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2.1 数列的概念与简单表示法 课件1(人教A版必修5)


2.1 数列的概念与简单表示法

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掌握数列、有穷数列、无穷数列、通项公式的 概念,理解递推公式的概念,理解数列与函数之间 的关系.

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自学导引
1.按照一定顺序排列着的一列数称为________, 数列中的每一个数叫做这个数列的________,数列中 的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这 个数列的第1项(通常也叫做________项),排在第二位 的数称为这个数列的第2项,……,排在第n位的数称 为这个数列的第________项. 答案:数列 项 首 n

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2.数列的一般形式可以写成a1,a2,…, an,…,简记为________.
答案: an 3.项数有限的数列叫做________数列,项数无 限的数列叫做________数列. 答案:有穷 无穷
? ? ? ? ? ?

4.如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可 以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 ________公式.

? ? ?

? ? ?

答案:通项

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自主探究
1.-3,-2,2,x,6,8,y,12这几个元素能构成 数列吗?说明理由. 答案:当x,y代表数时为数列,当x,y中有一 个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必须是 由一列数构成的. 2.数列与数集有什么不同? 答案:数列中的数是有序的,而数集中的数是 无序的,数列中的数可以相同而数集中的数是互异 的.

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预习测评
1.下列命题中错误的是 ( ) A.f(n)=2n-1(n∈N*)是数列的一个通项公式 B.数列通项公式是一个函数关系式 C.任何一个数列中的项都可以用通项公式来
表示 D.数列中有无穷多项的数列叫做无穷数列 解析:考查数列的定义与特点. 答案:C

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? ? ?

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2. 数列 lg 2 (n∈N*)中的项 an 与项数 n 的函数关系
?

n? ?

an=f(n)在平面直角坐标系中表示为 A.一条射线 B.一条直线 C.射线上的一些点 D.直线上的一些点

(

)

解析:考查数列与函数的关系. 答案:C

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3.若a1=1,an+1=an+1,则a2=________. 解析:a2=a1+1=2. 答案:2 4.数列 2n 中的第 3 项为________. 解析:a3=2×3=6. 答案:6
? ? ? ? ? ?

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要点阐释
1.数列的概念 一般地,按照一定顺序排列起来的一列数叫数 列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依 次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,… 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…
其中 an 是数列的第 n 项, 叫做数列的通项, 我们 常把一般形式的数列简记作 an .
? ? ? ? ? ?

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注意:(1)数列与数集是两个不同的概念,它们 主要区别在于:集合中的元素具有无序性和互异 性,数列中的项是有序的且可以相同,即如果组成 两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是 不同的数列,另一方面,同一个数在数列中可以重 复出现.
(2) an 与 an 是两个不同的概念: an 表示数列 a1, a2,?,an,?,而 an 只表示数列 an 的第 n 项.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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(3)数列的项与它的项数是两个不同的概念:数 列的项是指出现在这个数列中某一个确定的数an, 它是一个函数值,即an=f(n);而项数是指这个数在 数列中的位置序号,它是函数值f(n)的对应的自变量 的值,即n. 2.数列的通项公式
如果数列 an 的第 n项与 n之间的关系可以用一个 式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式, 数列的通项公式就是相应函数的解析式.
? ? ? ? ? ?

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注意: (1)有的数列写不出通项公式,有的数列 其通项公式不惟一. (2)数列可看成定义域为正整数集或其有限子集 的函数,其通项公式为函数解析式. 例如:数列2,4,8,16,… 通项公式:an=2n(n∈N*).

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3.数列的递推公式 (1)通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n 的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就 可以求出该项an;而递推公式则是间接反映数列的 式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导 关系,不能由n直接得出an. (2)如何用递推公式给出一个数列

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用 递 推 公 式 给出 一 个 数列 , 必 须给 出 ① “ 基 础”——数列 an 的第 1 项或前几项;②递推关系—— 数列 an 的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)之间 的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(3)给出了递推公式求通项公式,常用叠加、累 乘、周期性等知识,即 ①an-an-1=f(n)满足一定规律时,可以有 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+ a1叠加.

