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陕西省西安市长安区第一中学2015届高三上学期第三次质量检测数学试题(文理合卷)

时间:2015-01-07


陕西省西安市长安区第一中学 2015 届高三上学期第三次 质量检测数学试题(文理合卷)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? ??1,1 ? , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集 合为 ( ) A. {?1, 0,1} B. {?1,1} C. {1} D. {?1} ) D.第四象限

?

?

2.若 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限

1? i 在复平面上对应的点位于( 1 ? 2i
C.第三象限

B.第二象限

3. 设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线, l 是平面 ? 外的一条直线,则 " l ? a, 且 l ? b " 是 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

" l ? ? " 的(

D.既不充分也不必要条件

4.等差数列 {an } 中, 如果 a1 ? a4 ? a7 ? 39 ,a3 ? a6 ? a9 ? 27 , 则 {an } 前 9 项的和为( ) A.297 B. 144 C.99 D. 66

5.已知向量 a ? (2,1), b ? (sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 cos 2 ? ?sin 2 ? ? ( A. )

7 5

B. ?

7 5
2 2

C.

1 5

D. ?

1 5

6.过 P(2, 0) 的直线 l 被圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 截得的线段长为 2 时, 直线 l 的斜率为 ( ) A. ?

2 4

B.

?

2 2

C. ?1

D. ?

3 3

? 4 x ? y ? 2 ? 0, y ? 7.(理科) 已知 x, y 满足不等式 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 设 z ? ,则 z 的最大值与最小值的差为( ) x ? x ? 2, ?
A. 4 B. 3 C. 2
1

D. 1

?x ? y ? 1 ? (文科)设 x 、 y 满足约束条件: ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值是( ) ?y ? 0 ?
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 )

8. 函数 y ? ln(x ? 1) 与 y ? A. (0,1) B. (1, 2)

1 的图像交点的横坐标所在区间为( x
C. (2,3) D. (3, 4)

9.若下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是(

)

A. k ? 7 10.若 x ?

B. k ? 6

C. k ? 6

D. k ? 6

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ( A ? 0) 取得最小值,则 y ? f (

?
4

? x) 是( )
对称

A.奇函数且图像关于点 (

?
2

, 0) 对称

B.偶函数且图像关于直线 x ? D.偶函数且图像关于点 (

?
2

C.奇函数且图像关于直线 x ? 11.(理科)已知椭圆

?
2

对称

?
2

, 0) 对称

x2 ? y 2 ? 1的焦点为 F1 、F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 M ,过 M 作 4 M 点的概率为 ( 垂直于 A1 A2 的直线交椭圆于 P ,则使得 PF ) 1 ? PF 2 ?0的
2 A. 3
B.

2 6 3

6 C. 3

D. 2

1

(文科)如图所示,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机的撒 2400 颗黄 豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 516 颗,依据此实验数据可以估计出 椭圆的面积约为( A.17.84 ) B. 5.16 C. 18.84 D.6.16

1 ? ,x ? 0 ? x? 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 , g ( x) ? ? , 则 方 程 4x 2 ? ? x ? 6 x ? 8 , x ? 0 ?
3 2

g? f ( x)? ? a ? 0(a ? 0) 的解的个数不可能是(
A.3 个 B.4 个 C.5 个
2

) D.6 个

第Ⅱ 卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题纸相应的位置.) 13.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为__ ___.

B C 面积 S 14. 已知 ?ABC 面积 S 和三边 a, b, c 满足:S ? a 2 ? (b ? c) 2 , b ? c ? 8 , 则 ?A
的最大值为________. 15.已知 a ? b ? 0, e1 , e2 分别是圆锥曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率,设 和 a 2 b2 a 2 b2


m ? lg e1 ? lg e2 ,则 m 的取值范围是

16. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.
1 2 3 6 9 4 5 8 11 7 10 13 18 12 15 20 17 22 24

14 16

设 aij ? i, j ? N ? ? 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如

a52 ? 11 .则 a87 ?



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是正项数列, a1 ? 1 ,且点 ( an , an?1 ) ( n ? N* )在函数 y ? x 2 ? 1 的图像上. (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)若列数 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? 2an ,求证: bnbn ? 2 ? bn ?1 .

3

18.(本题满分 12 分) 如图,设四棱锥 S ? ABCD 的底面为菱形,且∠ ABC ? 60 , AB ? SC ? 2 ,

SA ? SB ? 2 。
(1)求证:平面 SAB ? 平面 ABCD ; (理科) (2)求平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的余弦值. (文科) (2)设 P 为 SD 的中点,求三棱锥 P ? SAC 的体积. 19. (本题满分 12 分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会” ,某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为 了了解本次竞赛学生的成绩情况, 从中抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为 100

[60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90,100] 分) 作为样本 (样本容量为 n ) 进行统计.按照 [50, 60) ,
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50, 60) ,

[90,100] 的数据) .

