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河南省许昌平顶山新乡三市2014届高三数学第一次调研试题 理


河南省许昌平顶山新乡三市 2014 届高三数学第一次调研试题 理 (扫 描版,含答案)新人教 A 版

平顶山新乡许昌 2014 届高三第一次调研考试 文科数学参考答案
一.选择题 1——5 二.填空题 13. 55 三.解答题: 17.解:

CAABC
14. 3

6——10 15.



DACAB
-2 16. 15

11-----12

AD

f ( x) ? sin 2 x ? 3 (1 ? 2 sin2 x) ? 1

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?

) ? 1 .………………………………………5 分 3 2? ( I ) 函数 f (x) 的最小正周期 T ? ? ? .…………………………………… 6 分 2 ? ? ? 2? ? ( II ) 因为 x ? [? , ] ,所以 2 x ? ?[0, ] ,所以 sin(2 x ? ) ? [0,1] , 3 6 6 3 3
………………………………………10 分 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

?
3

) ? 1? [1,3] ,所以 f (x) 的值域为[1,3].
………………………………………12 分

18. 解: (Ⅰ) 分组 第1组 第2组 第3组 第4组 60.5—70.5 70.5—80.5 80.5—90.5 90.5—100.5 合计 频数 13 15 18 4 50 频率 0.26 0.30 0.36 0.08 1
0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008
0
频率 组距

60.5 70.5 80.5 90.5 1005 分数 .

…………………………………6 分 (Ⅱ)获一等奖的概率为 0.04,所以获一等奖的人数估计为 150 ? 0.04 ? 6 (人). 记这 6 人为 A1 , A2 , B, C , D, E ,其中 A1 , A2 为该班获一等奖的同学. …………………7 分 从全校所有一等奖的同学中随机抽取 2 名同学代表学校参加决赛共有 15 种情况如下:

? A1 , A2 ? , ? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D? , ? A1 , E ? , ? A2 , B? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? ,
?B, C ? , ?B, D? , ?B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?D, E ? .
……………………………9 分

该班同学参加决赛的人数恰好为 1 人共有 8 种情况如下:

? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D? , ? A1 , E ? , ? A2 , B? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? .
所以该班同学参加决赛的人数恰好为 1 人的概率为 P ? 19. (Ⅰ)证:连接 DE ,交 AF 于点 O ∵ D1D ? 平面 ABCD , AF ? 平面 ABCD ,∴ D1 D ? AF ……………………………2 分 ∵点 E , F 分别是 BC , D1C 的中点,∴ DF ? CE 又∵ AD ? DC , ?ADF ? ?DCE ? 90? ∴ ?ADF ≌ ?DCE ,∴ ?AFD ? ?DEC 又∵ ?CDE ? ?DEC ? 90? ,∴ ?CDE ? ?AFD ? 90? ∴ ?DOF ? 180 ? ? ?CDE ? ?AFD ? ? 90 ,即 AF ? DE
? ?

8 .……………………………12 分 15

D1 A1

D A

F O

C E B

………………………………………5 分 又∵ D1 D ? DE ? D ,∴ AF ? 平面 D1DE , 又∵ ED1 ? 平面 D1DE ,∴ AF ? ED1 ………………………………………6 分

(Ⅱ)解:∵ D1D ? 平面 ABCD ,∴ D1D 是三棱锥 D1 ? AEF 的高,且 D1 D ? a ∵点 E , F 分别是 BC , D1C 的中点,∴ DF ? CF ? CE ? BE ? ∴ S?AEF ? S正方形ABCD ? S?ADF ? S?FCE ? S?ABE

a ……………7 分 2

1 1 1 a 2 a 2 a 2 3a 2 ? a 2 ? ? AD ? DF ? ? CF ? CE ? ? AB ? BE ? a 2 ? ? ? ? 2 2 2 4 8 4 8
………………………………………10 分 ∴ VE ? AFD1 ? VD1 ? AEF ?

1 1 3a 2 a3 ? S ?AEF ? D1 D ? ? ?a ? 3 3 8 8
………………………………………12 分

20. 解: (Ⅰ) f ?(x)=3x +3 ? a ? 1? x ? ?a ? 3 ? x ? 1?? x ? a ? .
2

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?a

………………………………………1 分
2

(i)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, f ?(x )=3 ? x ? 1? ? 0 , f (x) 在 ? ?? , ?? ? 单调递增

