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二分法求函数的近似解


哈师大青冈实验中学

数学组

编制人:孙 力

王志坤

二分法求函数的近似解
一、复习:什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? 二、课内探究

※ 动手试试
练 1.求函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 的一个正数零点(精确到 0.1 ) 零

点所在区间 中点函数值符号 区间长度

※ 学习探究 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的, 要求次数越少越好. 解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球. 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零 点所在区间?如何找出这个零点?

三、学习小结 ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想. ※ 当堂检测

新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a) f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函数的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法. 反思: 给定精度ε ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢? ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a) f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a) f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点
x0 ? (a, x1 ) ) ; 若 f ( x1 ) f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④.

1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b? 上(

).

A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(

).

※ 典型例题
例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解. 3. 函数 f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5, 6) ).

4. 用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间[2, 3]内的实根, 由计算器可算得 f (2) ? ?1 , f (3) ? 16 , f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 . 5. 函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为 ,大致所在区间为 .


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