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an ② =g(n)满足一定条件时, an-1 an an-1 a2 可以有 an= · · ?· ·1 累乘. a a1 an-1 an-2 ③ an 为周期数列,则周期为 T(T 为正整数)时, an=an+ T,可将 an 转化为 a1,a2,?,aT 处理.
? ? ? ? ? ?

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典例剖析
题型一 用观察法求数列的通项公式
【例1】 写出数列的一个通项公式,使得它的 前几项是下列各数.
1 1 1 (1)-1, ,- , ,?; 2 3 4 (2) 3,3, 15, 21,3 3,?; (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,?; (4)3,5,3,5,3,5,?.

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解:(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此 数列可以看做是自然数列的倒数, 正负相间用(-1)的多 1 少次幂进行调整,其通项公式为 an=(-1) ·. n
n

(2)数列可化为 3, 9, 15, 21, 27, 3×1, 即 3×3, 3×5, 3×7, 3×9,?,每个根号里 面可分解成两数之积,前一个因式为常数 3,后一个 因数为 2n-1,故原数列的通项公式为

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an= 3?2n-1?= 6n-3.
? 1? ? 1 ? ? 1 ? (3)原数列可变形为 ?1- ? , ?1- 2? , ?1- 3? , 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ? ? 1 ? ?1- 4? ,?,故通项公式为 10 ? ?

1 an=1- n. 10

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(4)数列给出前 6 项,其中奇数项为 3,偶数项 为 5 , 所 以 通 项 公 式 的 一 种 表 示 方 法 为 an =
?3 ? ? ?5 ?

?n为奇数? ?n为偶数?

,此数列还可以这样考虑,3 与 5

3+5 的算术平均数为 =4,4+1=5,4-1=3,因此数 2 列的通项公式又可以写为 an=4+(-1)n.

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方法点评:此类问题虽无固定模式,但也有规 律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数 列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见 的数列)等方法.具体方法为:①分式中分子、分母 的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征; ④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对 于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找 分子、分母之间 的关系.

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1.根据下面各数列的前几项,写出数列的一个 通项公式. 2 4 8 (1)1,- , ,- ,?; 3 5 7
2 4 6 8 10 (2) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 3 5 7 (3) ,- , ,- ; 2 4 8 16 (4)9,99,999,9 999,?.

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20 21 22 23 解:(1)原数列可写成 ,- , ,- ,?, 1 3 5 7 2n-1 ∴数列的一个通项公式为 an=(-1)n+ 1· . 2n-1 (2)这是一个分数数列,分子是偶数列,而分母是 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?,为两个连续奇数的积, 2n 故所求数列的通项公式为 an= . ?2n-1??2n+1?

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(3)∵各项的符号正负相间,且绝对值呈分数形式, 它的分子为奇数,分母为 2 的序号次幂,即可表示为 (-1)
1+1

2×1-1 2+1 2×2-1 3+1 ?2×3-1? · 1 ,(-1) · 2 ,(-1) · , 2 2 23 2×4-1 n+1 2n-1 · ,?,∴an=(-1) · n . 4 2 2

(-1)

4+1

(4)各项分别加上1,变为10,100,1 000,10 000,…, ∴an=10n-1.

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题型二 通项公式的简单应用
【例 2】 已知数列 an 的通项为 an=n2-5n+4, (1)数列中有多少项为负数?(2)n 为何值时,an 有最小 值?并求此最小值.
? ? ? ? ? ?

解:(1)由n2-5n+4<0得1<n<4,n∈N*, ∴n=2或3. 所以数列中有2项为负数;

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(2)∵an=n

2

? 5?2 9 -5n+4=?n-2? - ,∵n∈N*, 4 ? ?

∴n=2 或 3 时,an 有最小值-2.

方法点评:数列是一种特殊的函数,函数问 题的解决方法同样适用于数列问题, 不过要注意 n ∈N*,否则易出现错误,此题也可以用不等式法
?an≤an- 1 ? ? ?an≤an+ 1 ?

,求 an 取得最小值时的 n.

