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高中数学秒杀型推论


高中数学秒杀型推论

一. 函数 1. 抽象函数的周期 (1)f(a±x)=f(b±x) T=|b-a| (2)f(a±x)=-f(b±x) T=2|b-a| (3)f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a (4)f(x-a)=f(x+a) T=2a (5)f(x+a)=-f(x) T=2a 2.奇偶函数概念的推广及其周期: (1)对于函数 f(x) ,

若存在常数 a,使得 f(a-x)=f(a+x) ,则称 f(x)为 广义(Ⅰ)型偶函数,且当有两个相异实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期函 数 T=2|b-a| (2)若 f(a-x)=-f(a+x) ,则 f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数,当有两个相异 实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 (1)若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c 则函数关于(错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 )成中心对 称(充要) (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x) 则函数关于直线 x=错误!未找到引用源。成轴对称(充要) 4.洛必达法则,设连续可导函数 f(x)和 g(x)

二、三角 1.三角形恒等式 (1)在△中,错误!未找到引用源。

(2) 正切定理&余切定理: 在非 Rt△中,有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 错误!未找到引用源。 (3) 错误!未找到引用源。

(4)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (5)

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2.任意三角形射影定理(又称第一余弦定理) : 在△ABC 中 a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA 3. 任意三角形内切圆半径 r=错误!未找到引用源。 (S 为面积) , 外接圆半径错误!未找到引用源。 欧拉不等式:R>2r 4.梅涅劳斯定理 如下图,E.D.F 三点共线的充要条件是 错误!未找到引用源。

5.塞瓦定理 如下图,AD、BE、CF 三线共点的充要条件是 错误!未找到引用源。

6. 斯特瓦尔特定理: 如下图,设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D,则有

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AB ?错误!未找到引用源。 DC+AC ?错误!未找 到引用源。BD-AD?错误!未找到引用源。BC= BC 错误!未找到引用源。DC 错误!未找到引 用源。BD 7、和差化积公式(只记忆第一条) sin α +sin β =2sin 错误! 未找到引用源。 cos 错误!未找到引用源。 sin α -sin β =2cos 错误! 未找到引用源。 sin 错误!未找到引用源。 cos α +cos β =2cos 错误!未找到引用源。 cos 错误!未找到引用源。 cos α -cos β =-2sin 错误!未找到引用源。 sin 错误!未找到引用源。 8、积化和差公式 sin α sin β =-错误!未找到引用源。 cos α cos β = 错误!未找到引用源。 sin α cos β =错误!未找到引用源。 cos α sin β = 错误!未找到引用源。 9、万能公式 10. 三角混合不等式:若 x∈(0,错误!未找到引用 源。),sinx<x<tanx 当 x→0 时 sinx 错误!未找到引用源。x 错误! 未找到引用源。tanx 11.海伦公式变式 如下图,图中的圆为大三角形的内切圆,大三角形三边 长分别为 a.b.c,大三角形面积为

12.双曲函数 定义双曲正弦函数 sinhx=错误!未找到引用源。,双曲余弦函数 coshx=错误! 未找到引用源。 易知(1)奇偶性:sinhx 为奇函数,coshx 为偶函数 (2)导函数:(sinhx)’=coshx,(coshx)’=sinhx (3)两角和:sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy (4)复数域:sinh(ix)=isin(x) cosh(ix)=icos(x)

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(5)定义域:x∈R (6)值域:sinhx∈R,coshx∈[1,+∞) 13.三角形三边 a.b.c 成等差数列,则错误!未找到引用源。 14.三角形不等式 (1)在锐角△中,

(2)在△中,错误!未找到引用源。 (3)在△中,sinA>sinB 错误!未找到引用源。cos2A>cos2B 15.ASA 的面积公式:

三、复数 1.欧拉公式(泰勒级数推出)

cosθ+isinθ=e
n



2.棣莫弗定理(欧拉公式推出) (cosθ+isinθ) =cos(nθ)+isin(nθ) 3.复数模不等式(三角不等式)|z1+z2+∧+zn|?|z1|+|z2|+∧+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立 4. 5. 复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
四.数列(所有通过递推关系得出通项后都要检验首项)

错误! 未找到引用源。

1.An+1=kAn+f(n)两边同除以 kn+1,构造数列{错误!未找到引用源。 } ,通过累加法 得出通项公式 2. An+1=kAn+C 设一常数 x,An+1+x=k(An+x) An+1 =kAn+(k-1)x 则(k-1)x=C,求出 x=错误!未找到引用源。 ,得到等比数列{错误!未找到引 用源。 },公比为 k 3.不动点法: 形如 An+1=错误!未找到引用源。 (d≠0,当 d=0 时,则是第二种情况) , 设函数 f(x)=错误!未找到引用源。 ,x=错误!未找到引用源。的根称为 f(x)的 不动点, (1)若函数 f(x)有 2 个不动点α,β 则数列{错误!未找到引用源。}是一 个等比数列,A’n=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,An=错误!未找 到引用源。 (2)若函数 f(x)只有一个不动点α 则数列{错误!未找到引用源。}数一个

