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2.2.1 直接证明--分析法


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一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求推证过程中,使每一步结论成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的 方法叫做分析法.

特点:执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ? P1 P1 ? P2 P2

? P3



得到一个明显 成立的结论

a+b ? 回顾基本不等式: 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
证明: 因为;( a ? b ) ? 0
2

a+b 证明:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 所以 2 成立

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
2 ( a ? b ) ?0 只需证;

因为;( a ? b ) ? 0 成立 a + b ? ab
2

所以 2

例2 求证 3 ? 7 ? 2 5
解:要证 3 ? 7 ? 2 5 只需证 ( 3 ? 7 )2 ? (2 5 )2 展开,只需证 只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 ? 7 ? 2 5 成立.

21 ? 5

例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E A B C

因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
6

π 例3. 已知α, β≠ kπ+ (k ? Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθ? cosθ= sin β
2

1 - tan α 1 - tan β 求证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3

2

2



得到一个明显 成立的结论

也可以使经过 证明的结论

用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示 为:P89

小结

1.在数学证明中,综合法和分析法是 两种最常用的数学方法,若从已知入手 能找到证明的途径,则用综合法,否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件,分析法的每步推理都是寻找充分条 件,在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.

3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式,在证明某些较复杂的问题时,常 采用分析综合法,用综合法拓展条件, 用分析法转化结论,找出已知与结论的 连结点.

练习

P42

1,2,3


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