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2排列组合(基础点拨)练习题(教师版)


排列组合(基础点拨)练习题
一、选择题 1.把 10 个苹果分成三堆,要求每堆至少有 1 个,至多 5 个,则不同的分法共有( A ) A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.7 种

[解析] 分类考虑,若最少一堆是 1 个,那由至多 5 个知另两堆分别为 4 个、5 个,只有一 种分法;若最少一堆是 2 个,则由 3+5=4+4 知有 2 种分法

;若最少一堆是 3 个,则另两 堆为 3 个、4 个,故共有分法 1+2+1=4 种. 2.四个同学,争夺三项冠军,冠军获得者可能有的种类是( A.4 B.24 C.4
3

C ) D.3
4

[解析] 依分步乘法计数原理,冠军获得者可能有的种数是 4×4×4=4 .故选 C. 3.已知函数 y=ax +bx+c,其中 a,b,c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数共有 ( C ) A.125 个 B.15 个 C.100 个 D.10 个
2

3

4. 甲、 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 则甲 、 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( C) A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.30 种

[解析] 分步完成.首先甲 、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次由甲从剩 下的 3 门课程中任选 1 门, 有 3 种方法, 最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门, 有 2 种方法, 于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4×3×2=24 种,故选 C. 5.将 5 名世博会志愿者全部分配给 4 个不同的地方服务,不同的分配方案有( D A.8 B.15 C.512 D.1024 )

[解析] 由分步计数原理得 4×4×4×4×4=1024,故选 D. 6.如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有 6 个焊接点 A、B、C、D、E、F, 如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通,现在电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有 ( C )

A.6 种

B.36 种

C.63 种

D.64 种
6

[解析] 每个焊接点都有正常与脱落两种情况,只要有一个脱落电路即不通,∴共有 2 -1 =63 种.故选 C. 7.如图,某段电路由五个电阻组成,其中共有 6 个焊接点 A、B、C、D、E、F,如果某个焊 接点脱落,该段电路就会不通,现在电路 MN 间没有电流通过,那么焊接点脱落的可能性共 有( B )

1

A.14 种

B.49 种
3

C.16 种
3

D.64 种

[解析] 支路 A、B、C 有 2 -1=7 种.支路 D、E、F 有 2 -1=7 种.∴共有 7×7=49 种, 故选 B. 8.210 所有正约数的个数共有( C ) A.12 个 [解析] B.14 个 C.16 个 D.20 个

由于 210=2×3×5×7,则 2、3、5、7 中的任意一个数,或两个数之积,或三个

数 之 积 , 或 四 个 数 之 积 , 都 是 210 的 约 数 . 又 1 也 是 一 个 约 数 , 所 以 约 数 共 有
1 2 3 4 +1=16(个) C4 ? C4 ? C4 ? C4

9. 某班 2011 年元旦联欢会原定的 9 个歌唱节目已排成节目单, 但在开演前又增加了两个新 节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( A.110 B.120 C.20 D.12 A )

[解析] 先将其中一个节目插入原节目单的 9 个节目形成的 10 个空中有 10 种方法, 再把另 一个节目插入前 10 个节目形成的 11 个空中有 11 种插法. 由乘法原理知有 10×11=110 种. 10.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取 法种数是( A.90 二、填空题 11. 设集合 A 中有 3 个元素, 集合 B 中有 2 个元素, 可建立 A→B 的映射的个数为_____8___. [解析] 建立映射, 即对于 A 中的每一个元素, 在 B 中都有一个元素与之对应, 有 2 种方法, 故由分步乘法计数原理,共有映射 2 =8(个). 12.设椭圆
3

) B.10 C.20 D.40

x2 y2 ? =1 的焦点在 y 轴上,m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样 m n

的椭圆个数为_____20______. [解析] 曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,∴n>m.当 m=1 时,n 有 6 种取法,当 m=2 时,n 有 5 种取法……当 m=5 时 n 有 2 种取法,∴这样的椭圆共有 6+5+4+3+2=20 个. 13.已知 m∈{3,4,5},n∈{0,2,7,8},r∈{1,8,9},则方程(x-m) +(y-n) =r 可以表示 不同圆____36____个. [解析] 只有 m、n、r 都确定后,圆的方程才能确定,由分步乘法计数原理知共表示不同圆 3×4×3=36 个. 三、解答题 14.有不同的数学书 11 本,不同的物理书 8 本,不同的化学书 5 本,从中取出不同学科的
2
2 2 2

书 2 本,有多少种不同的取法? [解析] 从这些书中取出不同学科的书 2 本,有三类办法:第一类办法是数学书、物理书各 取 1 本;第二类办法是数学书、化学书各取 1 本;第三类办法是物理书、化学书各取 1 本, 每类办法又可分成两步完成, 即依次取出不是同一学科的书各 1 本, 根据加法原理和乘法原 理,得到不同的取法种数是 11×8+11×5+8×5=183(种). 15. 若直线方程 Ax+By=0 中的 A、 B 可以从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同直线共有多少条? [解析] 分两类完成: 第 1 类,当 A 或 B 中有一个为 0 时,表示的直线为 x=0 或 y=0,共 2 条; 第 2 类,当 A,B 不为 0 时,直线 Ax+By=0 被确定需分两步完成. 第 1 步,确定 A 的值,有 4 种不同的方法; 第 2 步,确定 B 的值,有 3 种不同的方法. 由分步乘法计数原理,共可确定 4×3=12 条直线. ∴由分类加法计数原理,方程所表示的不同直线共有 2+12=14 条. 16.有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名奖项. (1)学生甲参加了这三个运动项目,但只获得一个奖项,学生甲获奖的不同情况有多少种? (2)有 4 名学生参加了这三个运动项目,若一个学生可以获得多项冠军,那么各项冠军获得 者的不同情况有多少种? [解析] (1)三个运动项目,共有六个奖项,由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的 任何一个,∴甲有 6 种不同的获奖情况. (2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有 4 种不同的情况,故各项冠军获得者的不同情况 有 4×4×4=64(种).

3


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