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2012届高三数学一轮复习单元检测【新人教】(3):


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2012 届高三数学一轮复习单元检测【新人教】 (3) 命题范围:立 : 体几何
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代

号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1.一条直线与一个平面所成的角等于 线的位置关系 ( ) A.必定相交 B.平行 C.必定异面 2.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ( ) A. D.不可能平行

? ? ,另一直线与这个平面所成的角是 。则这两条直 3 6

352 3 cm 3

B.

320 3 cm 3

C.

224 3 cm 3

D.

160 3 cm 3

3.如图,若 ? 是长方体 ABCD ? A B C1 D 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到 1 1 1 的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点, F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且

EH / / A1D1 ,则下列结论中不正确的是 ...
( A. EH / / FG C. ? 是棱柱 ) B.四边开 EFGH 是矩形 D. ? 是棱台

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4.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 ( ) A.75° B.60° C.45° 5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m

D.30°

B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

6.与正方体 ABCD? A B C D的三条棱 AB 、 CC1 、 A1D1 所在直线的距离相等的点 1 1 1 1 ( A.有且只有 1 个 C.有且只有 3 个 ) B.有且只有 2 个 D.有无数个

7.已知正四棱锥 S ? ABCD中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 ( A.1 ) C.2 D.3

B. 3

8. 已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC , SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 ( ) A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

9.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 ( ) A. (0, 6 ? 2 ) C. ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) B. 2 2 ) (1, D. 2 2 ) (0,

10.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一 个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动, 经过其余三点后返回, 则经过的最短路程 是 ( ) A. 2? R B. ? R

7 3

C. ? R

8 3

D.

7? R 6

11.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,
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BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
A.4 ? ( ) B.3 ?

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C.2 ?

D. ?

12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里, 这个正四面体的高的最小 值为 ( A. )

3?2 6 3

B.2+

2 6 3

C.4+

2 6 3

D.

4 3?2 6 3

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.某地球仪上北纬 30 纬线的长度为 12? cm ,该地球仪的半径是__________cm,表面积
?

是______________cm2。 14.如图,矩形 ABCD 中,DC= 3 ,AD=1,在 DC 上截取 DE=1,将△ ADE 沿 AE 翻折到 D1 点,点 D1 在平面 ABC 上的射影落在 AC 上时, 二面角 D1—AE—B 的平面角的余弦值是 。 15.如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面 面积依次为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 。

16.如图,在透明材料制成的长方体容器 ABCD—A1B1C1D1 内灌注一 些水,固定容器底面一边 BC 于桌面上,再将容器倾斜根据倾斜度 A1 的不同,有下列命题: (1)水的部分始终呈棱柱形; D (2)水面四边形 EFGH 的面积不会改变; B (3)棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; B A (4)当容器倾斜如图所示时,BE·BF 是定值。 E 其中所有正确命题的序号是 。

C B1
D1
1

F B

C

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分) 。 17. (12 分)在平面 α 内有△ABC,在平面 α 外有点 S,斜线 SA⊥AC,SB⊥BC,且斜线 SA、 SB 与平面 α 所成角相等。 (1)求证:AC=BC (2)又设点 S 到 α 的距离为 4cm,AC⊥BC 且 AB=6cm,求 S 与 AB 的距离。

18. (12 分)平面 EFGH 分别平行空间四边形 ABCD 中的 CD 与 AB 且交 BD、AD、AC、 BC 于 E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥AB. (1)求证 EFGH 为矩形; (2)点 E 在什么位置,SEFGH 最大?

19. (12 分)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗 用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面) 。 (Ⅰ)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米) ; (Ⅱ)若要制作一个如图放置的,底面半径为 0.3 米的灯笼,请作出用于灯笼的三视 图(作图时,不需考虑骨架等因素) 。

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20. (12 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,其中 AB=3,PA=4,若在线 段 PD 上存在点 E 使得 BE⊥CE,求线段 AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有 一个点 E 使得 BE⊥CE 时,二面角 E—BC—A 正切值的大小。

P

A D

B

C

21. (14 分)如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是 AB=2,BC= 2 的矩形,侧面 PAB 是等边 三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD (I)证明:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (II)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (III)求直线 AB 与平面 PCD 的距离.

22. (14 分)如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,三棱柱的 底面为圆柱底面的 内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径。 (I)证明:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BCC ; (II)设 AB=AA 1 ,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自三棱柱 ABC ? A1B1C1 内 的概率为 p 。 (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;
? ? (ii)如果平面 A ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? (0 ? ? ? 90 ) 。当 p 取最大值时, 1

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求 cos ? 的值。

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参考答案
一、选择题 1.D;2.B;3.D;4.C;5.B;6.D;7.C;8.D;9.A;10.B;11.A;12.B; 二、填空题 13. 4 3 , 192? ;14. 2 ? 3 ;15. S3 ? S2 ? S1 ;16.①③④; 三、解答题 17. (1)证明:过 S 作 SO⊥面 ABC 于 O

2 2 ?S 到 AB 的距离为 4 ? 3 =5cm.

