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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆 理


第 1 讲 直线与圆

直线的方程及应用 1.(2015 贵阳模拟)过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A ) (A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0 (C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0 解析:由题意,可设所求直线方程为 x-2y+C=0, 又因为点(-1,3)在所求直线上, 所以-1-2×3+C=0, 解得 C

=7.故选 A. 2.(2015 长春调研)一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件 是( B ) (A)m>1 且 n<1 (C)m>0 且 n<0

(B)mn<0 (D)m<0 且 n<0

解析:因为 y=- x+ 经过第一、三、四象限,

故- >0, <0, 即 m>0,n<0, 但此为充要条件, 因此其必要不充分条件为 mn<0.故选 B. 3.(2015 郑州模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的 取值范围是( D ) (A)(-1, ) (B) (-∞, )∪(1,+∞)

(C)(-∞,1)∪( ,+∞) 解析: 如图,kAB=-1,

(D)(-∞,-1)∪( ,+∞)

1

kAC= ,

因此满足条件的直线 l 的斜率范围是(-∞,-1)∪( ,+∞).故选 D. 4.(2015 山西模拟)已知直线 a x+y+2=0 与直线 bx-(a +1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( C ) (A)5 (B)4 (C)2 (D)1 2 2 解析:由题意得 a b+[-(a +1)]=0, 所以 b= ,
2 2

所以|ab|=|a×

|

=|a+ |

=|a|+| | ≥2. 故选 C. 5.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上运动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的 最小值为( C ) (A) (B)2 (C)3 (D)4

解析:由题意知 AB 的中点 M 的集合为到直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 的距离都相等的直线, 则点 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离 .设点 M 所在直线的方程为 l:x+y+m=0(m<0), 根据平行线间的距离公式得 , = , 即 |m+7|=|m+5|, 所以 m=-6, 即

l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点 M 到原点的距离的最小值为 故选 C. 圆的方程及应用

=3

.

6.圆心在直线 y=x 上,经过原点,且在 x 轴上截得弦长为 2 的圆的方程为( C ) 2 2 (A)(x-1) +(y-1) =2 2 2 (B)(x-1) +(y+1) =2 2 2 2 2 (C)(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2 2 2 2 2 (D)(x-1) +(y+1) =2 或(x+1) +(y-1) =2

2

解析:由于圆心在 y=x 上, 2 2 2 所以可设圆的方程为(x-a) +(y-a) =r , 2 2 将原点(0,0)代入圆的方程得 r =2a ,① 2 2 由圆在 x 轴上截得弦长为 2,得 r =a +1,② 由①②得 所以所求圆的方程为(x-1) +(y-1) =2 或(x+1) +(y+1) =2. 7.圆心在曲线 y= (x>0)上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积最小的圆的方程为( A (A)(x-1) +(y-2) =5 (B)(x-2) +(y-1) =5 2 2 2 2 (C)(x-1) +(y-2) =25 (D)(x-2) +(y-1) =25 解析:设此圆的圆心坐标为(x0, )(x0>0),
2 2 2 2 2 2 2 2

)

则圆的半径 r=



=

,

当且仅当 2x0= ,x0=1 时,等号成立,

圆的面积最小,此时圆心坐标为(1,2),半径为 所以圆的方程为(x-1) +(y-2) =5.故选 A. 8. 以 双 曲 线 是 2 2

,

=1 的 右 焦 点 为 圆 心 , 并 与 其 渐 近 线 相 切 的 圆 的 标 准 方 程 .

解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x,

不妨取 y= x,即 4x-3y=0. 双曲线的右焦点为(5,0), 圆心到直线 4x-3y=0 的距离为 d= =4,

即圆的半径为 4, 2 2 所以所求圆的标准方程为(x-5) +y =16. 2 2 答案:(x-5) +y =16 直线与圆、圆与圆的位置关系

3

9.(2015 四川省资阳市高三适应性检测)对任意实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =4 的位置关系 一定是 ( C ) (A)相离 (B)相切 (C)相交且不过圆心 (D)相交且过圆心 2 2 解析:对任意的实数 k,直线 y=kx+1 恒过点(0,1),且点(0,1)在圆 x +y =4 内,所以对任意的实 2 2 数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =4 的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选 C. 2 2 2 2 10.(2015 惠州模拟)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( B ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 解析:两圆心的距离为 ,且 1< <5,

2

2

即|r1-r2|<d<r1+r2,因此两圆相交.故选 B. 2 2 11.(2015 合肥模拟)已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y =-2y+3,直线 l 过点 (1,0)且与直线 x-y+1=0 垂直.若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,则△OAB 的面积为( A ) (A)1 (B) (C)2
2

(D)2
2

解析:圆 C 的标准方程为 x +(y+1) =4,圆心为(0,-1),半径为 2, 直线方程 l 的斜率为-1,方程为 x+y-1=0. 圆心 C 到直线 l 的距离 d= = .

