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1.1.3集合的基本运算

时间:2016-11-17


非凡教育,成就非凡!

非凡教育个性化辅导授课案
教师: 郑杨 学生 课题
知识点 1:并集(重点) 1.并集的定义:
合A或属于集合B的元素 ?文字语言 ? 集合A与B的并集是由所有属于集 ? A ? B(读作“A并B” ) ?组成的集合,记作 定义? ?符号语言 ? A ? B ? {x | x ? A或x ? B} ?图形语

言 ? ?

时间:2015 年 月__日



1.1.3 集合的基本运算

对定义中 “所有” 二字的理解, 不能认为 A ? B 是由 A 的所有元素和 B 的所有元素简单拼凑而成, 要注意集合中元素的互异性,相同的元素即 A与B 得公共元素在并集中写出一个即可. 2.用 V enn 图表示 A ? B .

3.并集的运算性质: (1)并集满足交换律,即 A ? B ? B ? A . (2)任何集合同自身的并集,等于集合自身,即 A ? A ? A .

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(3)任何集合同空集的并集,等于集合自身,即 A ? ? ? ? ? A ? A . (4)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集,即 A ? A ? B , B ? A ? B . (5)若两个集合的并集等于其中一个集合,则另一个集合是该集合的子集,即若 A ? B ? B ,则
A ? B ;反之也成立,即若 A ? B ,则 A ? B ? B .

考查角度 1:并集概念的理解及运算 【例题 1】(1)集合 A ? {0,2, a} , B ? {1, a 2 } ,若 A ? B ? {0,1,2,4,16} ,则 a 的值为( A. 0 B.1 C. 2 D.4 )

(2)已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? ( A. {x | 2 ? x ? 3} B. {x | ?1 ? x ? 5} C. {x | ?1 ? x ? 5}



D. {x | ?1 ? x ? 5}

举一反三:①已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? 3} ,则 A ? B ?

.

} ,则 A?B 中的元素个数是 ② 设 集 合 A ? {x ? Z | ?2014? x ? 0} , 集 合 B ? {x ? Z || x |? 1007





A.2014

B.2015

C. 3022

D. 4028

考查角度 2:并集性质的应用(易错点) 【例题 2】设集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? 4x ? a ? 0,a为常数 } ,若 A ? B ? A , 求实数 a 的取值范围.

举一反三:已知集合 A ? {x | k ? 1 ? x ? 2k ? 1} , B ? {x | ?3 ? x ? 4} ,且 A ? B ? B ,试求实数 k 的 取值范围.

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知识点 2:交集(重点) 1.交集的定义:
A且属于集合B的所有元素 ?文字语言 ? 集合A与B的交集是由属于集合 ? A ? B(读作“A交B” ) ?组成的集合,记作 定义? ?符号语言 ? A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ?图形语言 ? ?

注意:(1)交集的定义中“所有”两字的含义是,不仅“ A ? B 中的任意元素都是 A 与 B 的公 共元素”,同时“ A 与 B 的公共元素都属于 A ? B ”. (2)并不是任意两个集合都有公共元素,当集合 A 与 B 没有公共元素时,不能说 A 与 B 没有交 集,而是 A ? B ? ? . 2. 用 V enn 图表示 A ? B .

3.交集的运算性质: (1)两个集合的交集满足交换律,即 A ? B ? B ? A . (2)一 个 集 合 与 其 本 身 的 交 集 是 集 合 自 身 , 与 空 集 的 交 集 是 空 集 , 即 A ? A ? A ,
A ?? ? ? ? A ? ?.

(3)两个集合的交集是其中一个任一集合的子集,即 A ? B ? A,A ? B ? B .

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(4)若两个集合的交集等于其中一个集合,则这个集合是另一个集合的子集,即若 A ? B ? A , 则 A ? B ;反之也成立,即若 A ? B ,则 A ? B ? A . (5)三个集合的交集满足结合律,即 (A ? B) ? C ? A ? (B ? C) . (6)对于集合 A,B,C ,有如下关系: A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C) ,
A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C) .

考查角度 1:交集运算 【例题 3】(1)集合 A ? {( x, y) | 4 x ? y ? 6} , B ? {( x, y) | 3x ? 2 y ? 7} ,则 A ? B ? ( A. {x ? 1或y ? 2} B. {1,2} C. {(1,2)}
(1,2)



(2)集合 A ? { y | y ? 2k ? 1, k ? Z} ,集合 B ? { y | y ? 4k ? 1, k ? Z} ,则 A ? B ? ( A. { y | y ? 2k ? 1, k ? Z} C. { y | y ? 4k ? 1, k ? Z} B. { y | y ? 4k ? 1, k ? Z} D. { y | y ? 2k ? 1, k ? Z}



2 改编:集合 A ? { y | y ? 2} ,集合 B ? {( x, y) | y ? x ? 2x ? 3, x ? R},则 A ? B ?