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等差数列,A’n=错误!未找到引用源。 (3)若函数 f(x)没有不动点,则数列{An}是周期数列,周期自己找 4.特征方程法: 形如 An+2=pAn+1+qAn 称为二阶递推数列, 我们可以用它的特征方程 x?-px-q=0 的根来求它的通项公式 (1)若方程有两根 x1,x2,则 An=错误!未找到引用源。x1n-1+错误!未找到引 用源。x2n-1 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。可根据题目确定) (2)若只有一个根 x0An=(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。n)x0n-1 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。可根据题目确定) 5.变系数一阶递推数列

四、不等式 1.权方和不等式(赫德尔不等式推出)

当且仅当错误!未找到引用源。 2.黎曼和-定积分不等式 级数与定积分之间的关系 设可积函数 f(x) 当 f(x)为减时,错误!未找到引用源。 当 f(x)为增时,错误!未找到引用源。 3.琴生不等式 函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当 f(x)为凹函数,即 f’’(x)>0 时

当 f(x)为凸函数,即 f’’(x)<0 时

当且仅当 x1=x2=∧=xn 时,等号成立 4.卡尔松不等式

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5.排序不等式 当 且 时,

其中错误!未找到引用源。 以上可概括为 顺序和?乱序和?倒序和 5.切比雪夫总和不等式(排序不等式推出) 当 an 与 bn 逆序时

当 an 与 bn 顺序时不等式反向 6.舒尔不等式(Schur 不等式) xt(x-y) (x-z)+yt(y-x) (y-z)+zt(z-x)(z-y)?0 当 x=y=z 时,等号成立 配 Schur 法(Schur 分拆法) 三元齐三次对称轮换式 f(x,y,z)?0 的充要条件是

因为 f(x,y,z)=a 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

+b

错误!未找到引用源。+cxyz

三元齐四次对称轮换式 f(x,y,z)?0 的充要条件是

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因为 f(x,y,z)=错误!未找到引用源。 三元齐五次对称轮换式 f(x,y,z)?0 的充要条件是

因为 f(x,y,z)=错误!未找到引用源。 7.常用对数不等式 当 x〉-1 时,

当且仅当 x=0 时等号成立 8.伯努利不等式 当 x?-1,n?0 时或 n 为正偶数,x∈R 时 (1+x)n?1+nx 当 n=0 或 1,或 x=0 时等号成立 9.uvw 法和 pqr 法(解决三元对称轮换式) uvw 法:令 a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3,得到新不等式 pqr 法:令 a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r,得到新不等式 当 a.b.c 为非负实数时,用 uvw 法; 当 a,b,c∈R 时,用 pqr 法

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10.SOS 法(配方法) 不解释 11.拉格朗日乘数法(解决条件极值问题) 已知 f(x,y,z)=0,求 F(x,y,z)的极值 构造拉格朗日函数 L=F(x,y,z)+λf(x,y,z) 对 F(x,y,z)分别关于 x,y,z,λ求偏导,得到四元方程组,其中对 F(x,y,z) 关于λ求偏导所得方程即 f(x,y,z)=0 解四元方程组所得解,即 F(x,y,z)的极值点,从而算出极值。 由拉格朗日乘数法可知,所有对称轮换式的极值在 x=y=z 时取到 12.拉格朗日乘数法推论(拉格朗日乘数法得到) 已知 x,y,z∈[a,b],对称轮换式 F(x,y,z)的极值在错误!未找到引用源。 和 x=y=z 时取到 13.已知 a.b.c 为正实数,且 a+b+c=k,求证错误!未找到引用源。 证明: k=a+b+c=a+错误!未找到引用源。 整理即得所求不等式 14.幂平均不等式

