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2000-2010全国高中数学联赛试题


2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷一、填空题:本大 题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线 上.1.函数 f x x 5 24 3 x 的值域是 .2 . 已 知 函 数 y a cos 2 x 3 sin x 的 最 小 值 为 3 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围是 .3.双曲线 x 2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成 的区域内

部(不含边界)整点 (纵横坐标均为整数的点) 的个数是 .4.已知 an 是公差不为 0 的等差数列, bn 是 等比数列,其中 a1 3 , b1 1 , a2 b2 , 3a5 b3 , 且 存 在 常 数 , 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an log bn ,则 .5.函数 f x a 2 x 3a x 2 ( a 0 , a 1 )在区间 x 11 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的最小值是 . 两 6. 人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点 数和大于 6 者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获 胜概率是 .7 . 正 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 , P 是 CC1 的 中 点 , 二 面 角 B A1 P B1 ,则 sin .8.方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解 x ,y ,z ) ( 的个数是 .二、解答题:本大题共 3 小 题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.9. (本小题满分 16 分)已知函数 f x ax3 bx 2 cx d ( a 0 ) 当 0 x 1 时, , f x 1 , 试求 a 的最大值. (本 10. 小题满分 20 分)已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A ( x1 , ) B x2 , 和 y2 ) 其中 x1 x2 且 x1 x2 4 . , y1 (

线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C , ABC 求面积 的最大值.11.(本小题满分 20 分)证明:方程 2 x 3 5 x 2 0 恰有一个实数根 r , 且存在 2 唯一的严格递增正整数数 列 an ,使得 r a1 r a2 r a3 . 5 2010 年全国高中数学联合 竞赛加试试卷(A 卷) (考试时间:10 月 17 日上午 9∶ 40—12∶10) (本题满分 40 分) 一、 如图, 锐角三角形 ABC 的外心为 O , 是边 BC 上一点 K (不是边 BC 的中点) D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 ACA , 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于点 M .求证:若 OK MN ,则 A , B , D , C 四点共圆. O K C B D N M 1 (本题 满分 40 分)设 k 是给定的正整数,r k .记 f r f r r r , 1 二、 2f l r f f l 1 r ,l 2 .证明:存在正整数 m ,使得 f m r 为一个整数.这 1 里 x 表示不小于实数 x 的最小整数, 例如: 1 , 1 1 . 2 三、 (本题满分 50 分)给定整数 n 2 ,设正实数 a1 ,a2 ,…,an 满足 ak 1 ,k 1 , a1 a2 ak n n n 12,…,n , Ak 记 ,k 1 ,2 ,…,n .求证: ak Ak . k k 1 k 1 2 四、 (本题满分 50 分)一种密码锁的密 码设置是在正 n 边形 A1 A2 An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色 之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个 相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置? 2009 年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空(共 8 小题,每

小题 7 分,共 56 分) x 1. 若函数 f x 且 f n x f f f f x , 则 f 99 1 . 1 x2 n 2. 已知直线 L : x y 9 0 和圆 M : 2 x 2 y 8 x 8 y 1 0 ,点 A 在直线 L 上, 2 2B , C 为圆 M 上 两点, ABC 中, BAC 45 , AB 过圆心 M , 在 则点 A 横 坐标范围为 .y≥0 3.在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 y ≤ x , 是随 t 变化的区域, y≤2 x 它由不等式 t ≤ N x ≤ t 1 所确定,t 的取值范围是 0 ≤ t ≤1 ,则 M 和 N 的 公共面积是函数 f t . 1 1 1 1 4. 使不等式 a 2007 对一切 正整数 n 都成立的最小 n 1 n 2 2n 1 3 正整数 a 的值 为 . 2 2 x y 5. 椭圆 2 2 1 a b 0 上任意两点 P ,Q ,若 OP OQ , 则乘积 OP OQ a b 的最小值为 . 6. 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 . 7. 一个 由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等 于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行, 则最后一行的数是 (可 以用指数表示) 8. 某车站每天 8 00 9 00 , 9 00 10∶00 都 恰有一辆客车到站,但到站的时 ∶ ∶ ∶刻是随机的,且 两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 10 ∶ 8 30 ∶ 8 50 ∶ 到站时刻 9 10 ∶ 9 30 ∶ 9 50 ∶ 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精 确到分). 二、解答题 1. (本小题满分 14 分)设直线 l : y kx m (其中 k , m 为整数)与椭圆 x2 y2 x2 y2 1 交

于不同两点 A , B , 与双曲线 1 交于不同两点 C , D , 问是否 16 12 4 12 存在直线 l ,使得向量 AC BD 0 ,若存 在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理 由. 2. (本小题 15 分)已知 p , q q 0 是实数,方程 x 2 px q 0 有两个实根 , , 数列 an 满足 a1 p , a2 p 2 q , an pan1 qan2 n 3 , , Ⅰ求数列 an 的通项公式 4 (用 , 表 示); 1 Ⅱ若 p 1 , q ,求 an 的前 n 项和. 4 3. (本 小题满分 15 分)求函数 y x 27 13 x x 的最大和最小 值.2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评 分标准 (A 卷) 如图, M , N 分别为锐角三角形 ABC 一、 ( AB ) 的外接圆 上弧 BC 、 AC⌒ ⌒的中点. 过点 C 作 PC ‖ MN 交圆 于 P 点, I 为 ABC 的内心, 连接 PI 并 延长交圆 于 T . ⑴求证: MP MT NP NT ; ⌒ ⑵在弧 AB(不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A ,T , B ), 记 AQC ,△QCB 的内心分别为 I1 , I 2 , P C N M I B T A Q 求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. n k 1 二、 求证不等式: 1 ln n ≤ , n 1 ,2,… k 1 k 1 2 2 三、设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k , 使得 Ck 与 l m 互素.四、在非负数构成的 3 9 数表 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 P x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x x x x x x x x x 31 32 33 34 35 36 37 38 39 中每 行的数互不相同,前 6 列中每列的三数之和为 1, x17 x28