.

2 2 举一反三:①已知 M ? {x | y ? x ?1} , N ? { y | y ? x ?1} ,那么 M ? N ? (



A. { y | y ? ?1或0}

B. {x | x ? 1或0}

C. {(0,?1), (1,0)}

D. { y | y ? ?1}

②已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? Z}, N ? { y | y ? ? x 2 ? 2x, x ? Z} ,则 M ? N ?

.

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考查角度 2:利用集合的交集运算求参数值

2a ?1, a 2 } , B ? {a ? 5,1 ? a,9} ,分别求符号下列条件的 a 的值: 【例题 4】已知集合 A ? {0,
(1) 9 ? A ? B ; (2) A ? B ? {9} .

2 2 } , B ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} , 举 一 反 三 : 已 知 集 合 A ? {x | x ? ax ? a ?19 ? 0, a为常数

C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} ,当 a 为何实数时, A ? B ? ?与A ? C ? ? 同时成立?

知识点 3:补集(重点) 1.全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通 常记作 U . 注意:可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行,这个范围以外的问题不在我们研究 的范围以内,这时就有理由将所研究的这个范围视为全集,全集并不是固定不变的,它是依据 具体问题来加以选择的. 2.补集: 文字语言 符号语言 图形语言 全集 U 中子集 A 的补集是由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合

CU A ? {x | x ? U, 且x ? A}

注意:(1)补集是以“全集”为前提的,离开了全集,补集就无意义了,集合 A 在不同全集中 补集也是不同的,因而在描述补集概念时应注明是在哪个全集中的补集. (2)补集即是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,同时也是一种思想方法.

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(3) C U A 的三层含义:① C U A 表示一个集合;② A是U 的子集,即 A ? U ;③ C U A 是 U 中不 属于 A 的所有元素组成的集合,同时也满足 CU A ? U . 3.补集的相关性质: (1) CU U ? ? , CU? ? U , CU (CU A) ? A , A ? (CU A) ? U , A ? (CU A) ? ? . (2)若 A ? B ,则 CU A ? CU B ;反之,若 CU A ? CU B ,则 A ? B . (3)若 A ? B ,则 CU A ? CU B ;反之,若 CU A ? CU B ,则 A ? B . 考查角度 1:补集的简单运算 【例 题 5 】 已 知全集 U ? {x | x ? 4} ,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | ?3 ? x ? 3} ,求 C U A ,

C U (A ? B) .

改编:已知 U ? R ,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | ?3 ? x ? 3} ,求 C U A , C U (A ? B) .

举一反三:①下图中阴影部分表示的集合是( A. A ? (CU B) B. (CU A) ? B C. CU (A ? B)

) D. CU (A ? B)

② 对 于 集 合 A与B , 若 定 义 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} , 当 集 合 A ? {x | x ? 8, x ? N?} , 集 合
B ? {x | x( x ? 2)(x ? 5)(x ? 6) ? 0} 时,有 A ? B ?

.

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考查角度 2:利用补集关系求参数的取值范围(易错点) 【例题 6】设全集 U ? R ,集合 M ? {x | 3a ? 1 ? x ? 2a, a ? R} , N ? {x | ?1 ? x ? 3} ,若 N ? CU M , 求实数 a 的取值集合.

①设全集 U ? R ,A ? {x | x 2 ? px ? 12 ? 0} ,B ? {x | x 2 ? 5x ? q ? 0} , 举一反三: 若 (CU A) ? B ? {2} ,

A ? (CU B) ? {4} ,求 A ? B .

②设集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 5 ? 0} . (1)若 A ? B ? {2} ,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围; (3)若 U ? R , A ? (CU B) ? A ,求实数 a 的取值范围.

综合探究--应用拓展--培优拔尖 拔尖角度 1:用 V enn 图求集合中元素的个数(拓展点) 【例题 7】某实验班有 21 个学生参加数学竞赛,17 个学生参加物理竞赛,10 个学生参加化学竞 赛,他们之中即参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人,即参加数学竞赛又参加化学竞赛的有 6 人,即参加物理竞赛又参加化学竞赛的有 5 人,三科都参加的有 2 人,现在参加竞赛的学生都 要到外地学习参观,问需要预定多少张火车票?

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举一反三:①某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运 动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱兵乓球运动的人数为 .