当且仅当 a1=错误!未找到引用源。=an 时等号成立 15.错误!未找到引用源。 16.错误!未找到引用源。 17.双绝对值函数图像

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18.a.b 为正数 当 mn>0 时,错误!未找到引用源。 当 mn<0 时,错误!未找到引用源。 五、排列组合 1.隔板法 I 把 n 个元素放到 m 个集合中,所得集合均非空,则有错误!未找到引用源。种 x1+x2+∧+xm=n 的正整数解个数为错误!未找到引用源。 2.隔板法 II 把 n 个元素放到 m 个集合中,所得集合可为空,则有错误!未找到引用源。种 x1+x2+∧+xm=n 的非负整数解个数为错误!未找到引用源。 (a1x1+a2x2+∧+amxm)n 展开式的项数为错误!未找到引用源。 3.圆排列 从 n 个元素中抽取 m 个元素,按照一定的顺序排列成一圈,叫做一个圆排列,圆 排列的个数错误!未找到引用源。 4.重复组合 从 n 个元素中抽取 m 个元素,元素可以重复选取,不管顺序,组成一组,叫重复 组合,重复组合个数错误!未找到引用源。 5.组合恒等式(只例举了最简洁的四个)

6.从互不相同的 n 个非零数字中任取 m 个,所得 m 位数之和为 S,S=错误!未找 到引用源。 ,其中错误!未找到引用源。为 n 个非零数字的算术平均数 7. (ax+by)n 展开式中,第 k 项系数绝对值最大,则

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其中[ ]表示高斯函数,即取整函数 六、解析几何 1.圆锥曲线统一极坐标方程错误!未找到引用源。 2.圆锥曲线统一焦点弦长公式错误!未找到引用源。 3.A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,错误!未找到引用源。 当且仅当错误!未找到引用源。时,三点共线 4. A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4)四点共圆的充要条件

5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充要条件错误!未找到 引用源。=0 6.过(x0,y0)引圆锥曲线 F(x,y)的弦,弦中点的轨迹方程为 y-y0=F’(x,y) (x-x0) , 当(x0,y0)为弦中点时,弦中点轨迹方程为 y-y0=F’(x0,y0) (x-x0) 7.定比分点公式: A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,AB 的λ+1 等分点坐标为(错误!未找到引用源。 ) 2 8.若抛物线 y =2px,AB 是抛物线上的动弦,kOAkOB=λ,则 AB 恒过定点(错误! 未找到引用源。 ) 9.抛物线焦点弦性质: 抛物线焦点弦两端点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,焦点弦斜率为 k,焦点弦长度为 L 2 (1)y1y2=-p x1x2=错误!未找到引用源。 x1+x2=p+错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。 y1+y2=错误!未找到引用源。 (2)L=x1+x2+p=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。 (3)k=错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。 (5)错误! 未找到引用源。 10.圆锥曲线焦点弦性质(通性) : 焦点弦长为 L, (1)已知 x1+x2 时, 椭圆:L=2a-e(x1+x2) 双曲线:L=e 错误!未找到引用源。-2a 抛物线:L=错误!未找到引用源。+p (2)已知焦点弦倾斜角错误!未找到引用源。时,L=错误!未找到引用源。 (3)椭圆、抛物线、双曲线(焦点弦端点在同支)焦点弦的两个焦半径倒数之 和为常数

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双曲线(焦点弦端点在异支)焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数

(4)圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数

(5)圆锥曲线焦点弦 AB 的中垂线于对称轴(标准方程中为 x 轴)于 D,错误! 未找到引用源。

(6)圆锥曲线内,最长的焦点弦为通径

11.圆锥曲线的焦半径(通性) (1)极点为焦点,极轴为 x 轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的错误!未找到引用源。为极径,即焦半径,错误!未找到引用源。 为极角

(2)已知焦半径端点的横坐标 x 时

12.双焦点三角形面积: F1.F2 为有心圆锥曲线两焦点 P 为椭圆上一个点,错误!未找到引用源。 P 为双曲线上一个点,错误!未找到引用源。 13.圆锥曲线幂定理: 圆锥曲线 F(x,y)≡Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 与一条过 M(x0,y0) ,且倾斜角为错误! 未找到引用源。的直线 L 交于 P1.P2 两点,则

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错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 14.点 P(x0,y0)对圆锥曲线 C 引两条切线,连结切点所得线为切点弦(极线) , 或点 P(x0,y0)为切点,则极线方程或切线方程为 (1)若 C 为椭圆,错误!未找到引用源。 (2)若 C 为双曲线,错误!未找到引用源。 (3)若 C 为抛物线,错误!未找到引用源。 15.已知有心圆锥曲线 F(x,y) ,直线 l:f(x,y),p 是 l 上一点,射线 OP 交圆 锥曲线于点 R,又点 Q 在 OB 上,且满足错误!未找到引用源。 ,当 P 在 l 上移动 时,Q 的轨迹方程即为 F(x,y)=f(x,y) 16.曲线族 F(x,y,t)的包络为 F(x,y,t)=错误!未找到引用源。=0 17. A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,以 AB 为直径的圆的方程为(x-x1) (x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0 18.关于双曲线渐近线: (1)共轭双曲线:实轴与虚轴对换,有相同渐近线,四焦点共圆, 离心率的倒数平方和为 1:错误!未找到引用源。 (2)焦点到渐近线距离为虚半轴长 b (3)若两渐近线夹角为错误!未找到引用源。 ,则双曲线离心率 e=错误!未找 到引用源。 (4)双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数错误!未找到引用源。 (5)过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近线于 P.Q,则错误! 未找到引用源。 19.过有心圆锥曲线上一定点 P(x0,y0)作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲 线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值

