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第4课时:函数的性质综合题(老师用)


单调性、奇偶性、周期性、对称性 1 定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则 A. f ?6? ? f ?7? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10?

2 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ?

? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 3 设 f ( x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A f ( x) f (? x) 是奇函数 C f ( x) ? f (? x) 是偶函数 B f ( x) f (? x) 是奇函数 D f ( x) ? f (? x) 是偶函数

4 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 A -1 B 0 C 1

D

2

5 设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 A.-

1 5

B.0

C.

1 5

D.5

6 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间

?? T , T ?上的根的个数记为 n ,则 n 可能为
A.0 B.1 C.3 D.5 7 设 f ( x) 、 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0时f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 且 g (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 A (?3,0) ? (3,??) 8 与方程 y ? e
2x

B (?3,0) ? (0,3)

C (??,?3) ? (3,??)

D (??,?3) ? (0,3)

? 2ex ? 1( x ? 0) 的曲线关于直线 y ? x 对称的曲线的方程为
B y ? ln(1 ? x ) C y ? ? ln(1 ? x ) D y ? ? ln(1 ? x )

A y ? ln(1 ? x )

x 10 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 记

1 若 y ? g ( x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数, 则实数 a 的取值范围是 ( g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] . 2
第 1 页 共 1 页



A. [2,??) 11 函 数

B. (0,1) ? (1,2)

C. [ ,1)

1 2

D. (0, ]

1 2

f ? x ? 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ? x ? 2? ?

1 , 若 f ?1? ? ? 5 则 , f ? x?

f ? f ?5?? ? _______________。
12 已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给下列命题: ① f ( x) 必是偶函数; ②当 f (0) ? f (2) 时,f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对称;③若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数;④ f ( x) 有最大
2

值 | a2 ? b | . 其中正确的序号是 13.已知偶函数 f (x),对任意 x1,x2∈R,恒有: f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1x2 ? 1 . (1)求 f (0),f (1),f (2)的值; (2)求 f (x); (3)判断 F ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2 f ( x) 在(0,+∞)上的单调性

14 已知函数 y=f(x)=

ax 2 ? 1 5 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数, 当 x>0 时, f(x)有最小值 2, 其中 b∈N 且 f(1)< bx ? c 2 (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由
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15

2 (1) 函数 f ( x) ? ax ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,又 f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,求 a, b, c 的值.

bx ? c

(2) 设偶函数 f ( x) 在 [0,?? ) 上为减函数, 求不等式 f ( x) ? f (2 x ? 1) 的解集.

第 2 页 共 2 页

16

已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:(1)

f ( x ? 2) ? f ( x ) ;

(2) 当 x∈[0,1]时, f ( x) ? 3? x ? 1 ,求 f (log 1
3

1 ) 的值. 32

17 已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求 f(0)的值;(2)证明函数 f(x)是周期函数; (3)若 f(x)=x(0<x≤1),求 x∈R 时,f(x)的解析式,并画出满足条件的函数 f(x)的一个周期的图象.

18 设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有

f (1) ? f (3) ? 0.
(1)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

19 已知函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若点 A(x0,f(x0))在函数 f(x)的图象上,求证点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图象上; (Ⅲ)是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx2-1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点.若存在,请求出实 数 b 的值;若不存在,试说明理由.

第 3 页 共 3 页

1函数 y=f(x)的图像与函数 g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点对称,则 f(x)的表达式为 1 (A)f(x)= (x>0) (B)f(x)=log2(-x)(x<0) log2x (C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0) 2已知函数 y ? e x 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则 A. f ? 2x ? ? e ( x ? R)
2x

B. f ? 2x ? ? ln 2? ln x( x ? 0) D. f ? 2x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0)

C. f ? 2x ? ? 2e ( x ? R)
x

3已知 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的图象的对称轴是 A. x ? 1 B. x ? 2 C. x ? ?

