nbhkdz.com冰点文库

第3章 第7节 正弦定理和余弦定理


2009~2013 年高考真题备选题库 第 3 章 三角函数、解三角形 第 7 节 正弦定理和余弦定理
考点 正、余弦定理及其应用
) B.9 D.5 本题主要考查三角函数的化简,考查利用余弦定理解三解形以及方程思

1. (2013 新课标全国Ⅰ,5 分)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,23cos2A+c

os 2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 解析:选 D

1 想.化简 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2 A-1=0,解得 cos A= .由余弦定理,知 5 a2=b2+c2-2bccos A,代入数据,解方程,得 b=5. 2. (2013 山东,5 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a =1,b= 3,则 c=( A.2 3 C. 2 解析:选 B ) B.2 D.1 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,考查运算能力和分类讨论思 1 3 3 3 3 = = = ,所以 cos A= ,A=30° . sin A sin B sin 2A 2sin Acos A 2 3 ,整理得 c2-3c+2=0,解得 c=1 或 c= 2

想.由已知及正弦定理得

结合余弦定理得 12=( 3)2+c2-2c× 3× 2.

当 c=1 时,△ABC 为等腰三角形,A=C=30° ,B=2A=60° ,不满足内角和定理,故 c=2. 3. (2013 辽宁,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos 1 C+csin B cos A= b,且 a>b,则∠B=( 2 π A. 6 2π C. 3 ) π B. 3 5π D. 6

解析:选 A 本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理,意在考查考生对 1 三角函数基础知识和基本技能的掌握情况.边换角后约去 sin B,得 sin(A+C)= ,所以 sin 2

1

1 π B= ,但∠B 非最大角,所以∠B= . 2 6 1 4. (2013 北京,5 分)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 A. 5 C. 5 3 5 B. 9 D. 1 )

解析:选 B 本题主要考查正弦定理,意在考查考生对正、余弦定理掌握的熟练程度, 属于容易题. 依题意,由 a b 3 5 5 = ,即 = ,得 sin B= ,选 B. sin A sin B 1 sin B 9 3

5.(2013 陕西,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 bcos C+ccos B=a sinA,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 )

B.直角三角形 D.不确定

解析:本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用.依据题设条件的特点,由正弦定 理,得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有 sin(B+C)=sin2A,从而 sin(B+C)=sin A=sin2A, π 解得 sin A=1,∴A= ,故选 B. 2 答案:B. 6.(2100 湖南,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120° , c= 2a,则( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

解析:法一:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120° ,b2+ab-a2=0, b b 即( )2+ -1=0, a a b -1+ 5 = <1, a 2 故 b<a. 法二:由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120° , a2 b +ab-a =0,b= , a+b
2 2

由 a<a+b 得,b<a. 答案:A

2

7. (2012 广东,5 分)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2

)

BC AC 3 2 AC 3 2 2 解析:由正弦定理得: = ,即 = ,所以 AC= × =2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° 2 3 2 答案:B 8. (2012 陕西,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2, π B= ,c=2 3,则 b=________. 6 解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=4+12-2×2×2 3× 答案:2 9. (2011 新课标全国,5 分)△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积 为________. 解析:设 BC=x,由余弦定理得 49=25+x2-10xcos120° , 整理得:x2+5x-24=0,即 x=3. 1 1 3 15 3 因此 S△ABC= AB×BC×sinB= ×3×5× = . 2 2 2 4 15 3 答案: 4 b a 10. (2010 江苏,5 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + a b tanC tanC =6cosC,则 + 的值是________. tanA tanB 1 解析:取 a=b=1,则 cosC= , 3 4 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 2 3 ∴c= , 3 在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 2 2 又 sinC= ,tanC=2 2, 3 ∴ tanC tanC + =4. tanA tanB 3 =4,所以 b=2. 2

3

a2+b2 a2+b2-c2 b a 3 另解:由 + =6cosC 得, =6· ,即 a2+b2= c2, a b ab 2ab 2 ∴ tanC tanC cosA cosB sin2C 2c2 + =tanC( + )= = 2 2 2=4. tanA tanB sinA sinB cosCsinAsinB a +b -c

答案:4 11. (2013 福建,12 分)如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90° ,OP=2 2,点 M 在线段 PQ 上. (1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30° ,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最 小?并求出面积的最小值. 解:本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础 知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合 思想、化归与转化思想. (1)在△OMP 中,∠OPM=45° ,OM= 5,OP=2 2,由余弦定理,得 OM2=OP2+ MP2-2×OP×MP×cos 45° , 得 MP2-4MP+3=0, 解得 MP=1 或 MP=3. (2)设∠POM=α,0° ≤α≤60° , OM OP 在△OMP 中,由正弦定理,得 = , sin ∠OPM sin ∠OMP OPsin 45° 所以 OM= , sin?45° +α? OPsin 45° 同理 ON= . sin?75° +α? 1 故 S△OMN= ×OM×ON×sin ∠MON 2 1 OP2sin2 45° = × 4 sin?45° +α?sin?75° +α? = = 1 sin?45° +α?sin?45° +α+30° ? 1 3 1 ? sin?45° +α?? sin?45° +α?+ cos?45° +α? 2 2 ? ? 1 3 2 1 sin ?45° +α?+ sin?45° +α?cos?45° +α? 2 2 1 3 1 [1-cos?90° +2α?]+ sin?90° +2α? 4 4
4







