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第二章 2.1 2.1.2 演绎推理


理解教材新知

突破常考题型
第 二 章 2.1 2.1.2

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2.1

合情推理与演绎推理

2.1.2

演绎推理

演绎推理
[提出问题]

看下面

两个问题: (1)一切奇数都不能被2整除,(22 012+1)是奇数,所以 (22 012+1)不能被2整除; (2)两个平面平行,则其中一个平面内的任意直线必平 行于另一个平面,如果直线a是其中一个平面内的一条直 线,那么a平行于另一个平面. 问题1:这两个问题中的第一句都说的什么?

提示:都说的是一般原理.

问题2:第二句又说的什么?

提示:都说的是特殊示例.

问题3:第三句呢?

提示:由一般原理对特殊示例做出判断.

[导入新知]
1.演绎推理的概念 从 一般性 的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论的推理 称为演绎推理. 2.三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的 一般原理 ; (2)小前提——所研究的 特殊情况 ; (3)结论——根据 一般原理 ,对 特殊情况 做出的判断. “三段论”可以表示为: 大前提: M是P ; 小前提: S是M ; 结论: S是P .

[化解疑难]

演绎推理的三个特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结 论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于 前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系, 只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必 定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理.

把演绎推理写成三段论的形式
[例 1] 将下列演绎推理写成三段论的形式:

(1)一切奇数都不能被 2 整除,75 不能被 2 整除,所以 75 是 奇数; (2)三角形的内角和为 180°,Rt△ABC 的内角和为 180°; (3)菱形对角线互相平分; (4)通项公式为 an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.

[解]

(1)一切奇数都不能被2整除.??????大前提

75不能被2整除,??????????????小前提 75是奇数.?????????????????结论 (2)三角形的内角和为180°,?????????大前提 Rt△ABC是三角形,?????????????小前提 Rt△ABC的内角和为180°. ??????????结论 (3)平行四边形对角线互相平分,????????大前提 菱形是平行四边形,?????????????小前提 菱形对角线互相平分.?????????????结论

(4)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}为 等差数列,?????????????????大前提 通项公式 an=3n+2,n≥2 时, an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(常数),????小前提 通项公式为 an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列. ????????????????????????结论

[类题通法] 三段论的推理形式 三段论推理是演绎推理的主要模式,推理形式为“如 果b?c,a?b,则a?c”.其中,b?c为大前提,提供了 已知的一般性原理;a?b为小前提,提供了一个特殊情 况;a?c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.

[活学活用] 把下列推断写成三段论的形式: (1)y=sin x(x∈R)是周期函数; (2)若两个角是对顶角,则这两个角相等,所以若∠1和∠2是 对顶角,则∠1和∠2相等.
解:(1)三角函数是周期函数,?????????大前提 y=sin x(x∈R)是三角函数,??????????小前提 y=sin x(x∈R)是周期函数.??????????结论 (2)两个角是对顶角,则这两个角相等,?????大前提 ∠1和∠2是对顶角,?????????????小前提 ∠1和∠2相等.???????????????结论

三段论在证明几何问题中的应用
[例 2] 用三段论证明并指出每一步推

理的大、小前提.如图,在锐角△ABC 中, AD,BE 是高线,D,E 为垂足,M 为 AB 的中点.求证:ME=MD.

[证明]

∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形,

在△ABD中,AD⊥CB,∠ADB=90°,???小前提 ∴△ABD为直角三角形.??????????结论 同理△ABE也为直角三角形.

∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,???大前提 M是直角△ABD斜边AB上的中点,DM为中线,??小前提 1 ∴DM= AB. ?????????????????结论 2 1 同理EM= AB. 2 ∵和同一条线段相等的两条线段相等,??????大前提 1 1 DM= AB,EM= AB,????????????小前提 2 2 ∴MD=ME. ?????????????????结论

[类题通法] 三段论在几何问题中的应用 (1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们以 前学过的平面几何与立体几何的证明,都不自觉地运用了这 种推理,只不过在利用该推理时,往往省略了大前提. (2)几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都 可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情 况,就能得出相应结论.

[活学活用] 已知在梯形ABCD中,如图,AB=CD=AD,AC和BD是梯 形的对角线,求证:AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.

证明:∵等腰三角形两底角相等,???????大前提 △DAC是等腰三角形,∠1和∠2是两个底角,????? ??????????????????????小前提

∴∠1=∠2. ?????????????????结论 ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,??大前提 ∠1和∠3是平行线AD,BC被AC截得的内错角,??小前提 ∴∠1=∠3. ?????????????????结论 ∵等于同一个角的两个角相等,????????大前提 ∠2=∠1,∠3=∠1,????????????小前提 ∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD. ????????结论 同理可证DB平分∠CBA.

演绎推理在代数中的应用
[例 3] x-2 已知函数 f(x)=a + (a>1),求证:函数 f(x) x+1
x

在(-1,+∞)上为增函数.

