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【全国百强校】湖南省常德市第一中学高中数学必修一课件:311+方程的根与函数的零点(共21张PPT)


方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实根 函数图象与

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
.
y

. .
-1 -2

y

y

.1

/>-1

2

.2
x
-1

. .
1

.
3 2 1

5

0

.

4

1

2

3

1

-3 -4

.

0

.

.
2

.
1

.
2

.

x

-1

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=1 (1,0)

无实数根

X轴的交点

无交点

方 程 ax2 +bx+c=0 (a>0)的根

两个不相等的 实数根x1 、x2

有两个相等的 实数根x1 = x2

没有实数根



判别式

=b2-4ac

△>0
y a>0

△= 0
y a>0

△<0
y a>0

函 数 y= ax2 +bx+c (a>0)的图象 函数的图象 与 x 轴的交点

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与 x轴的交点的横坐标 即方程 f(x)=0 的根 零点是点吗?

函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

怎样求零点?
1.求下列函数的零点:

(1)f(x)=x2 +x - 2; (2)f(x)=x2-4x+4;

(3)f(x)=2x2-4x+3;

求函数 f(x)=x2+x-2 的零点。
解法1:解方程 x2+x-2=0 得 x1=-2 ,x2=1。
y

解法2:作出函数f(x)的图象,如右: 它与x轴有两个交点(-2,0), (1,0),所以函数f(x)=x2+x-2 的零点是 x1=-2,x2=1。

. . -4 -3 -2 -1

4 3 2

.
-1

1

0

1

.2

3

x

-2 -3 -4 -5 -6

.
BACK

求函数 f(x)=x2-4x+4 的零点
解法1:解方程 x2-4x+4=0 得 x1=x2=2。
y

解法2:作出函数f(x)的图象,如右: 它与x轴只有一个交点(2,0), 所以函数 f(x) = x2- 4x + 4 只有1个零点,x=2。

. .
3 2 1
-1

6 5 4

. . .

0

1

2

3

4

x

BACK

求函数 f(x)=2x2-4x+3 的零点。
解法1:由方程 2x2-4x+3=0 判别式△= - 4 < 0, 所以此函数无零点。
.
y
5
4 3 2 1
-1

解法2:作出函数f(x)的图象,如右:
它与x轴没有交点,所以函数 f(x)=2x2-4x+3无零点。

.

. .
1 2

.
3

0

x

怎样求函数的零点?
方法1 代数法:求方程的根,得出函数的零点。 方法2 几何法:作图,找出函数图象和 x 轴的 交点的横坐标。

2.求下列函数的零点:
(1)f(x)= -2x+6; (2)f(x)=2x; (3)f(x)=log2x;

求函数 f(x)= -2x+6 的零点。
解法1:解方程 -2x+6=0 得 x=3。 解法2:作出函数f(x)的图象,如右:
6 5 4 3 2

y

它与x轴有一个交点(3,0), 1 所以函数 f(x) = -2x+6 有一个 0 零点,x=3。

1

2

3

4

x

BACK

求函数 f(x)=2x 的零点。
解法1:因为方程 2x=0 无解,所以此函数无零点。
y

解法2:作出函数f(x)的图象,如右: 它与x轴没有交点,所以 函数f(x)=2x没有零点。

1

0

1

x

BACK

求函数 f(x)=log2x 的零点。
解法1:解方程 log2x=0 得x=1。 解法2:作出函数f(x)的图象,如右:
6 5 4 3 2

y

它与x轴有一个交点(1,0), 1 所以函数 f(x) = log2x 有一个 0 零点,x=1。

1

2

3

4

x

BACK

3.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点。
x f(x) 1 -4 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
14 12

解:列表,画图。 函数的零点 是 x=2.53…

10
8 6 4 2 0 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

-4

-6

X=2.53…

4.已知函数y=f(x)的部分图象如下,请思考:
(1)函数在区间 [a,b] 内有零点吗?为什么? (2)函数在区间 [c,d] 内有零点吗?为什么?
y

a b

c

d x

函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么函 数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根。
为什么要求 连续不断?

不等式可否变 为f(a)f(b)>0

已知函数y=f(x)的部分图象如下,请思考:
1.函数在哪些区间内有零点? 2.函数在哪些区间内有两个零点?三个零点?
y

a

d

b

c

e

x

3.如果函数f(x)在区间[a,b]内是增函数,且 满足f(a)f(b)<0,问函数f(x)在区间[a,b]内

有几个零点?
4.如果函数f(x)在区间[a,b]内是减函数,且 满足f(a)f(b)<0,问函数f(x)在区间[a,b]内

有几个零点?

3.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点。
x f(x) 1 -4 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
14

12
10

解:列表,画图。 函数的零点
是 x=2.53…

8 6 4 2 0 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

-4 -6

X=2.53…

课堂小结
1.什么是函数的零点? 2.怎样求函数的零点? 3.怎样判断函数零点是否存在?

课后作业
作业:P88---2 P92---2


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