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椭圆经典例题 2

时间:2014-05-10


圆锥曲线——椭圆
椭圆标准方程典型例题 例 1 已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值.
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由 c ? 2 ,根据关系 a ? b ? c 可求出 m 的值.
2 2 2

解:方程变形为

x2 y2 ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 2m ? 6 ,解得 m ? 3 . 6 2m
2

又 c ? 2 ,所以 2m ? 6 ? 2 , m ? 5 适合.故 m ? 5 . 例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3, 0? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法, 求出参数 a 和 b (或 a 和 b )的值,即可求得椭圆的标准方程. 解:当焦点在 x 轴上时,设其方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

9 0 x2 2 2 由椭圆过点 P?3, 0? ,知 2 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,代入得 b ? 1 , a ? 9 ,故椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . a b 9
当焦点在 y 轴上时,设其方程为

y 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

由椭圆过点 P?3, 0? ,知

9 0 y2 x2 2 2 a ? 3 b ? ? 1 ? ?1. a ? 81 b ? 9 .又 ,联立解得 , ,故椭圆的方程为 a2 b2 81 9

例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所在轴 3 3

解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF 1 ?

4 5 2 5 , PF2 ? .从椭圆定义知 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 3 3

从 PF 2F 1 中, sin ?PF 1 F2 ? 1 ? PF 2 知 PF 2 垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt?PF

PF2

1 ? , PF1 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF 1 ? cos

?
6

?

10 2 5 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5
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圆锥曲线——椭圆
例 5 已知椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是 a 2 b2

椭圆上一点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) .

分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 ? 的两邻边,从而利用 S ? ?

1 ab sin C 求面积. 2

解:如图,设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P 在第一象限.由余弦 定理知:

F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF PF2 cos? ? 4c2 .① 1 ·
②,则 ② -① 得
2

2

2

2

由椭圆定义知: PF 1 ? PF 2 ? 2a

PF1 ? PF2 ?

2b 2 . 1 ? cos?

故 S ?F1PF2 ?

1 ? 1 2b 2 PF1 ? PF2 sin ? ? sin ? ? b 2 tan . 2 2 2 1 ? cos?

例 6 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 且在定圆 B: 求动圆圆心 P 的轨迹方程. 0? , ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,
2

分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P 到两定点, 即定点 A?? 3, 0? 和定圆圆心 B?3, 0? 距离之和恰好等于定圆半径, 即 PA ? PB ? PM ? PB ? BM ? 8 .∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,

x2 y2 ? ?1. 半长轴为 4,半短轴长为 b ? 4 ? 3 ? 7 的椭圆的方程: 16 7
2 2

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程 的一种重要思想方法.
2 2 例 8 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

2 2 解 :( 1 ) 把 直 线 方 程 y ? x ? m 代 入 椭 圆 方 程 4 x ? y ? 1 得

4x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

即 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 ,解得 ?
2 2

2

?

?

5 5 ?m? . 2 2

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圆锥曲线——椭圆
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得 x1 ? x2 ? ?
2

2m m2 ? 1 , x1 x2 ? . 5 5

根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ?
2

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? .解得 m ? 0 .方程为 y ? x . ? ? 4? 5 5 ? 5 ?

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程. 例 9 以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要 12 3

使所作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析: 椭圆的焦点容易求出, 按照椭圆的定义, 本题实际上就是要在已知直线上找一点, 使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.

解:如图所示,椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 ?? 3, 0? , F2 ?3, 0? . 12 3

点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6) ,直线 FF2 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 解方程组 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 得交点 M 的坐标为(-5,4) .此时 MF 1 ? MF 2 最小. x ? y ? 9 ? 0 ?

c ? 3, 所求椭圆的长轴: 2a ? MF 1 ? MF2 ? FF 2 ? 6 5 ,∴ a ? 3 5 ,又
2 2 2 ∴b ? a ?c ? 3 5

? ? ?3
2

2

? 36 .因此,所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 45 36

例10

已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

?k ? 5 ? 0, ? 解:由 ?3 ? k ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . ?k ? 5 ? 3 ? k , ?
∴满足条件的 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 .

说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . ?3 ? k ? 0,

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件,当 a ? b 时,并不表示椭圆.
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圆锥曲线——椭圆
例11 已知 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围.

分析:依据已知条件确定 ? 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 ? 的取值范围. 解:方程可化为

x2 y2 1 1 ? ? 0. ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 ? 1 1 cos ? sin ? sin ? cos?

因此 sin ? ? 0 且 tan ? ? ?1 从而 ? ? (

? 3

, ?). 2 4

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos ? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目中的条件 0 ? ? ? ? . cos ? sin ?
说明:(1)由椭圆的标准方程知 例 12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程. 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
2 2 可设其方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.

