,平面
A F B D G S H C

ABCD ? 平面SDE
作 SF ? DE ,垂足为 F,则 SF ? 平面ABCD , SF ? 作 FH ? SG ,G 为垂足,则 FG ? DC ? 1 . 连结 SG 则 SG ? BC . 又 BC ? FG, SG ? FG ? G ,故 BC ? 平面ABCD, SBC ? SFG ??9 分 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? SBC 又 FH ?
SF ? FG 3 21 ? ,F 到平面 SBC 的距离为 . SG 7 7

SD ? SE 3 . ? DE 2

由于 ED ? BC 所以 ED ? SBC ,E 到平面 SBC 的距离 d 为 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? ,则
sin ? ?
解法二:

21 。 7

d 21 21 ? , ? ? arcsin ??12 分 EB 7 7

(I) 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 正半轴,建立如图所示的空间直角坐标 系 C-xyz。 设 D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设 S ( x, y, z ) ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 .
??? ? ??? ? ??? ? 易得 AS ? ? x ? 2, y ? 2, z ? , BS ? ? x, y ? 2, z ? , DS ? ( x ? 1, y, z )
??? ? ??? ? 由 AS ?| BS | 得

? x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

? z 2 ? x2 ? ? y ? 2? ? z 2 ,
2

故 x ? 1. ??? ? 由 DS ? 1得 y 2 ? z 2 ? 1.

??? ? 2 又 BS ? 2 得 x 2 ? ? y ? 2 ? ? z 2 ? 4

1 3 即 y 2 ? z 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ,所以 y ? , z ? . 2 2

??3 分

所以
? ? ? ? ? ? 1 3? ? 1 3 ? ??? 3 3 ? ??? 3 3 ? ??? S? 1 , ? , , AS ? -1 , ? , , BS ? 1, ? , , DS ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 2 , 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 DS ? AS ? 0, DS ? BS ? 0 .

所以 DS ? AS , DS ? BS ,又 AS ? BS ? S , 所以 SD ? 平面SAB 。 ??6 分 (II)
? 设平面 SBC 的法向量为 n ? ? m, n, p ? ,
? ? ? ??? ? ??? 则 n ? BS ? 0, n ? CB ? 0

z S

? 3 3 p?0 ?m ? n ? 故 ? ??9 分 2 2 ? 2n ? 0 ?
??? ? ? 取 p ? 2 得 n ? ? 3, 0, 2 ,又 AB ? ? ?2, 0, 0 ? ,

x A

D y B

C

?

?

??? ? ? ??? ? ? AB ? n 21 得 cos AB, n ? ? ? AB ? n 7

AB 与平面 SBC 所成的角大小为 arcsin
(20) (12 分) 解:(Ⅰ)

21 ??12 分 7

由题设

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an

? 1 ? 即? ? 是公差为 1 的等差数列。 ?1 ? an ?



1 1 ? 1故 ?n 1 ? a1 1 ? an

得 an ? 1 ?

1 . ??5 分 n

(Ⅱ)由(I)中结论
bn ? ? 1 ? an ?1 n

n ?1 ? n n ? 1· n 1 1 ? ? , n n ?1 1 ? 1 ? 1 S n ? ?bk ? ? ? ? ?1 ? ? 1? k k ?1 ? n ?1 k ?1 k ?1 ?
n n

??8 分

(21) (12 分)解:

(I) F (0,1) ,l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 ,代入 x 2 ?

y2 ? 1 并化简得 ??2 分 2

4 x2 ? 2 2 ?1 ? 0

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P( x3 , y3 ) , 则 x1 ?

2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4

得 x1 ? x2 ?

2 , y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 1 2 2 , y3 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ?1 2

得 x3 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ?

? ? 2 ? , ? 1 所以点 P 的坐标为 ? ? ? 2 ? ,验证得 P 在椭圆上。??6 分 ? ?

(II)

? 2 ? ? ? 2 由 P? ? 2 ,1? ? , PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 ? ? 2 , ?1 ? ? ,知 Q ? ? ? ? ?

y??