[证明]

如果在(-1,+∞)上f′(x)>0,那么函数f(x)

在(-1,+∞)上是增函数,??????????大前提 3 ∵a>1,∴f′(x)=a ln a+ 2>0,????小前提 ?x+1?
x

所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.???结论

[类题通法] 使用三段论应注意的问题 (1)应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内 在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质 (大前提),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能 得出正确的结论. (2)证明中常见的错误: ①条件分析错误(小前提错); ②定理引入和应用错误(大前提错); ③推理过程错误等.

[活学活用] b b+m 已知a,b,m均为正实数,b<a,用三段论形式证明a< . a+m
证明:因为不等式(两边)同乘一个正数,不等号不改变方 向,?????????????????????大前提 b<a,m>0,?????????????????小前提 所以,mb<ma. ????????????????结论 因为不等式两边同加上一个数,不等号不改变方向,?? ???????????????????????大前提 mb<ma,??????????????????小前提

所以,mb+ab<ma+ab,即b(a+m)<a(b+m).???结论 因为不等式两边同除以一个正数,不等号不改变方向,?? ???????????????????????大前提 b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,????????小前提 b?a+m? a?b+m? b b+m 所以, < ,即a< .???????结论 a?a+m? a?a+m? a+m

6.混淆三段论的大小前提而致误
[典例] 定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈

R,有f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,求证:f(x)是 偶函数. 证明:令x=y=0, 则有f(0)+f(0)=2f(0)×f(0), 因为f(0)≠0,所以f(0)=1. 令x=0,

则有f(-y)+f(y)=2f(0)f(y)=2f(y), 所以f(-y)=f(y), 因此,f(x)是偶函数. 以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三 段论”,其中大前提是:____________________________
[ 解析 ] 通过两次赋值先求得 “f(0) = 1” ,再证得 “f(-y)=f(y)”,从而得到结论“f(x)是偶函数”.所以这 个三段论推理的小前提是 “f(-y)=f(y)”,结论是“f(x)是 偶函数”,显然大前提是“若对于定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=f(x),则 f(x)是偶函数”. [答案] 若对于定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 f(x)是偶函数

[易错防范] 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式:大前提 ——小前提——结论,其中大前提是一个一般性的命题, 即证明这个具体问题的理论依据.因此结合f(x)是偶函数的 定义和证明过程容易确定本题答案.本题易误认为题目的 已知条件为大前提而导致答案错误.

[成功破障] 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的 是 数;结论:π是无限不循环小数 B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无限 不循环小数;结论:π是无理数 C.大前提:π是无限不循环小数;小前提:无限不循环小 数是无理数;结论:π是无理数 D.大前提:π是无限不循环小数;小前提:π是无理数; 结论:无限不循环小数是无理数 ( ) A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无理

解析:A 中小前提与大前提间逻辑错误,CD 都不是由一般 性结论到特殊性结论的推理,所以 ACD 都不正确,只有 B 的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确. 答案:B

[随堂即时演练]
1.“四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相 等”,补充该推理的大前提是 A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等 C.等腰梯形的对角线相等 D.矩形的对边平行且相等
解析:得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是 “矩形的对角线相等”. 答案:B

(

)

2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=log 1 x是
3

对数函数(小前提),所以y=log 面推理错误的原因是 A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错

1 3

x是增函数(结论).”上 ( )

D.大前提和小前提都错导致结论错

解析:大前提是错误的,因为对数函数y=logax(0<a <1)是减函数. 答案:A

3.求函数y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提 是 a 有意义,即a≥0,小前提是 log2x-2 有意义,结 论是________.

解析:由三段论的形式可知,结论是log2x-2≥0. 答案:log2x-2≥0

1 4.用三段论证明函数f(x)=x+x在(1,+∞)上为增函数的过 程如下,试将证明过程补充完整: ①___________________________??????大前提 ②____________________________??????小前提 ③___________________________????????结论

答案:①如果函数f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两 个值x1,x2,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),那么函数f(x)在给定区 间内是增函数. ②任取x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,则f(x1)-f(x2)= ?x1-x2??x1x2-1? ,由于1<x1<x2,故x1-x2<0,x1x2>1, x1x2 即x1x2-1>0,所以f(x1)<f(x2). 1 ③函数f(x)=x+x在(1,+∞)上为增函数.

5.将下列推理写成“三段论”的形式. (1)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和 方向; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对 角线相等; (3)0.332是有理数.
·

解:(1)向量是既有大小又有方向的量,?????大前提 零向量是向量,???????????????小前提 零向量也有大小和方向.???????????结论 (2)每一个矩形的对角线相等,?????????大前提 正方形是矩形,???????????????小前提 正方形的对角线相等.????????????结论 (3)所有的循环小数都是有理数,????????大前提 0.332是循环小数,?????????????小前提 0.332是有理数.??????????????结论
· ·

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2.1.2 演 绎 推 理

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2.1.2演绎推理

2.1.2演绎推理_数学_高中教育_教育专区。课题 主稿人 知识 技能 张晓锋 2.1.2 演绎推理 审核人 备课时间 上课时间 徐丹丹 年月年月 日日 教学目标 1.结合...