频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8

3 4

(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (理科) (2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 3 名学生参加 “中国汉字听写大会” ,设随机变量 X 表示所抽取的 3 名学生中得分在 [80, 90) 内的学生人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望. (文科) (2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“中国汉字听写大会” ,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内 的概率.

4

20.(本题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、上顶点分别为点 A 、 a 2 b2
y B x O F A

B ,且 | AB |?

5 | BF | . 2

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于

P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.
21. (本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? e x ? x2 ? a , x ? R 的 图 像 在 点 x ? 0 处 的 切 线 为
1 8 2 2 . y ? bx . ( e ?7

).

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (理科) (2)若 k ? Z ,且 f (x) ? (3 x 2 ? 5x ? 2k ) ? 0

1 2

对任意 x ? R 恒成立,求 k 的最大值.

(文科) (2)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于 点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正 ? y ? 5 ? 5sin t
5

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

6

长安一中高三级第三次教学质量检测数学答题纸
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写下面的横线上.

13.

; 14.

; 15.

; 16.

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

18.(本题满分 12 分)

7

19.(本题满分 12 分)

20.(本题满分 12 分)

8

21.(本题满分 12 分)

9

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号(本题满分 10 分)。

10

数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1. A

2.D

3. C

4. C

5.B

6. A

7. A

8. B

9. D

10. D

11. C

12. A

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上.

13.

2 ; 3

14.

64 ; 17

15. (-∞,0) ; 16.

38 ;

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 an?1 ? an ? 1 ,即 an?1 ? an ? 1 ,又 a1 ? 1 , 所以数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列,故 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n .?4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: an ? n ,从而 bn?1 ? bn ? 2n .

bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ?
? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? 2 ?1 ?

? (b2 ? b1 ) ? b1

1 ? 2n ? 2n ? 1 .???????????????8 分 1? 2

2 n n?2 ? 1) ? (2n?1 ? 1)2 因为 bnbn? 2 ? bn ?1 ? (2 ? 1)(2

? 22 n ? 2 ? 5 ? 2n ? 1 ? 22 n ? 2 ? 4 ? 2n ? 1

? ?2n ? 0
2 ∴ bnbn ? 2 ? bn ?1 .??????????????????????????12 分

18.(本题满分 12 分) (1)证明:连接 AC ,取 AB 的中点 E ,连接 SE 、

EC , SA ? SB ? 2 , ? SE ? AB , AB ? 2 , ? SE ? 1 , 又四棱锥 S ? ABCD 的 底面为菱形 , 且∠ ABC ? 60 ,? ABC 是 是 等边三角 形, AB ? 2 ?CE ? 3 , 又 SC ? 2 , ? SC 2 ? CE 2 ? SE 2 , ? SE ? EC ,? SE ? 面 ABCD
11

(理科) (2)由(Ⅰ)知,分别以 EC , EB, ES 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立建立空 间直角坐标系。则面 ABS 的一个法向量 m ? (1, 0, 0) , A(0, ?1, 0) , S (0, 0,1) ,

D( 3, ?2,0) ,? AD ? ( 3, ?1,0), AS ? (0,1,1) ,设面 ADS 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,
则 AD ? n ? 3x ? y ? 0 , AS ? n ? y ? z ? 0 ,令 y ? 3 ,则 x ? 1, z ? ? 3 ,由

n ? (1, 3,? 3),设平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的大小为 ? ,则 m?n 1 7 cos ? ? ? ? 7 m n 1? 7
(文科) (Ⅱ) VP ?SAC = VS ? PAC = VS ? DAC - VP ? DAC = V S ? DAC = 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意可知,样本容量 n ?

1 2

1 1 3 2 3 ? ? ? 2 ?1 ? 2 3 4 6

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 , 0.016 ?10 50 ?10

x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 .????????????4 分

(理科) (2)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,共 7 人.抽取的 3 名学生中得分在 [80, 90) 的人数 X 的可能取值为 1,2,3,则

P( X ? 1) ?

1 2 C5 C2 C 2C1 20 4 C 3C 0 10 2 5 1 ? ? , P( X ? 2) ? 5 3 2 ? ? , P( X ? 3) ? 5 3 2 ? ? . 3 C7 35 7 C7 35 7 C7 35 7

所以 X 的分布列为

X
P

1

2

3

1 7

4 7

2 7

??????????????????????????????????10 分 所以 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ?