………………………………………3 分 (ii)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 当 x ? ?a ,或 x ? 1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, ? a ? 、 ?1,? ? ? 内单调递增 当 ?a ? x ? 1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ?a,1? 内单调递减. …………………………4 分 (iii)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, 当 x ? 1, 或x ? ?a 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??,1? 和 ? ?a,? ? ? 内单 调递增 当 1 ? x ? ?a 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ?1, ?a ? 内单调递减 综上,当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??,1? 和 ? ?a,? ? ? 内单调递增, f (x) 在 ?1, ?a ? 内单 调 递 减 ; 当 a ? ?1 时 , f (x) 在 ? ?? , ?? ? 单 调 递 增 ; 当 a ? ?1 时 , f (x) 在

? ??, ?a ? 和?1,? ? ? 内单调递增, f (x) 在 ? ?a,1? 内单调递减.
…………………………6 分 (Ⅱ)当 a ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 1, x ? [m, 2]

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?3 ……………7 分
将 x , f ?( x) , f ( x) 变化情况列表如下:

x
f ?( x) f ( x)
由此表可得

(??,?3)

?3
0 极大

(?3,1)

1 0 极小

(1,2]

?


?


?


………………………10 分

f ( x)极大 ? f (?3) ? 28 , f ( x)极小 ? f (1) ? ?4

( ? 又 f (2) ? 3 ? 28 ,故区间 [m, 2] 内必须含有 ? 3 ,即 m 的取值范围是 ? ?, 3] .
………………………12 分 21. (Ⅰ) 设圆 C 和圆 D 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称,由题意知圆 D 的直径为 F1F2 , 所以圆 心 D ? 0, 0 ? ,半径 r ? c ?

a 2 ? b 2 ? 2 ,圆心 D 与圆心 C 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称
…… …………………4 分

? C (2, 2) ,故圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (2,0), 设直线 l 方程为: x ? my ? 2, m ? R ,? 圆心 C 到直线 l 的距 离d =

| 2m ? 2 - 2 | 1? m2

?

| 2m | 1? m2

,由垂径定理和勾股定理得: b = 4(4 -

2

4 m2 42 . )= 1+ m 2 1+ m 2

………………………………6 分

? x ? my ? 2, m ? R ? 设直线与椭圆相交与点 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), 由 ? x2 ? y2 ? 1 ? 5 ?
(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0, 由韦达定理可得: y1 ? y2 ?
依题意可知: a ?

得:

?4m ?1 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?5 m ?5

m2 ? 1 2 1 ? m 2 ? ?? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? ? 2 5 ? 2 ? ? ? m ?5

m2 ? 1 4 m2 ?1 ? ab ? 2 5 ? 2 ? ?8 5? 2 . m ? 5 1? m2 m ?5
…………………………10 分 令 f ( x) ?

x ?1 ?? )单 调 递 减 , , x ? 0 ? y ? f ( x) 在 [0,3] 单 调 递 增 , 在 [ 3, x?5

f ( x) ? f (3) ? 当 m2 ? 3 时, ab 取得最大值,此时直线的方程是 x ? ? 3 y ? 2.
所以当 ab 取得最大值时,直线的方程是 x ? ? 3 y ? 2. …………………………12 分 22. (Ⅰ)证明:∵ AB 切圆于 B ,
2 ∴ AB ? AD ? AE ,

2 又∵ AB ? AC ,∴ AC ? AD ? AE ,

∴△ ACD ∽△ AEC ,∴ ?ACD ? ?AEC , 又∵ ?AEC ? ?DGF ,∴ ?ACD ? ?DGF ∴ AC // FG ………………………………………5 分 (Ⅱ)证明:连接 BD , BE , EG 由 AB ? AC , ?BAD ? ?CAD 及 AD ? AD , 知△ ABD ? △ ACD ,同理有△ ABE ? △ ACE ,∴ ?BDE ??CDE ,故 BE ? EG ,

又 BE ? CE 23.

∴ EC ? EG

………………………………………10 分

解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ;
2 2

所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? .

………………………………………4 分

? ?1 ? 2 cos ?1 ? (Ⅱ)设 ( ?1 , ?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? ? ? ?1 ? 3 ?

? ?1 ? 1 ? 解得 ? ? . ?1 ? ? 3 ? ? ?2 ? 3 ? , 解得 ? ? ?? 2 ? 3 ?

………………………………………6 分

? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos ? 2 ) ? 3 3 ? 设 ( ? 2 , ? 2 ) 为点 Q 的极坐标,则有 ? ? ??2 ? 3 ?

………………………………………8 分 由于 ?1 ? ? 2 ,所以 PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2.………………10 分 24. 解:(Ⅰ) y ? 3 ? 1 ?

2 x ? 3 ? 3 ? 3x ( x ? 3)(1 ? 3) ? 3? ? 1? x 1? x 1? x
----------------------------(5 分)

? x ? 3 ,? y ? 3 ? 0 ,? y ? 3 .


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