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人教A版必修二:2.3.1《直线与平面垂直的判定》ppt课件


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定

观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样

的位置关系?

旗杆与地面的位置关系,给人以直线与平面垂直 的形象.

1.理解直线与平面垂直的判定定理.(重点) 2.会用直线与平面垂直的判定定理分析解决问题. (难

点) 3.培养学生空间想象能力与转化化归的数学思想.

思考1 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影 子有何位置关系. 1.旗杆所在的直线始终与 A

影子所在的直线垂直.

α

B

A 2.事实上,旗杆AB所在直线与

地面内任意一条不过点B的
直线也是垂直的.
C1 C

α

B1 B

直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.

l

平面α的垂线

?

A
垂足

直线l的垂面

直线和平面垂直的画法

注:画直线与水平平面垂直时,通常把直线画成
与表示平面的平行四边形的一边垂直.

l

P

α

思考2

若直线与平面内的无数条直线垂直,则直

线垂直于平面吗? 如图:
C B

不一定
l

?

?

C B

【提升总结】 ①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情

况,在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足.


a ??

等价于对任意的直线 m

? ? ,都有a ? m.

利用定义,我们得到了判定线面垂直的最基本方法, 同时也得到了线面垂直的最基本的性质.

动手操作 请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如 图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折 痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC 与桌面接触). A

B

D

C

思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α 垂直?
A

B

D

C

当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时, 折痕AD与桌面所在平面垂直.

A

B

D C

A

B

D

C

A

B

D C

A

B

D C

A

B

D C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B C

D

A

B

D C

?

BD,CD都在桌面内,BD∩CD=D,AD⊥CD,AD⊥BD, 直线AD所在的直线与桌面垂直
A

l

B
C

D

?

P

m

n

直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.
l

符号表示:
m ? ?,n ? ? ? ? m?n ? P ??l ?? l ? m, l ? n ? ?

?

P

m

n

定理补充

“平面内”,“相交”,“垂直”三个条件必不可少 简记为:线线垂直 线面垂直

例1 如图,已知a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α . 分析:在平面内作两条相交直线. 证明:在平面 ? 内作两条相交 直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知

a

b
n

?

m

a ? m, a ? n.
又因为 b / / a, 所以 b ? m, b ? n. 又因为 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

结论:两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么 另一条也垂直于这一个平面.

【变式练习】 下列命题中正确的个数是( B ) ①如果直线l与平面α 内的无数条直线垂直,则l⊥α ; ②如果直线l与平面α 内的一条直线垂直,则l⊥α ; ③如果直线l不垂直于α ,则α 内没有与l垂直的直线;

④如果直线l不垂直于α ,则α 内也可以有无数条直线
与l垂直.

A .0

B .1

C .2

D .3

思考4 如图,直四棱柱A ?B?C?D? - ABCD中(侧棱与底面 垂直的棱柱称为直棱柱),底面四边形A ?B?C?D?满足什么条 件时,A ?C ⊥ B?D?? A? D?

B?

A?C ? ? B?D?
B

C?
A

D

C

探究:如何求直线与平面所成的角?
b

A

B

?

O

?

a'

线面所成的角 关键:过斜线上一点作平面的垂线
斜线 斜足

P

线面所成角 (锐角∠PAO)

A α
射影

O

【提升总结】

l

?
一条直线垂直于平 面,它们所成的角 是直角.

?
一条直线在平面内,或与平 面平行,它们所成的角是 0°的角.

例2

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B
D1
A1 C1 B1

和平面A1B1CD所成的角. 分析:找出直线A1B在平面
A1B1CD内的射影,就可以求出

A1B和平面A1B1CD所成的角.
D

O
C B

A

解:连接BC1交B1C于点O,连接A1O, 因为A1B1 ⊥B1C1,A1B1 ⊥ B1B, 所以A1B1 ⊥平面BCC1B1 . 所以A1B1 ⊥BC1 ,又BC1 ⊥ B1C, 所以BC1 ⊥平面A1B1CD. 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影, ∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的棱长为a, 在Rt△A1BO中,A1B = 2a,BO = 2 a, 2

1 所以BO = A1B, ∠BA1O = 30o. 2 直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30o.

【变式练习】
1. 如图,在三棱锥 V - ABC 中, VA= VC,AB=BC,
求证: VB ⊥AC. V

C
A B

提示:找AC中点D,连接VD,BD

2. 过△ABC所在平面α 外一点P,作PO ⊥α ,垂足 为O,连接PA,PB,PC.
中点. (1)若PA = PB = PC, ∠C = 90o ,则点O是AB边的__ 外 心. (2)若PA = PB = PC,则点O是△ABC的_____

(3)若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则点O是△ABC 垂 心. 的_____

1.下列说法中错误的是( D )

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与
这个平面必相交;②如果一条直线和平面的一条平行

线垂直,该直线必在这个平面内;③如果一条直线和
平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内; ④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面 内的任何直线. A.①② B.②③④

C.①②④

D.①②③

2.一条直线和平面所成角为θ ,那么θ 的取值范围

是 ( B )
A.0°<θ <90° C.0°≤θ <90° B.0°≤θ ≤90° D.0°≤θ ≤180°

【解析】由线面角的定义知B正确.

? 6 则 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角的大小为________ .

3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1,

【解析】如下图所示,连接 B1D1.

则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影,则∠BD1B1 是 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角. BB1 1 3 在 Rt△BD1B1 中,tan∠BD1B1= = = ,则 B1D1 3 3 π ∠BD1B1= . 6

4.( 2012·四川高考)如图,在正 方体 ABCD - A 1B1C1D1 中, M , N 分别 是 CD , CC1 的中点,则异面直线 A 1 M 与
90? DN 所成角的大小是____________.
A D1 A1 D B1 N C B C1

M

[解析]连接 D1M,易得 DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以,DN⊥平面 A1MD1, 又 A1M ? 平面 A1MD1,所以,DN⊥A1M1,故夹角为 90? .

5.如图,已知 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点,且 PA= PC,求证:AC⊥平面 PBD.

【证明】

设 AC∩BD=O,

由题意知 O 为 AC 的中点, 连接 PO,因为 PA=PC, 所以 PO⊥AC,
又因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC, 而 PO∩BD=O,PO?平面 PBD,BD?平面 PBD, 所以 AC⊥平面 PBD.

定义

直线与平面垂直

判定定 理及应 用

直线与平面所成的角 定义 转化思想:线面垂直 判定定理 线线垂直

不去奋斗,不去创造,再美的青春也
结不出硕果。


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