x39 0 , x27 , x37 , x18 , x38 , x19 , x29 均大于. 如 果 P 的前三列构成的数表 x11 x12 x13 S x21 x22 x23 x x x 31 32 33 x1k 满足下面的性质 O :对于数表 P 中的任意一 列 x2 k ( k 1 ,2,…,9)均 x 3k 存在某个 i 1 ,2 ,3 使得 ⑶ xik ≤ ui min xi1 ,xi 2 ,xi 3 . 求证: (ⅰ)最 小值 ui min xi1 , 2 , xi xi3 , i 1 , 3 一定自数表 S 的 2, 不同列. x1k (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 x2 k , k ≠ 1 ,2,3 使得 3 3 数表 x 3k x11 x12 x1k S x21 x22 x2 k x31 x32 x 3k 仍然具有性质 O . 2008 全国高中数学联合竞赛 一试试题 一、 选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函 数 f x 5 4 x x 在 2 上的最小值是 2 ( ) 2 x A. B. C. 0 1 2 D.3 2.设 A 2 4 ,B x x ax 4 0 ,若 B A ,则实数 a 的 取值范围为( ) 2 A. 1 2 B. 1 2 C. 03 D. 03 3.甲 乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停 止.设甲在每局中获胜的概率为 2 ,乙 3 在每局中获胜的 概率为 1 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期 3 望 E 为 ( ) A. 241 B. 266 C. 274 D. 670 81 81 81 243 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面 积之和为 564 cm2,则这 三 个 正 方 体 的 体 积 之 和 为 ) A. 764 cm3 或 586 cm3 B. 764 cm3 3 3 C. 586 cm 或 ( 564 cm D. 586 cm3 x y z 0 5. 方程组 xyz z 0 的有理数解 x y

z 的个数为 ( ) xy yz xz y 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设 ABC 的内角 ABC 所对的边 a b c 成等比数列,则 sin A cot C cos A 的 sin B cot C cos B 取 值 范 围 是 ) A. 0 B. 0 5 1 ( C. 5 1 5 1 D. 2 2 2 5 1 2 二、填空题(本题满分 54 分,每小 题 9 分) 7. f x ax b , 设 其中 a b 为实数,f1 x f x , f n1 x f f n x , 1 23 , n 若 f 7 x 128 x 381 ,则 a b . 8.设 f x cos 2 x 2a1 cos x 的最小值为 1 , a . 2 将 9. 24 个 则 志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各 校名额互不相同的分配方法共有 种.10. 设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足: Sn an n 1 , n 1 2 , 则通项 nn 1an . 11. 设 f x 是定义在 R 上的函数,若 f 0 2008 ,且对任意 x R , 满足 f x 2 f x 3 2 x , f x 6 f x 63 2 x ,则 f 2008 . 12.一 个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器 内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容 器内壁的面积是 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已 知函 数 f x sin x 的图像与直线 y kx k 0 有 且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ,求证: cos 1 2 . sin sin 3 4 答 13 图 14.解不等式: log 2 x12 3x10 5 x8 3 x 6 1 1 log 2 x 4 1 . 15 . 如 题 15 图 , P 是 抛 物 线 y 2 2 x 上 的 动 点 , 点 BC 在 y 轴 上 , 圆 x 12 y 2 1 内切于 PBC ,求 PBC 面积的最小值. 答 12 图 1 答 15 图 2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 一、(本

题满分 50 分) 如题一图,给定凸四边形 ABCD , B D 180 , P 是平面上的动点,令 f P PA BC PD CA PC AB . (Ⅰ)求证:当 f P 达到最小值时, PABC 四点共 圆; (Ⅱ)设 E 是 ABC 外接圆 O 的 AB 上一点, 满足: AE 3 , BC 3 1 , AB 2 EC 1ECB ECA ,又 DA DC 是 O 的切线, AC 2 ,求 f P 的最小值. 2 二、(本题满分 50 分) 设 f x 是周期函数, T 和 1 是 f x 的周期且 0 T 1 .证明: 1 答一图 1 (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素 数 p ,使 是 f x 的周期; p (Ⅱ) T 为无理数, 若 则 存在各项均为无理数的数列 an 满足 1 an an 1 0n 1 2 , 且每 个 an n 1 2 都是 f x 的周期. 三、 (本题满分 50 分) 2008 设 ak 0 , k 1 2 2008 .证明:当且仅当 ak 1 时,存在数 列 xn 满足以 k 1 下条件: (ⅰ) 0 x0 xn xn1 , n 1 23 ; (ⅱ) lim xn 存在; n 2008 2007 (ⅲ) xn xn 1 ak xn k ak 1 xn k , n 1 23 . k 1 k 0 2007 年全国高中数学联合竞赛 一试试题参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) P 1. 如图,在正四棱锥 PABCD 中,∠APC60° ,则二 面角 APBC 的平面角的余弦值为 ) M D C A B 1 1 1 1 A. ( B. C. D. 7 7 2 2 2. 设实数 a 使得不等式 2xa3x2a≥a2 对任意 实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所组成的集合是( ) 1 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3, 3 3 2 2 4 3 3. 将号码分别为 1、 …、 3 2、 9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完

全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为 a,放回后,乙从 此袋中再摸出一个球, 其号码为 b。 则使不等式 a2b10gt0 成 立的事件发生的概率等于( ) 52 59 60 61 A. B. C. D. 81 81 81 81 4. 设函数 fx3sinx2cosx1。若实数 a、b、c .


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