1 2

D. x ?

1 2


4 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则

x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?
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.
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5设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7 5)等于( ) A 0 5 B -0 5 C 1 5 D -1 5 6若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________
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7 函数 f(x)=

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

的图象

A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线 x=1 对称 8 函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是____ 9 若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),?且在[x2,+∞ ) 上单调递增,则 b 的取值范
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围是_________

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10 已知函数 f(x)=ax+
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x?2 (a>1) x ?1

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(1)证明 函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根
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11 已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1, 且 f(-

1 1 )=0,当 x>- 时,f(x)>0 2 2
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(1)求证 f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证
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答案 1D2B3D4B5B6D7D8A9C10D 11. ? 1 12③
5
第 4 页 共 4 页

10 解析: f ( x) ? loga x ,记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] = (loga x)2 ? (loga 2 ?1)loga x . 当 a>1 时,若 y ? g ( x) 在区间 [ 1 ,2] 上是增函数, y ? loga x 为增函数,令 t ? loga x ,
2

t∈[ log

a

1, 2

1 loga 2 ],要求对称轴 ? log a 2 ? 1 ≤ log a 1 ,矛盾;当 0<a<1 时,若 y ? g ( x) 在区间 [ ,2] 上是增函数, 2 2 2

y ? loga x 为减函数,令 t ? loga x ,t∈[ loga 2 , log a

1 1 ],要求对称轴 ? log a 2 ? 1 ≥ log a 1 ,解得 a ≤ ,所以实数 2 2 2 2

a 的取值范围是 (0, 1 ]
2

11 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

13(1) f (0) = -1,f (1) = 0,f (2) = 3; (2) f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ? 2 x(? x) ? 1 ,
2 4 2 又 f ( x) ? f (? x) ,f (0) = -1,故 f ( x) ? x ? 1 ; (3)F ( x) ? x ? 4x ? 3 .用定义可证明 F ( x) 在[ 2 ,

+∞)上是增函数,在(0, 2]上为减函数

14 解

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(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

a ax 2 ? 1 a 1 ? x? ≥2 , bx b bx b2

当且仅当 x=

a 1 时等号成立,于是 2 =2,∴a=b2, a b2

由 f(1) < f(x)=x+

b2 ?1 5 5 1 a ?1 5 得 < 即 < , ∴ 2b2 - 5b+2 < 0, 解得 < b < 2 ,又 b ∈ N, ∴ b=1, ∴ a=1, ∴ b 2 2 2 2 b

1 x

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(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在 y=f(x)图象上,则
? x0 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y 0 ? 2? x 0 ?
2

消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 2

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∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称 15 解: (1) 由 f (-x)=-f (x) 得-bx+c=-(bx+c) ?c ? 0. 又 f (1)=2,得 a+1=2b,而 f (2)<3,得
4a ? 1 < 3 ? -1< a ?1

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a< 2,又 a ?Z

1 2 (2) 由 题 意 , 不 等 式 可 化 为 f ( x ) ? f ( 2 x ? 1 ) , 又 f ( x ) 在 [0,?? ) 上 为 减 函 数 , 所 以 不 等 式 可 化 为

所以 a=0 或 a=1,当 a=0 时,b= (舍去),当 a=1 时,b=1, ? a ? b ? 1, c ? 0.
1 . 3

x ? 2 x ? 1 ? x ? ?1 或 x>-

第 5 页 共 5 页

所以,不等式的解集为(-∞,-1)∪(- ,+∞). 16 ∵ f (x)是周期函数,2 是它的一个周期 ∵
1 1 1 1 < < ,∴ 3 < log 1 < 4 81 32 27 32
3

1 3

令 3≤x≤4,∴ -1≤x-4≤0 ? 0≤4-x≤1 f (x)的周期是 2,且是偶函数 ∴ x∈[3,4],f (x)=f (x-4) f [-(x-4)]=f (4-x)=3x-4-1 ∵ x= log 1
3

1 1 1 ,x-4= log 1 - log 1 32 32 81
3 3

32 81 = log 1 = log 3 81 32
3

∴ f ( log 1
3

log 3 32 49 1 )= 3 81 -1= -1=- 81 81 32

32

17

解:①f (x)是 R 上的奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) 令 x=0 ②依题意有:
? f ( ? x) ? ? f ( x) ? f (1 ? x) ? ? f (?1 ? x) ? ?? ? f ( 1 ? x ) ? ? f ( ? 2 ? x ) ? ? f ( x) ? ? f (?2 ? xx)

f ( ?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0

f (2 ? x) ? ? f ( x) ? f (4 ? x) ? f ( x) ? T ? 4

③∵ f ( x) ? ? ∴ f ( x) ? ?