1 7

4 7

2 15 ? .??????????????????12 分 7 7

(文科) (2)由题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a 3 ,

a4 , a 5 ,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 .
抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种,分别为: ( a1 , a2 ) , ( a1 , a 3 ) , ( a1 , a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a 3 , b1 ) ,
12

( a 3 , b2 ) , ( a4 , a 5 ) , ( a4 , b1 ) , ( a4 , b2 ) , ( a 5 , b1 ) , ( a 5 , b2 ) , ( b1 , b2 ).8 分 其中 2 名同学的分数都不在 [90,100] 内的情况有 10 种,分别为: ( a1 , a2 ) , ( a1 , a 3 ) , ( a1 , a4 ) , ( a1 , a 5 ) , ( a2 , a 3 ) , ( a2 , a4 ) , ( a2 , a 5 ) , ( a 3 , a4 ) , ( a3 , a5 ) , ( a4 , a 5 ). ∴ 所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 1 ? 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知 | AB |? 即 a 2 ? b2 ?

10 11 ? .??12 分 21 21

5 | BF | , 2

5 a , 4a 2 ? 4b2 ? 5a 2 , 2 c 3 .????????????????4 分 4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,∴ e ? ? a 2

(2)由(Ⅰ)知 a 2 ? 4b2 ,∴ 椭圆 C : 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,

x2 y2 ? ? 1. 4b 2 b 2

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 4(2 x ? 2)2 ? 4b 2 ? 0 , 由 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b
即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b 2 ? 0 .

? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ?
∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,

16 ? 4b 2 2 17 32 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? .??8 分 17 17 17

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而

5(16 ? 4b 2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????????????12 分 4
13

21.(本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? e x ? x2 ? a , f ?( x) ? e x ? 2 x .

? f (0) ? 1 ? a ? 0 ?a ? ?1 由已知 ? , f ( x) ? e x ? x 2 ? 1.?????????4 分 ?? ? f (0) ? 1 ? b b ? 1 ? ?
(理科) (2) f ( x) ? (3x2 ? 5x ? 2k ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,

1 2

1 5 ? ex ? x2 ? x ? 1 ? k ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 2 2 1 5 ? k ? e x ? x2 ? x ? 1 对任意 x ? R 恒成立. ???????????????6 分 2 2 1 5 5 令 h( x) ? e x ? x2 ? x ? 1 , h?( x) ? e x ? x ? ,易知 h?( x) 在 R 上单调递增, 2 2 2 1 1 3 3 又 h?(0) ? ? ? 0 , h?(1) ? e ? ? 0 , h?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , 2 2 2
3 3 3 3 7 7 7 512 7 7 1 h?( ) ? e 4 ? ? 2.56 4 ? ? 1.6 2 ? ? ? ? 2? ? ? 0, 4 4 4 4 125 4 4 4

∴ 存在唯一的 x0 ? ( , ) ,使得 h?( x0 ) ? 0 ,???????????????8 分 且当 x ? (??, x0 ) 时, h?( x) ? 0 , x ? ( x0 , ? ?) 时, h?( x) ? 0 . 即 h( x) 在 (??, x0 ) 单调递减,在 ( x0 , ? ?) 上单调递增,

1 3 2 4

1 2 5 5 5 h( x)min ? h( x0 ) ? e x0 ? x0 ? x0 ? 1 ,又 h?( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ? x0 ? ? 0 , e x0 ? ? x0 . 2 2 2 2 5 1 2 5 1 2 ∴ h( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? x0 ? 1 ? ( x0 ? 7 x0 ? 3) , 2 2 2 2 1 3 27 1 1 5 ∵ x0 ? ( , ) ,∴ h( x0 ) ? (? , ? ) . k ? e x ? x2 ? x ? 1 对任意 x ? R 恒成立, 2 4 32 8 2 2
? k ? h( x0 ) ,又 k ? Z ,∴ kmax ? ?1 .???????????????12 分
(文科) (2) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立 ? 立,令 g ( x) ?

f ( x) ? k 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成 x

f ( x) , x ? 0, x xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) ? ? ∴ g ?( x) ? . x2 x2 x2
14

易证:当 x ? (0, ? ?) 时, e x ? x ? 1 ? 0 恒成立,?????????8 分 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 . ∴ g ( x) 的增区间为 (1, ? ?) ,减区间为 (0,1) . g ( x)min ? g (1) ? 0 . ∴ k ? g ( x)min ? g (1) ? 0 ,∴ 实数 k 的取值范围为 ( ??, 0) .??????12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90° , 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG=

3 . 2

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 23.(本小题满分 10 分) 解:(1)将 ?

3 . 2

即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将?

? x ? 4 ? 5cos t , 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y ? 5 ? 5sin t

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

? x ? ? cos ? , 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ? y ? ? sin ?

15

由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ?x ? y ? 2 y ? 0
2 2

解得 ?

? x ? 1, ? x ? 0, 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2, 24.(本小题满分 10 分)

? ?

解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? 3 x ? 6, x ? 1. ? ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

(2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?
? a 1? , ? 都成立. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.所以 x≥a-2 对 x∈ ? ? 故?

a 4 4? ? ≥a-2,即 a ? .从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 2 3 3? ?

16


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