2 x. 2

? 2 1? 设 AB 的中点为 M,则 M ? ? 4 ,2 ? ? ,AB 的垂直平分线 l 2 的方程为 ? ?

y?

2 1 x ? ??9分 2 4

? 2 1? ? l1 联立 ? ,得 N ? ? 8 ,8? ? , ??9 分 ? l2 ? ?
2 ? 2 2? ? 1? 3 11 | NP |? ? ?1 ? ? ? , ?? 2 ? 8 ? ? ?? 8? 8 ? ? ? 2

| AB |? 1 ? ( ? 2) 2 · | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4
2

3 2 , 2

2 ? 2 2 ? ?1 1? 3 3 | MN |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 8 ? 8 ? ? ? 2 8?

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ? 故 | NP |?| NA |, 又 | NP |?| NQ |,| NA |?| NB |, 所以 | NA |?| NP |?| NB |?| NQ |,

3 11 , 8

由此可知A、P、B、Q四点在以N 为圆心,NA为半径的圆上 ??12 分

(22)解:

(I)

f ?? x? ?

x2

? x ? 1?? x ? 2 ?

2

.

??2 分 ??5 分

当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以当 x ? R ? , f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 (II)
p? 100 ? 99 ? 98 ??? 81 . 10020

又 99 ? 81 ? 902 ,98 ? 82 ? 902 ,?,91? 89 ? 902 ,
? 9 ? 所以 p ? ? ? ? 10 ?
19

??9 分
2x , x?2

由(I)知:当 x ? 0 , ln ?1 ? x ? ?
? 2? 所以 ?1 ? ? ln ?1 ? x ? ? 2 . ? x?

令x?

1 10 则 19 ln ? 2 , 9 9
19

? 10 ? 所以 ? ? ? e 2 ? 9 ? 1 ? 9? 综上: p ? ? ? ? 2 e ? 10 ?
19

??12 分


1996年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

1996年普通高等学校招生全国统一考试理科数学_高考_高中教育_教育专区。1995年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题、答案及其解析1996...

1996年全国Ⅱ高考数学试题(理)

1996年全国高考数学试题(理)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。标准试题,保证质量。1996 年普通高等数学招生全国统一考试(全国Ⅱ) 理科数学参考公式: 三角函数的...

1996年全国统一高考数学试卷(文科)

(2)若|A1B1|= |A2B2|,求 l1、l2 的方程. 1996 年全国统一高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 15 小题,第 1-10 题,每小题 4 分...

1996年全国高考英语试题及答案

1996 年全国高考英语试题及答案 Ⅰ.单项填空(共 25 小题,每小题 1 分;满分 25 分) A)从 A、B、C、D 中找出其划线部分与所给单词的划线部分读音相同的...

(详细解析)1996年全国高考文科试题

(详细解析)1996年全国高考文科试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1996 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类) 第Ⅰ卷(选择题共 65 分)注意事项: 1....

1996年全国高考英语试题及答案

1996 年全国高考英语试题及答案Ⅰ.单项填空(共 25 小题,每小题 1 分;满分 25 分) A)从 A、B、C、D 中找出其划线部分与所给单词的划线部分读音相同的...

1996年全国高考物理卷(修订版)

1996年全国高考物理卷(修订版)_理化生_高中教育_教育专区。1996 年全国普通高等...08年高考江苏卷物理_2 暂无评价 3页 5下载券 2007年高考物理试卷(新课......

1996年全国高考物理试题

1996年上海高考物理试题 5页 免费 2011年全国高考物理试题 144页 2下载券 2013...1​9​9​6​年​全​国​高​考​物​理​试​题 ...

1996年全国高考语文试题及答案

1996年全国高考语文试题及答案_语文_高中教育_教育专区。正规高考试卷格式,如身临其境。令人怀旧高考岁月。希望对高考研究尽一定绵薄。...

1996年全国统一高考化学试卷

1996 年全国统一高考化学试卷一、解答题(共 5 小题,满分 15 分) 1. (3 分)根据以下叙述,回答 1~2 小题. 1995 年诺贝尔化学奖授予致力于研究臭氧层被...