②学校向 50 名学生调查对 A,B 两个事件的态度,有如下结果:赞成 A 的学生人数是全体的五 分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A,B 都不赞成 的 学 生 数 比 对 A,B 都 赞 成 的 学 生 数 的 三 分 之 一 多 1 人 . 则 对 A,B 都 赞 成 的 学 生 有 人,都不赞成的学生有 人。

③某车间有 120 名工人,其中乘电车上班的有 84 人,乘汽车上班的有 32 人,两种车都乘的有 18 人,求: (1)只乘电车的人数; (4)不乘车的人数; (2)不乘电车的人数; (5)只乘一种车的人数. (3)乘车的人数;

拔尖角度 2:利用德摩根定律解题(拓展点) 【 例 题 8 】 设 集 合 U ? {( x, y) | x, y ? R} , M ? {( x, y ) |
y ?3 ? 1} , N ? {( x, y) | y ? x ? 1} , 则 x?2

(CU M) ? (CU N) ?

.

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举一反三:①已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, (CU A) ? (CU B) 中有 n 个元素,若 A ? B 非空, 则 A ? B 的元素个数为( ) A. mn B. m ? n C. n ? m D. m ? n

②已知 U 是全集, A,B,C 均是 U 的非空子集,且 C ? A,A ? B ? ?,B ? C ? ? ,
A ? B ? U,B ? C ? U ,则下列关系中正确的是

.(填序号)

① (CU A) ? (CUC) ? U ;② (CU B) ? (CUC) ? U ;③ (CU A) ? (CU B) ? ? ; ④ (CU B) ? (CUC) ? ? ;⑤ (CU A) ? (CUC) ? B ;⑥ (CU A) ? (CU B) ? U .

③已知全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A ? {0,1,3,5,8} ,集合 B ? {2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) ? ( )
8} A. {5,

B. {7,9}

C. {0,1,3}

D. [2,4,6}

拔尖角度 3:补集思想,正难反易解题
2 【例题 9】已知集合 A ? {x | x ? 4mx? 2m ? 6 ? 0} , B ? {x | x ? 0} ,若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取

值范围.

举 一 反 三 : ① 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x | 3 ? x ? 4} , B ? { y | y ? a ?1或y ? 2a} , 若

A ? (CU B) ? ? ,求实数 a 的取值范围.

②若三个关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? 3 ? 4a ? 0 , x 2 ? (a ? 2) x ? a 2 ? 0 , x 2 ? ax ? 3a ? 0 中至多有两个 方程有实根,求实数 a 的取值范围.

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拔尖角度 4:集合运算中的创新问题(拓展点) 【例题 10】设 U 为全集,对于集合 X,Y ,定义运算“ ? ”,满足 X ? Y ? (CU X) ? Y ,则对于 任意集合 X,Y,Z , X ? (Y ? Z) ? ( A. (X ? Y) ? (CU Z) C. [(CU X) ? (CU Y)] ? Z ) B. (X ? Y) ? (CU Z) D. (CU X) ? (CU Y) ? Z

①若任意 a ? M , 举一反三: 则? a?M , 就称集合 M(M ? ?) 是一个 “对称集合” .已知全集 U ? R ,
A ? {x | x ? ?1} , B ? {x | x ? 1} ,那么下列集合中是“对称集合”的是(



A. A ? B

B. A ? B

C. (CU A) ? B

D. A ? (CU B)

②若 X 是一个集合, ? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:① X属于? , ?属于? ; ② ? 中任意多个元素的并集属于 ? ;③ ? 中任意多个元素的交集属于 ? ,则称 ? 是集合 X 上的一 个拓扑. 已知集合 X ? {a, b, c} ,对于下面给出的四个集合 ? :
{a}, {c}, {a, b, c}} ; ① ? ? {?,

{b},{c},{b, c},{a, b, c}} ; ② ? ? {?,
{a}, {a, c}, {a, b}} ; ③ ? ? {?,

{a, c},{b, c},{c},{a, b, c}} . ④ ? ? {?,

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其中是集合 X 上的拓扑的集合 ? 的序号是

.

思维拓展:
2 【例题 1】已知集合 A ? {( x, y) | y ? x ? mx? 2}, B ? {( x, y) | y ? x ? 1, 且0 ? x ? 2} ,若 A ? B ? ? ,

求实数 m 的取值范围.

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字:________ 教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: ○特别满意 ○特别满意 ○满意 ○满意 ○一般 ○一般 ○差 ○差 教师签字: 教务处审核:

教导主任签字:________

非凡教育教务处制

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