又∵AB⊥CD ? EF⊥FG ? EFGH 为矩形. (2)AG=x,AC=m,

GH x ? a m

a GH= m x b GF= m (m-x)

GF m ? x m ? x ? b m = m

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a b m SEFGH=GH· GF= m x· (m-x)

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m2 m2 ab ab ) 2 2 = m (mx-x2)= m (-x2+mx- 4 + 4 m2 ab m 2 = m [-(x- 2 )2+ 4 ]
m ab m 2 ab 2 当 x= 2 时,SEFGH 最大= m · 4 = 4 .
19. (Ⅰ) 设圆柱形灯笼的母线长为 l, l?1. (0<r<0. , 解: 则 2?2r 6) S??3? (r?0. 2?0. ?, 4) 48 所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; (Ⅱ) 当 r?0.3 时,l?0.6,作三视图略. 20.若以 BC 为直径的球面与线段 PD 有交点 E,由于点 E 与 BC 确定的平面与球的截面是 一个大圆,则必有 BE⊥CE,因此问题转化为以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点。 设 BC 的中点为 O(即球心) ,再取 AD 的中点 M,易知 OM⊥平面 PAD,作 ME⊥PD 交 PD 于点 E,连结 OE,则 OE⊥PD,所以 OE 即为点 O 到直线 PD 的距离,又因为 OD>OC,OP>OA>OB,点 P,D 在球 O 外,所以要使以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点,只要使 OE≤OC(设 OC=OB=R)即可。 由于△DEM∽△DAP,可求得 ME=

4R 16 ? 4 R 2



所以 OE2=9+

4R 2 4 ? R2

令 OE2≤R2,即 9+

4R 2 ≤R2 ,解之得 R≥2 3 ; 4 ? R2

所以 AD=2R≥4 3 ,所以 AD 的取值范围[ 4 3 ,+∞ ) , 当且仅当 AD= 4 3 时,点 E 在线段 PD 上惟一存在,此时易求得二面角 E—BC—A 的 平面角正切值为

1 。 2

21. (I)证明:在矩形 ABCD 中,BC⊥AB 又∵面 PAB⊥底面 ABCD 侧面 PAB∩底面 ABCD=AB ∴BC⊥侧面 PAB 又∵BC ? 侧面 PBC ∴侧面 PAB⊥侧面 PBC) (II)解:取 AB 中点 E,连结 PE、CE 又∵△PAB 是等边三角形 ∴PE⊥AB 又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,∴PE⊥面 ABCD ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角

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PE ? 3 BA ? 3 2

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CE ? BE 2 ? BC 2 ? 3

在 Rt△PEC 中,∠PCE=45°为所求 (Ⅲ)解:在矩形 ABCD 中,AB//CD ∵CD ? 侧面 PCD,AB ? 侧面 PCD,∴AB//侧面 PCD 取 CD 中点 F,连 EF、PF,则 EF⊥AB 又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面 PEF 又∵AB//CD ∴CD⊥平面 PEF ∴平面 PCD⊥平面 PEF 作 EG⊥PF,垂足为 G,则 EC⊥平面 PCD 在 Rt△PEF 中,EG=

PE ? EC 30 为所求 ? PF 5

22.解: (Ⅰ)因为 AA1 ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,所以 AA1 ? BC , 因为 AB 是圆 O 直径, 所以 BC ? AC , AC ? A 又 A
1

所以 A , BC ? 平面 A1ACC1 , ?

而 BC ? 平面 B1BCC1 ,所以平面 A1ACC1 ? 平面 B1BCC1 。 (Ⅱ) (i)设圆柱的底面半径为 r ,则 AB= AA1 =2r ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为

1 V1 = AC ? BC ? 2r = AC ? BC ? r , 2
又因为 AC ? BC =AB =4r ,
2 2 2 2

AC2 +BC2 2 所以 AC ? BC ? = 2r ,当且仅当 AC=BC= 2r 时等号成立, 2
从而 V ? 2r3 ,而圆柱的体积 V=? r ? 2r=2? r , 1
2 3

故p=

V1 2r 3 1 ? = , 当且仅当 AC=BC= 2r ,即 OC ? AB 时等号成立, V 2? r 3 ?
1

所以 p 的最大值是

?



(ii)由(i)可知, p 取最大值时, OC ? AB ,于是以 O 为坐标原点,建立空间直角 坐标系 O-xyz (如图) ,则 C(r,0,0) ,B(0,r,0) B1 (0,r,2r) , , 因为 BC ? 平面 A1ACC1 ,所以 BC=(r,-r,0) 是平面 A1ACC1 的一个法向量,

??? ?

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?

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设平面 B1OC 的法向量 n=(x,y,z) ,

? ??? ? ?n ? OC ?rx ? 0 ?x ? 0 ? 由 ? ? ???? 得 ? ,故 ? , ? ? y ? ?2 z ?n ? OB1 ?ry ? 2rz ? 0 ? ? ? ? 取 z ? 1 得平面 B1OC 的一个法向量为 n=(0,-2,1) ,因为 0 <? ? 90 ,
? ??? ? ? ??? ? n ? BC ??? ? ? 所以 cos ? ?| cos n,BC |= ? | n | ? | BC | 2r 10 ? 。 5 5 ? 2r

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