1 3 3 1 + sin 2α+ cos 2α 4 4 4 . 3 1 + sin?2α+30° ? 4 2 1



因为 0° ≤α≤60° ,则 30° ≤2α+30° ≤150° ,所以当 α=30° 时,sin(2α+30° )的最大值为 1,此时△OMN 的面积取到最小值.即∠POM=30° 时,△OMN 的面积的最小值为 8-4 3. 12. (2013 浙江,14 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin B= 3b. (1)求角 A 的大小; (2) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解:本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识,同时考查运 算求解能力. a b 3 (1)由 2asin B= 3b 及正弦定理 = ,得 sin A= . sin A sin B 2 π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3 (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36. 28 又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 由三角形面积公式 S= bcsin A,得 2 7 3 △ABC 的面积为 . 3 13. (2013 天津,13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin 2 A=3csin B,a=3,cos B= . 3 (1)求 b 的值; π? (2)求 sin? ?2B-3?的值. 解:本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦 公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. a b (1)在△ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=3csin B,可得 a= sin A sin B 3c,又 a=3,故 c=1. 2 由 b2=a2+c2-2accos B,cos B= ,可得 b= 6. 3

5

2 5 1 (2)由 cos B= ,得 sin B= ,从而得 cos 2B=2cos2 B-1=- ,sin 2B=2sin Bcos B= 3 3 9 4 5 . 9 π? π π 4 5+ 3 所以 sin? ?2B-3?=sin 2Bcos 3-cos 2Bsin 3= 18 . 14. (2012 江西,12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B -C)-1=6cos Bcos C. (1)求 cos A; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c. 解:(1)由 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C, 得 3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1, 1 即 cos(B+C)=- , 3 1 从而 cos A=-cos(B+C)= . 3 1 2 2 (2)由于 0<A<π,cos A= ,所以 sin A= . 3 3 1 又 S△ABC=2 2,即 bcsin A=2 2,解得 bc=6. 2 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2=13,
? ? ? ?bc=6, ?b=2, ?b=3, 解方程组? 2 2 得? 或? ?b +c =13, ? ?c=2. ? ?c=3, ?

15.(2011 安徽,13 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3, b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 解:由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π-A,得 1 3 1-2cosA=0,所以 cosA= ,sinA= . 2 2 bsinA 2 再由正弦定理,得 sinB= = . a 2 π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< ,从而 2 cosB= 1-sin2B= 2 . 2 6+ 2 2 3 1 ×( + )= . 2 2 2 4 3+1 . 2

由上述结果知 sinC=sin(A+B)=

设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC=

16.(2010 辽宁,12 分)在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=
6

(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

7


第3章 第7节 正弦定理和余弦定理

第3章 第7节 正弦定理和余弦定理_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第3章 第7节 正弦定理和余弦定理_数学_高中教育_教育专区。2010...

第3章 第7节 正弦定理和余弦定理

2009~2013 年高考真题备选题库 第 3 章 三角函数、解三角形 第 7 节 正弦定理和余弦定理考点 正、余弦定理及其应用 ) π 1.(2013 天津,5 分)在△ABC 中...

《3.7第七节 正弦定理和余弦定理》 教案

《3.7第七节 正弦定理和余弦定理》 教案_数学_高中教育_教育专区。一轮复习标准教案正弦定理和余弦定理适用学科 适用区域 数学 新课标 使用正弦定理要注意的问题 ...

第三章第7讲正弦定理和余弦定理

第三章第7正弦定理和余弦定理_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 第三章第7正弦定理和余弦定理_数学_高中教育_教育专区。正弦定理和余弦...

第三章第7讲正弦定理与余弦定理

第三章第7正弦定理与余弦定理_数学_高中教育_教育专区。第 7正弦定理与余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理内容 正弦定理 a b c ===2R(R 为 sin ...

第三章 第7节 正弦定理和余弦定理

第三章第七节正弦定理和余弦定理题组一 正、余弦定理的简单应用 1.(2009广东高考)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6+ 2,且...

2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理 Word版含解析

2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理 Word版含解析_高中教育_教育专区。2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第3章 第7节 ...

第3章 第7讲 正弦定理和余弦定理

第3章 第7正弦定理和余弦定理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三章一、选择题 第七讲 A 组 基础巩固 1. (2015· 兰州诊断)在△ABC 中, 内角 A...

第三章第7讲正弦定理、余弦定理

第三章第7讲正弦定理、余弦定理_数学_高中教育_教育专区。第 7 讲 正弦定理、余弦定理 ,[学生用书 P70~P71]) 1.正弦定理和余弦定理 定理内容 正弦定理 a b...