(?1 ? x ? 1) ?x ?? x ? 2 (1 ? x ? 3)

(4k ? 1 ? x ? 4k ? 1) ?x ? 4k (k ? Z ) ?? x ? 2 ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 3)

18 解:(1)由已知得 f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)?0,故 f(-1)??f(1), 从而知函数 y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数; (2)由 ?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f(x)= f(x+10),从而知函数 y= f(x)的周期为 T=10 由 f(7-x)=f(7+x)得,f(x)的图象关于 x=7 对称,且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. ∴在[0,10]上,只有 f(1)=f(3)=0, ∴10 是 f(x)的最小正周期, ∵在[0,10]上,只有 f(1)=f(3)=0, ∴在每一个最小正周期内 f(x)=0 只有两个根, ∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是 802. 19 解: (Ⅰ)由函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1,在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减,∴x=1 时,f(x)取得极大值,∴f′(1)=0. f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0 ? a=4. (Ⅱ)点 A(x0,f(x0))关于 x=1 的对称点 B 坐标为(2-x0,f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 =x04-4x03+4x02-1=f(x0). ∴点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图象上. (Ⅲ)函数 g(x)=bx2-1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,等价于方程 x4-4x3+4x2-1=bx2-1 恰有 3 个不等实根,x4-4x3+4x2-1=bx2-1 ? x4-4x3+(4-b)x2=0. ∵x=0 是其中一个根,∴方程 x2-4x+(4-b)=0 有两个非 0 不等实根.
第 6 页 共 6 页

∴?

?Δ ? 16 ? 4(4 ? b) ? 0, ∴b>0 且 b≠4. ?4 ? b ? 0.

练习答案: 1解析:(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 g ( x) ? log 2 x( x ? 0) ? f ( x) ? ? log2 (? x)( x ? 0) 选 D 本题主要 考察对称的性质和对数的相关性质 ,比较简单 ,但是容易把 f ( x) ? 搞混,其实 f ( x) ? ? log 2 (? x) ? log 2

1 ( x ? 0) 与 f ( x) ? ? log2 (? x)( x ? 0) log2 (? x )

1 ?x

2解:函数 y ? e x 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,所以

f ( x) 是 y ? ex 的反函数,即

f ( x) = ln x ,∴ f ? 2x ? ? ln 2x ? ln x ? ln 2( x ? 0) ,选 D.
3D 4解:当 x∈(0,+∞) 时,有-x∈(-∞,0),注意到函数 f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数,于是,有 f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 .从而应填-x-x4. 5B 解析 f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2) =-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5
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解析

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由题意可知

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?x ? 0 ?x ? 0 xf(x)<0 ? ? 或? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
∴x∈(-3,0)∪(0,3)

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?? 或? ?? 或? ? f ( x ) ? f ( ?3) ? f ( x ) ? f (3) ? x ? ?3 ? x ? 3
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7C 解析 f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称 8 令 t=|x+1|,则 t 在(-∞,-1 ] 上递减,y=f(x)在 R 上递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1 ] 上递减
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9 解析 ∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0 f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax -a(x1+x2)x +ax1x2x, ∴b=-a(x1+x2),又 f(x)在[x2,+∞ ) 单调递增,故 a>0 又知 0<x1<x,得 x1+x2>0,
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∴b=-a(x1+x2)<0 10 证明
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答案

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(-∞,0)

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(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0,

∴ a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ? x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0 ∴

x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? >0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
x 2 ? 2 x1 ? 2 ? >0 x 2 ? 1 x1 ? 1
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于是 f(x2)-f(x1)= a x2 ? a x1 +

∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数 (2)证法一 设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,
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则 a x0 ? ?

x ?2 x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 得 0<- 0 <1, x0 ? 1 x0 ? 1
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1 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根 2
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证法二 则

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设存在 x0<0(x0≠-1)使 f(x0)=0,若-1<x0<0,

x0 ? 2 <-2, a x0 <1,∴f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾, x0 ? 1 x0 ? 2 >0, a x0 >0, x0 ? 1
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若 x0<-1,则

∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根 11 (1)证明
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设 x1<x2,则 x2-x1-

1 1 1 >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2 1 1 )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2

∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- ∴f(x)是单调递增函数 (2)解 f(x)=2x+1 验证过程略
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