弦长|AB|=2

=2

=2

,

又坐标原点 O 到 AB 的距离为 ,

所以△OAB 的面积为 ×2
2 2

× =1.故选 A. .

12.圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a= 2 2 2 解析:圆的标准方程为(x+1) +(y-1) =2-a,r =2-a, 则圆心(-1,1)到直线 x+y+2=0 的距离为 = .

由 2 +(

2

) =2-a,得 a=-4.

2

答案:-4 2 2 13.(2014 湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的四段弧,则 2 2 a +b = . 解析:由题意得,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ,则圆心到直线 l1 的距离为 ,即 = ? a =1, 同理可得 b =1,则 a +b =2.
2 2 2 2

4

答案:2

一、选择题 1.(2015 贵州模拟)过点 P(1,3)且在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距相等的直线方程为 ( D ) (A)x+y-4=0 (B)3x-y=0 (C)x+y-4=0 或 3x+y=0 (D)x+y-4=0 或 3x-y=0 解析 : 若直线过原点 , 设直线方程为 y=kx, 把点 P(1,3) 代入得 k=3, 此时直线为 y=3x, 即 3x-y=0.若直线不经过原点,则设直线方程为 + =1,即 x+y=a.把点 P(1,3)代入得 a=4,所以直 线方程为 x+y=4,即 x+y-4=0,故选 D. 2 2 2.(2015 唐山模拟)直线 l:x=my+2 与圆 M:x +2x+y +2y=0 相切,则 m 的值为( (A)1 或-6 (B)1 或-7 (C)-1 或 7 (D)1 或2 2

B )

解析:圆的方程为(x+1) +(y+1) =2, 圆心为(-1,-1),半径为 由题意直线与圆相切, 即 d= = , ,

解得 m=-7 或 m=1.故选 B. 2 2 3.(2015 贵州模拟)若点 P(1,1)为圆(x-3) +y =9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为 ( C ) (A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x-y-1=0 (D)x+2y-3=0 2 2 解析:圆(x-3) +y =9 的圆心为 A(3,0), 所以 AP⊥MN, AP 的斜率为 k= =- ,

所以直线 MN 的斜率为 2, 所以弦 MN 所在直线方程为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0,选 C. 4.(2015 福建模拟)若不论 m 取何实数,直线 l:mx+y-1+2m=0 恒过一定点,则该定点的坐标为 ( A )

5

(A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1) 解析:直线 l 的方程可化为 m(x+2)+y-1=0, 由

得 故直线 l 恒过定点(-2,1).故选 A. 5.(2015 哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by+c=0 的倾 斜角为( A ) (A)135° (B)120°

(C)60° (D)45°

解析:由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,

f(0)=f( ),即-b=a, 因此直线 l 的斜率为-1,倾斜角为 135°. 2 2 2 6.(2015 哈尔滨模拟)已知点 P(1,2)和圆 C:x +y +kx+2y+k =0,过 P 作 C 的切线有两条,则 k 的取值范围是( D ) (A)(-∞,+∞) (B)(-∞, )

(C)(-

,0)
2 2

(D)(2

,

)

解析:若 x +y +kx+2y+k =0 表示一个圆, 2 2 2 则 k +4-4k =4-3k >0, 即<k< ,

若过点 P 作圆的切线有两条, 2 2 2 则 P 点在圆 C:x +y +kx+2y+k =0 外, 2 将 P(1,2)坐标代入后得到 k +k+9>0, 由于 k +k+9=(k+ ) +8 >0 恒成立,
2 2

所以 k 的取值范围是(-

,

).故选 D.
2 2

7.(2015 河北模拟)直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2) +(y+3) =9 交于 E,F 两点,则△ECF 的面积为

6

( B ) (A) (B)2 (C) (D)

解析:由已知可得圆心到直线的距离为 d=

,

所以|EF|=4,所以 S△ECF= ×4×

=2

.故选 B.

8.(2014 安徽卷)过点 P(范围是( D )

,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值

2

2

(A)(0, ] (B)(0, ] (C)[0, ] (D)[0, ]

解析:设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ 则由直线和圆有公共点知 ≤1.