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?9n2-9n+2? ? ? ?; 2.已知数列? 2 ? 9n -1 ? ? ?

(1)求这个数列的第 10 项; 98 (2) 是不是该数列中的项,为什么? 101

(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;

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?1 2? (4)在区间? , ?内有无数列中的项?若有, 有几项? ?3 3?

若没有,说明理由. 9n2-9n+2 解:设 a(n)= 9n2-1

?3n-1??3n-2? 3n-2 = = ?3n-1??3n+1? 3n+1. 28 (1)令 n=10,得第 10 项 a10= . 31 3n-2 98 (2)令 = ,得 9n=300. 101 3n+1

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98 此方程无正整数解,所以 不是该数列中的 101 项. 3n-2 3n+1-3 3 (3)证明:∵an= = =1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N ∴0< <1,∴0<an<1. 3n+1
*,

即数列中的各项都在区间(0,1)内.

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3n-2 2 1 (4)令 <an= < , 3 3n+1 3
?3n+1<9n-6, ? ∴? ?9n-6<6n+2. ?

7 ? ?n> 6 ∴? ?n< 8 ? 3

7 8 .∴ <n< . 6 3

又∵n∈N* ∴当且仅当
?1 2? n=2 时,上式成立,故区间? , ?上 ?3 3?

4 有数列中的项,且只有一项为 a2= . 7

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题型三 由数列的递推公式求数列的指定项
【例 3】 已知数列 an 对任意的 p,q∈N*满足 ap+q =ap+aq,且 a2=-6,那么 a10= ( )
? ? ? ? ? ?

A.-165

B.-33

C.-30

D.-21

解析:解法一:由已知得a4=a2+a2=-12, a8=a4+a4=-24,a10=a8+a2=-24-6=-30. 解法二:∵a2=a1+a1=-6,∴a1=-3, a3=a1+a2=-9,a5=a2+a3=-15,a10=a5+a5= -30. 答案:C

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?a1=1, ? 3.设数列 an 满足? 1 ?an=1+a - ?n>1?. ? n 1
? ? ? ? ? ?

写出这个数列的前 5 项.
解:由题意可知 a1=1, 1 1 a2=1+ =1+ =2, a1 1

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1 1 3 a3=1+ =1+ = , a2 2 2 1 2 5 a4=1+ =1+ = , a3 3 3 1 3 8 a5=1+ =1+ = . a4 5 5

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误区解密 忽略细节(数列中n的取值范围) 致误
【例 4】 已知数列 an 的通项公式为 an=-n2 1 +3n- ,求数列 an 中的最大项. 4 ? 1 3?2 2 错解:an=-n +3n- =-?n- ? +2, 4 2? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 ∴当 n= 时,an 最大为 2. 2 错因分析:在数列 an 中,项数 n 必为正整数.
? ? ? ? ? ?

7 正解:当 n=1 或 n=2 时,an 最大为 . 4

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课堂总结
a 1. 数列 an 与 an 是不同的, n 表示数列 a1,2, a ?, an,?,而 an 仅表示数列 an 的第 n 项 an.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2.数列中的项和它的项数是不同的,数列中的 项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数 值,也就是相当于f(n).而项数是指这个数在数列中 的位置记号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.

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3.数列中的项是按一定的次序排列的,它的项 是可以相同的,与集合中的元素不同,集合中的元 素要求不能重复出现. 4.并不是所有的数列都有通项公式,如果一个 数列仅仅给出前面有限的几项,那么得到的通项公 式并不是惟一的,只要符合这几项的公式都可以. 5.数列的递推公式是已知数列的第1项(或前几 项),利用其任意一项an和其前一项an-1(或前几项) 来给出数列的一种方法,可由递推公式求出数列的 每一项.

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6.已知数列的递推公式求通项公式,此类题型 求数列通项公式方法大致分两类:一类是根据前几 项的特点归纳猜想出an的表达式,然后用数学归纳 法证明(后面学);另一类是将已知递推关系,用各项 累加(乘)法、迭代法、换元法或转化为基本数列(后 面学)的方法求通项.


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