过无心圆锥曲线上上一定点 P(x0,y0)作倾斜角互补的两直线与无心圆锥 曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值

以上情况中,∠APB 的角平分线 x=x0 平行于 y 轴,ΔAPB 的内切圆圆心恒过直线 x=x0. 20.圆锥曲线光学性质: 椭圆:由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点 双曲线:由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点 抛物线: 平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点;过焦点的光线经抛物线 反射后必平行于对称轴 21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值,且定值为 b2 22.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率错误!未找到引用源。 切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率错误!未找到引用源。弦中点与中心连线的 斜率=错误!未找到引用源。

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双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率错误!未找到引用 源。切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率错误!未找到引用源。弦中点与中心 连线的斜率=错误!未找到引用源。 23.抛物线 y2=2px 内接 Rt△OAB(以 O 为直角顶点) ,A(x1,y1)B(x2,y2) 2 2 (1)x1x2=4p ,y1y2=-4p (2)AB 恒过顶点(2p,0) (3)AB 中点轨迹方程 y2=p(x-2p) (4)AB 边上高的垂足轨迹方程(x-p)2+y2=p2 (5) (S△OAB)min=(错误!未找到引用源。 )min=4p2 24.对于极坐标方程错误!未找到引用源。 ,从θ1 到θ2,曲线所围成的面积 S= 错误!未找到引用源。 对于极坐标方程错误!未找到引用源。 ,从θ1 到θ2,曲线所积出的长度 L=错误! 未找到引用源。 25.圆锥曲线上一弦 AB,其中点 M(x0,y0) ,AB 的斜率为 (1)对于椭圆,错误!未找到引用源。 (2)对于双曲线,错误!未找到引用源。 (3)对于抛物线,错误!未找到引用源。 26.圆锥曲线上定点:圆锥曲线上有一定点 P(x0,y0) ,另有一直线 L 于圆锥曲 线交于与 P 相异两点 A.B. 第一组:当 kPAkPB=λ(λ≠错误!未找到引用源。 )时 1) 点错误!未找到引用源。 2) 定点错误!未找到引用源。 3) 定点错误!未找到引用源。 第二组:当 kPA+kPB=λ(λ≠0)时 1) 点错误!未找到引用源。 2) 定点错误!未找到引用源。 3) 定点错误!未找到引用源。 七、立体几何 对于抛物线, L 恒过 对于双曲线, L 恒过 对于椭圆, L 恒过定 对于抛物线, L 恒过 对于双曲线, L 恒过 对于椭圆, L 恒过定

1.万能求积公式: 2.设平面内三点 A.B.C,错误!未找到引用源。 (x1,y1,z1) ,错误!未找到引用 源 。 ( x2 , y2 , z2 ) , 则 该 平 面 的 法 向 量 为

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错误! 未找到引用源。 3.空间余弦定理: 相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段, 长度分别为 m.n, 垂足距离为 d,另一端点之间距离为 L,则平面所成二面角θ,满足

4.二面角射影定理:如果平面α内的一个多边形面积为 S,它在平面β内的射影 面积为 S 射,α与β所成二面角为θ,则

5.三射线定理:从 O 点引出三条不共面射线 OA.OB.OC,∠AOC=θ1,∠BOC=θ2, ∠AOB=θ,二面角 A—OC—B=α,则

6.四面体 ABCD 相对棱 AC 与 BD(异面线段)所成角为α,则

7.四面体体积公式,若四面体两条相对棱长为 a.b,它们的距离为 d,所成角为

θ,则四面体体积为

8.台体两底面面积为 S.S’ ,则中截面 S0 满足

9.内切球半径公式:V 为 n 面体体积,S 为 n 面体表面积,则 10.旋转体体积公式:S 为凸多边形面积,d 为凸多边形重心到轴的距离,凸多边 形绕轴一周所形成的几何体体积为 V,则

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11.四面体体积公式之行列式形式:AB.AC.AD 为四面体 ABCD 的三条共点棱,错 误!未找到引用源。,V
四面体 ABCD

=错误!未找到引用源。

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