)-1,

解得 0≤k≤

.

故直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, ].

9. 已知两点 A(1,2),B(3,1) 到直线 l 距离分别是

,

-

, 则满足条件的直线 l 共有

( C ) (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 解 析 : 当 A,B 位 于 直 线 l 的 同 一 侧 时 , 一 定 存 在 这 样 的 直 线 l, 且 有 两 条 ; 因 为 |AB|= = ,

而 A 到直线 l 与 B 到直线 l 距离之和为

+

-

=

, , 的直线,综

所以当 A,B 位于直线 l 两侧时,存在一条与 AB 垂直且距离 A,B 分别为 合可知满足条件的直线共有 3 条. 10.已知直线

ax+by=1 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三 A )

2

2

角形(O 是原点),则点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的距离的最大值为( (A) +1 (B)2 (C) (D) -1

7

解析:由题意知∠AOB 为直角,则原点到直线

ax+by=1 的距离为 d=

= ,则 +a =1,显

2

然 M(0,1)为椭圆 +a =1 的焦点,所以点 P(a,b)与点 M(0,1)之间的最大值为
2 2

2

+1,选 A. A )

11.(2015 佳木斯模拟)已知实数 x,y 满足 x +y -4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( (A)5(B)42 2

(C)

-1 (D)5

解析:将 x +y -4x+6y+12=0 化为 2 2 (x-2) +(y+3) =1, |2x-y-2|= × ,

所以|2x-y-2|表示圆(x-2) +(y+3) =1 上的点到直线 2x-y-2=0 的距离的

2

2

倍,

而(

)min=

-1=

-1,

所以|2x-y-2|的最小值为

×(

-1)=5-

.故选 A.

二、填空题 2 2 12.(2015 潍坊模拟)若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所 作的切线长的最小值是 . 2 2 解析:圆的标准方程为(x+1) +(y-2) =2, 所以圆心为(-1,2),半径为 .

因为圆关于直线 2ax+by+6=0 对称, 所以圆心在直线 2ax+by+6=0 上, 所以-2a+2b+6=0,即 b=a-3. 点(a,b)到圆心的距离为 d=

=

=

=

,

所以当 a=2 时,d 有最小值

=3

.
8

此时切线长最小为

=

=4.

答案:4 2 2 2 2 2 13.当且仅当 m≤r≤n 时,两圆 x +y =49 与 x +y -6x-8y+25-r =0(r>0)有公共点,则 n-m 的值 为 . 2 2 2 解析:整理 x +y -6x-8y+25-r =0, 2 2 2 得(x-3) +(y-4) =r , 该圆圆心是(3,4),半径为 r, 要使两圆有公共点需|r-7|≤ ≤7+r,

即 2≤r≤12,进而可知 m=2,n=12, 所以 n-m=10. 答案:10 2 2 14.(2015 赤峰市高三统考)已知☉O:x +y =1,若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的☉O 的两条切线互相垂直,则实数 k 的取值范围是 . 解析:因为圆心为 O(0,0),半径 R=1. 设两个切点分别为 A,B, 则由题意可得四边形 PAOB 为正方形, 故有 PO= R= , ,即 ≤ ,即 1+k ≥2,
2

由题意知圆心 O 到直线 y=kx+2 的距离小于或等于 PO=

解得 k≥1 或 k≤-1. 答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) 15.(2015 安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的 “直角距离为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题: ①若 P,Q 是 x 轴上两点,则 d(P,Q)=|x1-x2|; 2 2 ②已知两点 P(2,3),Q(sin α ,cos α ),则 d(P,Q)为定值; ③原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离 d(O,P)的最小值为 ;

④若|PQ|表示 P,Q 两点间的距离,那么|PQ|≥ d(P,Q); 其中为真命题的是 (写出所有真命题的序号). 解析:①若 P,Q 是 x 轴上两点,两点纵坐标均为 0,则 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命 题正确; 2 2 ②若两点 P(2,3),Q(sin α ,cos α ), 2 2 2 2 则 d(P,Q)=|2-sin α |+|3-cos α |=2-sin α +3-cos α =4,所以命题 正确; ③设直线上任意一点为(x,x+1),则原点 O 到直线 x-y+1=0 上任意一点 P 的直角距离 d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,

9

即其最小值为 1,所以命题错误; ④由基本不等式 a +b ≥ (a+b) ,
2 2 2

得|PQ|=

≥ (|x1-x2|+|y1-y2|)= d(P,Q),所以命题

成立. 综上所述,正确的命题为①②④. 答案:①②④

10


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