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2016届二轮 空间点、直线、平面之间的位置关系 专题训练(全国通用)

时间:2016-10-14


空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.(2015·浙江高考文科·T4)设α ,β 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,且 l? α ,m? β ( ) B.若α ⊥β ,则 l⊥m D.若α ∥β ,则 l∥m

A.若 l⊥β ,则α ⊥β C.若 l∥β ,则α ∥β

【解题指南】根据直线、平面

的平行、垂直的判定与性质进行判断. 【解析】 选 A.选项 A 中,由平面与平面垂直的判定,故正确;选项 B 中,当α ⊥β 时,l,m 可以 垂直,也可以平行,也可以异面;选项 C 中,l∥β 时,α ,β 可以相交;选项 D 中,α ∥β 时,l,m 也可以异面.
[

2. (2015·广东高考理科·T8)若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值 ( ) B.等于 5 D.至多等于 3

A.大于 5 C.至多等于 4

【解题指南】本题考查了空间中点与点的位置关系,这些两两距离相等的点在正多面体中可 以找出. 【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的,即空间中 n 个不同的点两两距离都相 等,则正整数 n 的取值至多等于 4. 3. (2015·广东高考文科·T6)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面α 内,l2 在平面β 内,l 是平面 α 与平面β 的交线,则下列命题正确的是 ( A.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 与 l1,l2 都不相交 【解析】选 A.直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面α 内,l2 在平面β 内,α ∩β =l,则 l 至少与 l1,l2 中的一条相交. 4.(2015·福建高考理科·T7)若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α ,则“l⊥m”是“l∥ α ”的 ( ) B.必要而不充分条件 )

A.充分而不必要条件
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C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】利用直线与平面的位置关系解答. 【 解 析 】 选 B. 因 为 ?

?m ? ? 不能得到 l∥α ,还可能 l? α ,即充分性不成立,但是 ?l ? m

?m ? ? ? l ? m ,所以必要性成立. ? ?l // ?

二、填空题
15.(2015·浙江高考理科·T13)

如图,三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直 线 AN,CM 所成的角的余弦值是 .

【解题指南】利用中位线定理寻找异面直线 AN,CM 所成的角.

【解析】如图,连接 DN,取 DN 的中点 P,连接 PM,PC,则∠PMC 即为异面直线 AN,CM 所成 的 角 ( 或 其 补 角 ), 易 得

P

?

1 M ? 2 , PC A NCN 2 ? 2 ?1 ? 3 ,CM= AC 2 ? AM 2 ? 2 2 ,所 ? PN 2 ? 2

以 cos ?PMC ?

8? 2?3 7 ? ,即异面直线 AN,CM 所成角的余弦值为. 2? 2 2 ? 2 8

答案:

7 8

三、解答题
6.(2015· 新课标全国卷Ⅱ文科·T19)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

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(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由). (2)求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 【解析】(1)交线围成的正方形 EHGF 如图.

(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8, 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH ?

EH ? ? EM ? ? ? ,AH=10,HB=6.
? ? ( 也正确). ? ?
[来源:]

因为长方体被平面α 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为

7. (2015· T22)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直 江苏高考· 角梯形,∠ABC=∠BAD= ? ,PA=AD=2,AB=BC=1.

2
(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值. (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长.

【解题指南】(1)建立空间直角坐标系,通过求两个平面的法向量之间的夹角求二面角的余弦 值.(2)建立直线 CQ 与 PD 所成角的函数关系式,再利用导数求其最值,确定点 Q 的坐标,最后利 用向量模求 BQ 的长. 【解析】

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(1)由题意知,AB,AD,AP 两两垂直,分别以 AB,AD,AP 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系如图所示,则 A(0,0,0),B(1, 0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),所以 AB =(1,0,0), AP =(0,0,2),
??? ? ??? ?

???? ? m ? ? DC ? 0, ???? ???? 即 ? DC =(1,-1,0), DP =(0,-2,2).设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z),所以 ? ??? m ? DP ? 0, ? ?

? x ? y ? 0, ? ??2 x ? 2 z ? 0.
不妨取 x=1,得平面 PCD 的法向量为 m=(1,1,1).又 AD =(0,2,0)为平面 PAB 的法向量,且 cos<m,
???? AD >= ?? ???? = 0 ?1 ? 2 ?1 ? 0 ?1 = 3 >0,所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 m?AD ?? ???? 3 3?2 m ? AD
3. 3

????

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ??? ? ? ???? (2)因为 BP =(-1,0,2),设 BQ =λ BP =(-λ ,0,2λ )(0≤λ ≤1),又 CB =(0,-1,0),则 CQ = CB + BQ =(-

??? ? ??? ? ???? ???? ???? 1 ? 2? CQ ? DP CQ λ ,-1,2λ ),又 DP =(0,-2,2),从而 cos< , DP >= ???? ???? = .设 1+2λ =t,t∈[1,3],则 CQ DP 10? 2 ? 2
??? ? ??? ? cos 2 ? CQ, DP ?? 2t 2 2 9 ? ? 9 2 ??? ? ??? ? 1 5 20 10 5t ? 10t ? 9 9( ? ) 2 ? t? ?? cos ? CQ , DP ? 5 时, t 9 9 ,当且仅当 5 ,即
2

3 10 ? (0, ) 10 的最大值为 .因为 y=cosx 在 2 上是减函数,此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值.又 BQ ? 2 2 5 BP ? 5 5 .

因为 BP ? 1 ? 2 ? 5 ,所以
2 2

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