解:设所求椭圆方程为 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ).由 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点在椭圆上可得
2 2 ? 1 1 x2 y2 ?m ? ( 3 ) ? n ? (?2) ? 1, ?3m ? 4n ? 1, ? ?1. 即? 所以 m ? , n ? .故所求的椭圆方程为 ? 2 2 15 5 15 5 ? ?12m ? n ? 1, ?m ? (?2 3 ) ? n ?1 ? 1,

例13

知圆 x 2 ? y 2 ? 1 ,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段,求线段中点 M 的轨迹.

分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹. 解:设点 M 的坐标为 ( x , y ) ,点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x ? 因为 P( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将 x0 ? 2 x , y 0 ? y 代入方程 x0 2 ? y0 2 ? 1 得 4 x 2 ? y 2 ? 1.所以点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1.

x0 , y ? y0 . 2

说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为 ( x , y ) , 设已知轨迹上的点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,然后根据题目要求,使 x , y 与 x0 , y0 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出 x0 和 y0 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于 x , y 的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.
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圆锥曲线——椭圆
例 14 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为

? 的直线交椭圆于 A , 3

B 两点,求弦 AB 的长.
分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] .因为 a ? 6 , b ? 3 ,所以 c ? 3 3 .因为焦点在 x 轴上,
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3x ? 9 . 36 9
2

由直线方程与椭圆方程联立得: 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 .设 x1 , x2 为方程两根,所以 x1 ? x2 ? ?

72 3 , 13

x1 x2 ?

36 ? 8 ,k ? 3, 13

从而 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

48 . 13

(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为 在 ?AF 1F2 中, AF2 所以 m ?
2

x2 y2 ? ? 1 ,设 AF 1 ? m , BF 1 ? n ,则 AF 2 ? 12 ? m , BF 2 ? 12 ? n . 36 9
2 2

? AF1 ? F1 F2 ? 2 AF1 F1 F2 cos

?
3

,即 (12 ? m) ? m ? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ?
2 2

1 ; 2

48 6 6 .同理在 ?BF ,所以 AB ? m ? n ? . 1F2 中,用余弦定理得 n ? 13 4? 3 4? 3

(法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它们分别是 A , B 的横坐标.
2

再根据焦半径 AF 1 ? a ? ex 1 , BF 1 ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF 1 ? BF 1 .

例 15 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐标原点)的值为 25 9
C.8 D.

A.4

B.2

3 2

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圆锥曲线——椭圆
解 : 如 图 所 示 , 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为 F2 , 由 椭 圆 第 一 定 义 得

MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 10 ,所以 MF 2 ? 10 ? MF 1 ? 10 ? 2 ? 8 ,
又因为 ON 为 ?MF 1 F2 的中位线,所以 ON ?

1 MF2 ? 4 ,故答案为 A. 2

说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆. (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即 MF 1 ? MF 2 ? 2a ,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有 关距离. 例 17 在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ? 点的椭圆方程.

1 , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标系,求出以 M 、 N 为焦点且过 P 2

解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设 P( x , y) .

5 ? ? y ? x ? c ? ?2, ? x ? ? 3c 则? 1 ∴? ? y ? , ? ? y ? 4 c且c ? 2 ?x ?c ? ? 3 ?cy ? 1. ? ?
∴所求椭圆方程为

4 ? 25 ? 2 ? 1, ? 2 15 2 ? 5 2 ?12a 3b ?a ? , , )∴? 即 P( 得? 4 2 3 3 3 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 , ?b ? 3. ? ? 4 ? 2

4x2 y 2 ? ?1 15 3 x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

例 18 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去 y (或 x ),得到关于 x (或 y ) 的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出 x1 ? x2 , x1 x2 (或 y1 ? y2 , y1 y2 )的值代入计算即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的. 解:方法一:设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8k (4k ? 2) x ? 4(4k ? 2)2 ? 36 ? 0



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圆锥曲线——椭圆
设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 、 x2 是①的两根,∴ x1 ? x2 ? ∵ P(4 , 2) 为 AB 中点,∴ 4 ?

8k (4k ? 2) 4k 2 ? 1

1 x1 ? x2 4k (4k ? 2) ? , k ? ? .∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 2 2 2 4k ? 1

方法二:设直线与椭圆交点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .∵ P(4 , 2) 为 AB 中点,∴ x1 ? x2 ? 8 , y1 ? y2 ? 4 . 又∵ A , B 在椭圆上,∴ x1 ? 4 y1 ? 36, x2 ? 4 y2 ? 36 两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 , 即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 .∴
2 2 2 2 2 2 2 2

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 1 ? ? ? .∴直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 2

方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y) ,另一个交点 B(8 ? x , 4 ? y) . ∵ A 、 B 在椭圆上,∴ x ? 4 y ? 36
2 2

①。

(8 ? x)2 ? 4(4 ? y)2 ? 36



从而 A , B 在方程①-②的图形 x ? 2 y ? 8 ? 0 上,而过 A 、 B 的直线只有一条,∴直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法. 若已知焦点是 (3 3 , 0) 、 则如何求椭圆方程? (?3 3 , 0) 的椭圆截直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 所得弦中点的横坐标是 4,

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